第3章 · 基于信息的模型 #
前一章讨论的存货方法为市场价格行为提供了一些重要的洞见。然而，这些模型的一个含义是，交易成本（尽管已扩展到包括各种存货成本）仍然决定买卖价差。从 Bagehot [1971] 的一篇富有洞察力的论文开始，出现了一种解释市场价格的新理论，该理论不依赖于交易成本，而是提出了信息的重要作用。这些基于信息的模型（information-based models）利用逆向选择（adverse selection）理论的洞见，证明了即使在竞争性市场中，在没有显式交易成本的情况下，价差也会存在。
在接下来的三章中，我们将分析主要的基于信息的模型，以理解这些模型如何解释价格行为。基于信息的模型的一个重要方面是，它们允许考察市场动态，从而提供对价格调整过程的洞见。这些调整问题将在第6章中更详细地考察。基于信息理论的另一个方面是，它们允许知情交易者和非知情交易者具有潜在的策略行为。这些问题将在第4章和第5章中考虑。
3.1 知情交易者与非知情交易者#
信息模型的起源通常归功于 Bagehot [1971] 的一篇简单论文。他的出发点是注意到市场中存在市场收益（market gains）和交易收益（trading gains）的区别。前者是熟悉的概念：当市场价格普遍上涨时，大多数投资者获利；当价格下跌时，大多数投资者亏损。由于价格随时间有涨有跌，人们可能预期投资者参与的是一个公平博弈，因此获得中性市场收益率。然而，后者的交易收益概念却另有暗示：信息成本将使得普通投资者相对于市场收益随时间实际亏损。
这种信息损失是由于市场中存在拥有优越信息的交易者。具体来说，处于所有交易中心的做市商知道，有些交易者可能拥有比他更好的信息。这些知情交易者（informed traders）在知道股票当前价格过低时买入，在知道价格过高时卖出。此外，这些知情交易者可以选择不交易，而做市商则必须始终报出买入和卖出的价格。因此，做市商知道，当他与知情交易者交易时，他总是亏损。为了保持偿付能力，他必须通过从非知情交易者（uninformed traders）那里获得收益来抵消这些损失。这些收益来自买卖价差。
价差反映了对知情者的损失与对非知情者的收益之间的平衡，这一观点是对做市性质的根本洞见。虽然存货和交易成本无疑是重要因素，但信息成本也影响价格的概念为市场结构研究提供了新的重要方向。也许最重要的是，它提供了一种解释市场买卖价差行为的方法，而不依赖于交易成本的外生技术规范。
Copeland 和 Galai [1983] 首次尝试将信息成本概念形式化。他们的分析建立了一个做市商定价问题的单期模型，假设某些交易者拥有优越信息。Copeland 和 Galai 的论文包含了两种几乎截然不同的看待买卖价差的方法。第一种方法假设风险中性的交易商设定买入价和卖出价以最大化预期利润。第二种方法将买入价和卖出价视为交易商提供给交易者的看涨期权和看跌期权。虽然第二种方法捕捉了交易商头寸的一个潜在重要特征，但它不像显式求解交易商最大化问题那样易于处理。$^{1}$ 因此，我们考虑交易商的决策问题如何在不完全信息世界中公式化。
Copeland 和 Galai 考虑了一个非常简单的模型。有一个单一的风险中性交易商，他与一个交易者群体进行交易。股票价格 P 从某个已知密度 $f(P)$ 中抽取，该密度是外生于市场的。某些交易者被假设为知道股票的实际价值，因此是知情的。其他交易者只知道一般的价格过程而不知道实际价值，因此是非知情的，或流动性交易者（liquidity traders）。信息在这个模型中如何产生以及谁得到信息，都未作说明。同样，流动性交易者为什么交易也未作说明。这种将流动性交易者动机视为模型外生的方法，与上一章考虑的存货模型中所采取的方法类似。在这些模型中，交易者的效用、风险偏好等都是未指定的。然而，认识到知情交易者有一个明确且可量化的交易原因，使得该模型能够捕捉到存货模型中未考虑的订单流的一个方面。
与存货模型一样，交易者被假设根据某个独立于股票价格过程的外生概率框架到达市场。由于某些交易者比其他人更了解 P，这个假设不再是无关紧要的，因为知情交易者的行为似乎很可能取决于他们知道的股票信息相对于市场观点的比较。这个问题的这一方面在这个简单的单期框架中没有被处理。然而，Copeland 和 Galai 引入了交易商的订单流可能包含基于信息交易（information-based trades）的概念。具体来说，虽然个体交易者对交易商是匿名的，但做市商知道任何给定交易以概率 $\pi_{I}$ 来自知情交易者，以概率 $1 - \pi_{I}$ 来自非知情交易者。这种概率结构是模型的一个重要贡献。
一旦交易者到达市场，Copeland 和 Galai 假设非知情交易者有一些概率会买入 $(\pi_{\mathrm{BL}})$，一些概率会卖出 $(\pi_{\mathrm{SL}})$，一些概率根本不会交易 $(\pi_{\mathrm{NL}})$。知情交易者被假设为进行最大化其利润的交易（买入或卖出）。所有交易都是相同固定规模。交易者被允许具有价格弹性需求函数，因此非知情者并非被迫交易。$^{2}$ 后一个特征是重要的；这意味着交易是否实际发生取决于买卖价差，因此做市商的价格设定问题必须考虑这种弹性。
在瞬时报价框架中，做市商设定其报价，交易在无中间时间间隔的情况下发生。给定这一结构，做市商可以计算在下一个瞬间与任何交易者交易的预期收益或损失。如果交易者是知情的（以概率 $\pi_{I}$ 发生），做市商预期损失
$$ \int_{P_{A}} ^{\infty} (P - P_{\mathrm{A}}) f (P) d P + \int_{0} ^{P_{\mathrm{B}}} (P_{\mathrm{B}} - P) f (P) d P,\tag{3.1} $$其中 $P_{B}$ 和 $P_{A}$ 是交易商的买入价和卖出价，P 是股票的"真实"价格。
相反，如果交易者是非知情的，则做市商的预期收益为
$$ \pi_{\mathrm{BL}} (\mathrm{P} _{\mathrm{A}} - \mathrm{P}) + \pi_{\mathrm{SL}} (\mathrm{P} - \mathrm{P} _{\mathrm{B}}) + \pi_{\mathrm{NL}} (0).\tag{3.2} $$两个方程的交易概率中都隐含了知情和非知情交易者各自的需求弹性。由于交易商不知道他所面对的交易者类型，他通过知情和非知情交易的概率来加权其预期收益和损失。因此，$-\pi_{1}$ 乘以（3.1）加上 $(1-\pi_{1})$ 乘以（3.2）给出了交易商的目标函数。最优买入价和卖出价随后作为交易商最大化问题的解出现，前提是这些价格为正（否则市场关闭）。
这个模型捕捉了 Bagehot 提出的信息概念，因为它允许显式计算做市商对交易者的预期收益和损失如何影响价差的大小和位置。该模型也明确指出，计算这些收益和损失需要知道知情者和非知情者的交易概率、股票的随机行为以及交易者的需求弹性。实际上，这种对弹性的关注让人想起早期的 Demsetz 分析。这里描述的决策问题适用于垄断交易商。然而，该框架可以通过将零利润约束纳入交易商问题来包括竞争。
从这个模型中得出的最重要结果是，即使存在风险中性、竞争性的交易商，价差也会出现。这个价差的大小随不同的市场参数而变化，特别是交易者需求函数的弹性以及非知情和知情交易者的总体参数。然而，只要存在知情交易者的正概率，价差就不会为零。因此，市场价差的存在既不需要风险厌恶、做市商的市场势力，也不需要先前研究者广泛分析的存货效应。Copeland 和 Galai 框架因此量化了 Bagehot 引入的直观概念：仅信息本身就足以产生市场价差。
虽然该模型提供了买卖价差的一个有趣刻画，但它是在静态的单一交易框架中完成的。$^{3}$ 由于在该框架中交易商的决策问题只是平衡收益和损失，他的问题与前面讨论的存货控制问题同构。然而，一旦引入动态考虑，这种相似性就消失了。在不对称信息下，订单流的性质并非外生于交易商的问题，因此交易本身传达了信息。此外，知情者的持续交易至少为其他非知情市场参与者提供了推断底层信息的可能性。这种将交易视为信息"信号"的概念在 Glosten 和 Milgrom [1985] 以及 Easley 和 O'Hara [1987a] 的论文中得到发展。
3.2 交易的信息含量#
如果某些交易者拥有优越信息，那么做市商平均而言会输给这些交易者。在 Copeland 和 Galai 考虑的单笔交易世界中，很容易量化这种预期损失的大小。然而，如果新信息在交易后不会立即被揭示，那么对知情者的损失问题就不那么容易解决了。相反，损失的大小不仅取决于当前的买入价和卖出价，还取决于这些价格多快能反映新的真实价值。
因此，信息对市场价格的影响随着多轮交易的可能性而增加了新的维度。使这个问题特别有趣的是，它不能被视为 Copeland 和 Galai 所解决问题的简单重复。如果是这样，那么对知情者的损失将只是每笔交易的（不变）损失乘以交易次数的累积总和。原因是做市商没有理由改变买入价和卖出价，因为影响其决策的参数（知情交易的概率、股票的随机过程和需求弹性）保持不变。这个框架中所缺少的是认识到，交易本身可以揭示底层信息，从而影响价格行为。
正是这一洞见在 Glosten 和 Milgrom 的做市商定价决策模型中得到了发展。他们关注的是，在竞争性市场中，知情代理人的交易将反映其信息，如果他们知道坏消息就卖出，知道好消息就买入。因此，如果有人想卖给做市商，这可能表明该交易者知道坏消息。但也可能意味着该交易者是非知情的，仅仅需要流动性。由于做市商无法区分是哪种情况，他通过根据发生的交易类型调整其对股票价值的信念来保护自己。因此，随着做市商接收交易，他对资产价值的预期发生变化，这进而导致其价格发生变化。Glosten 和 Milgrom 证明，随着时间的推移，市场上某一边的知情交易占主导地位，导致做市商最终了解知情交易者的信息，其价格收敛到基于该信息的资产的预期价值。
这种对做市商面临的学习问题的关注是微观结构研究中一个新的、重要的方向。在先前的研究中，订单流和资产价值不确定性的外生性决定了做市商的决策问题本质上是在时间上设定价格以平衡风险。由此产生的市场价格反映了这些外生参数，以及做市商的偏好或市场势力。然而现在，从市场中学习的能力意味着价格路径并非独立于关于资产真实价值的私人信息。价格设定与底层资产价值的这种联系意味着，信息被纳入价格的过程可以得到处理。这个问题长期以来一直是有效市场（efficient markets）和理性预期（rational expectations）文献的焦点，现在可以在证券市场中用于设定价格的实际机制的背景下得到处理。
市场微观结构研究的焦点因此转移到分析做市商如何从订单流中学习，以及这进而如何影响价格随时间的变化。虽然这个学习问题的具体市场环境可能不同，但所有不对称信息微观结构模型本质上都求解一个贝叶斯学习模型（Bayesian learning model）。这类模型为解决动态学习问题提供了有力且可处理的机制。本章附录考察了贝叶斯学习模型的机制，并演示了贝叶斯动态的几个基本性质。不熟悉这类模型的读者可能在继续本章之前先阅读附录。
3.3 Glosten-Milgrom 模型#
Glosten 和 Milgrom 使用的顺序交易框架（sequential trade framework）从与 Copeland 和 Galai 相似的假设开始。做市商和所有市场参与者被假设为风险中性的，并且行为是竞争性的。
被交易的资产有一个由随机变量 V 给出的最终价值。交易涉及一股资产，所有交易都以做市商的买入价或卖出价进行。没有固有的交易成本（即没有佣金、税费等），也没有持有存货或维持空头头寸的显式成本。
事实上，两个模型的一个重要特征是，存货通过构造不起作用；做市商风险中性、无限资本、无破产和短期界假设消除了任何有意义的存货持有效应。这种设定提供了一种方便的方法来指定信息本身如何在不被存货干扰的情况下影响价格。但如果信息与存货在实际市场中都很重要（这似乎是可能的），那么这种二分法也是一种弱点；要同时纳入这两种效应以及它们之间的交互作用，需要一个比 Copeland 和 Galai 或 Glosten 和 Milgrom 更丰富的模型。
在 Glosten-Milgrom 模型中，一些交易者拥有关于 V 的信息，而其他人则没有。非知情交易者面临一个有趣的问题，因为如果知情者利用他们的信息获利，这必然是以非知情者的损失为代价的。Milgrom 和 Stokey [1982] 的一篇重要论文证明，如果非知情者出于投机原因交易，那么不交易总是优于与知情交易者交易而面临确定的损失。这种"不交易均衡"（no trade equilibrium）结果要求非知情者必须出于投机以外的原因进行交易。实现这一目标的一个有用的构造是流动性交易者（liquidity trader），他们出于模型外生的原因进行交易。
在这个模型中，交易顺序发生，允许一个交易者在任何时间点进行交易。交易者实际如何到达市场是一个重要问题。如果价格未达到完全信息水平，知情交易者可以通过交易获利，因此任何知情交易者都会偏好尽可能多（且尽可能频繁地）交易。由于这种行为会迅速暴露知情者的信息，做市商会迅速（可能立即）调整价格以反映这一信息。这种揭示性结果是理性预期模型中的一个问题，在第4章附录中讨论。避免这种即时揭示结果的一种方法是假设交易者被概率性地选中进行交易，且一旦被选中，一个交易者最多可以交易一股资产。如果交易者希望进一步交易，他必须返回交易者池，等待再次被选中才能交易。
这种概率性选择过程决定了做市商实际面对的交易者群体始终与潜在交易者群体相同。这一区别很重要，因为它意味着尽管知情交易者具有信息优势，做市商始终可以计算他与知情交易者交易的概率。注意，这确实隐含地排除了某些看似合理的交易场景。例如，如果信息随时间变得更分散，那么知情交易的比例也会随时间增加，给做市商提供了另一个需要学习的参数。在本文发展的简单框架中没有考虑这一点，但一般的顺序交易方法可以扩展到包括这一点和其他交易设定。我们将在本章后面以及第6章-第8章中考虑其中一些交易框架。
Glosten-Milgrom 模型中的专营经纪人设定价格，使得任何交易的预期利润为零。这种零利润条件的一般理由是，竞争加上风险中性决定了任何交易中赚取的租金都会被竞争性专营经纪人竞争掉。实际上，由于交易商通过供给和需求计划进行竞争，两个竞争性代理人就足以产生竞争性结果（参见 Mas-Colell [1980]）。实际上，每个做市商根据其竞争对手的供给和需求计划选择一个预期利润最大化的供给和需求计划（其策略）。做市商因此在这些策略中相互博弈。由于每个做市商以相同的先验信念开始，交易信息是公共知识，每个做市商都可以计算其他每个做市商的最优价格。$^{4}$ 这导致所有做市商报出相同的买入价和卖出价。
这种竞争性定价的一个重要含义是，价格被设定为专营经纪人在给定交易类型条件下对资产价值的条件期望。在均衡中，买入价和卖出价是"无悔的"（regret-free），因为给定实际发生的交易，做市商认为价格是公平的。因此，买入价仅仅是做市商在给定交易者想卖给做市商的情况下对资产的预期价值；卖出价则是给定交易者想从做市商买入情况下的预期价值。这种"无悔"价格保留了理性预期模型中常见的、纳入交易本身所揭示信息的性质。由于交易类型具有信号价值，在交易之后，做市商修正其信念并设定新的交易价格。这些新价格反映了他在从交易结果中学到的信息之后的信念。
将买入价和卖出价视为条件期望，允许价格随时间的调整被视为做市商信念变化的同构。因此，要理解买入价和卖出价的行为，我们需要分析做市商的学习问题。本章附录更详细地考察了这个学习问题，但在此说明基本问题是有用的。虽然 Glosten 和 Milgrom 在更一般的框架中推导了他们的结果，但通过考察其模型的简单版本可以更轻松地说明他们的结果。$^{5}$
假设知情代理人知道股票的真实价值将是低或高，分别记为 Y 或 $\bar{V}$ 。令 $S_{1}$ 表示交易者想卖出股票给做市商的事件，$B_{1}$ 表示某人想从做市商买入的事件。做市商设定买入价和卖出价使得
$$ a_{1} = E [ V | B_{1} ] = \underline{{{V}}} \operatorname * {P r} \{V = \underline{{{V}}} | B_{1} \} + \overline{{{V}}} \operatorname * {P r} \{V = \overline{{{V}}} | B_{1} \}.\tag{3.3} $$$$ b_{1} = E [ V | S_{1} ] = \underline{{{{V}}}} \operatorname * {P r} \{V = \underline{{{{V}}}} | S_{1} \} + \overline{{{{V}}}} \operatorname * {P r} \{V = \overline{{{{V}}}} | S_{1} \}.\tag{3.4} $$因此，时间 1 的卖出价是给定交易者想从做市商买入情况下 V 的条件期望，买入价类似地定义（给定交易者想卖出）。
例如，要确定买入价，做市商计算 $\Pr\{V=\underline{V}|S_{1}\}$ 和相应的 $\Pr\{V=\bar{V}|S_{1}\}$ 。这里采用的方法是标准的贝叶斯学习（Bayesian learning），因此这些概率通过应用贝叶斯法则（Bayes Rule）得到。第一个概率为
$$ \begin{array}{c} \operatorname * {P r} \{V = \underline{{V}} | S_{1} \} = \\ \frac{\operatorname * {P r} \{V = \underline{{V}} \} \operatorname * {P r} \{S_{1} | V = \underline{{V}} \}}{\operatorname * {P r} \{V = \underline{{V}} \} \operatorname * {P r} \{S_{1} | V = \underline{{V}} \} + \operatorname * {P r} \{V = \overline{{V}} \} \operatorname * {P r} \{S_{1} | V = \overline{{V}} \}}. \end{array}\tag{3.5} $$相应的概率 $\Pr\{V = \underline{V}|B_1\}$、$\Pr\{V = \bar{V}|S_1\}$ 和 $\Pr\{V = \bar{V}|B_1\}$ 可以类似计算。初始买入价和卖出价随后通过简单计算得出。
这些价格的一个重要特征是它们明确取决于卖出（和买入）的概率。在以前的理论模型和许多实证分析中，通常（隐含或显式地）假设买入和卖出是等可能的。正如应已明显的，在这个框架中这不可能是真的。如果有好消息，就会有更多买入订单；如果有坏消息，就会有更多卖出订单。而且，做市商的价格不会调整以抵消这种不平衡。只要价格未达到完全信息均衡水平，预期订单流就会因做市商对资产真实价值的信念而异。$^{6}$
计算收到买入或卖出的概率可以通过构建一个简单的树状图（tree diagram）大大简化。在这个树中，自然首先行动，选择信息将是好消息还是坏消息。这在图 3.1 中表示为树中的第一个节点。第二个节点对应于多少比例的交易者知道信息，并且显然这是相对于好消息和坏消息对称的假设。第三个节点对应于如果每个交易者有机会交易将做出的交易决策。这里知情者和非知情者之间的区别直接进入，因为知情者在知道坏消息时不会买入（或在知道好消息时不会卖出），而非知情者被假设为无论信息如何都同样可能买入或卖出。
在树状图中，每个分支的末端给出了处于树中该点的概率，因此对应于观察到特定结果的可能性。由于我们感兴趣的是特定交易（买入或卖出）发生的概率，这可以通过简单加总卖出（买入）订单可能发生的各种方式来计算。例如，在图 3.1 的树中，观察到卖出的概率是 $(1 - \mu)\gamma^{S} + (1 - \theta)\mu$ ，而观察到买入的概率是 $(1 - \mu)\gamma^{B} + \theta\mu$ 。在两个表达式中，第一项是交易来自非知情交易者的概率，后一项是交易来自知情交易者的概率。显然，更复杂的交易博弈可以通过在树中添加对应于任何额外决策点的节点来表示。$^{7}$
给定初始报价，在时间 1 发生一些交易。假设这个时间 1 的实际交易是一笔卖出。做市商必须随后利用交易传达的信息来构建其后验概率 $\Pr\{V = \underline{\mathbf{V}} | S_1\}$ 。这正是在上面计算的 $\Pr\{V = \underline{\mathbf{V}} | S_1\}$ 值。要为时间 2 设定交易价格，做市商通过在上面的公式中用这个后验替换其先验来更新其信念。附录中给出了一个具体例子。
图 3.1 交易的概率结构
后续期间的信念和价格确定以相同方式进行。这个学习过程的一个重要特征是，信念的修正可以表示为做市商先验信念通过贝叶斯定理的简单更新。信念以及价格最终收敛到完全信息水平的结果遵循标准的贝叶斯学习结论。
Glosten 和 Milgrom 在这个框架中证明了几个重要结果。首先，与 Copeland 和 Galai 一样，出现了独立于任何外生交易或存货成本的价差。然而，两个模型在解释上存在重要差异。对于 Copeland 和 Galai，价差仅仅平衡预期收益和损失。Glosten 和 Milgrom 模型中的价差产生是因为某人希望买入的事实导致做市商向上修正其对资产价值的预期，其报价相应移动；某人愿意卖出则导致相反的修正。竞争性行为的假设决定了设定的具体价格将以与 Copeland 和 Galai 框架类似的方式平衡做市商的预期收益和损失，但在这里这些价格是给定公开可用信息的预期值。Glosten 和 Milgrom 刻画了影响价差的具体因素，特别是他们证明了价差如何取决于底层信息的性质、知情交易者的数量以及交易者的弹性。
该模型的第二个重要结果是，交易价格形成鞅（Martingale）。如果 $E[p_{t} + 1 \mid I_{t}] = p_{t}$（对于做市商在时间 t 的信息集 $I_{t}$），则价格随机过程关于做市商的信息形成鞅。直观上，这意味着遵循价格的观察者在预测未来价格方面不优于仅使用当前价格。这一性质很重要，因为它表明模型中的价格行为与市场效率（market efficiency）概念之间存在联系。通常定义的效率中，强式有效（strong-form efficient）意味着价格反映所有私人信息，半强式有效（semi-strong-form efficient）意味着价格反映所有公开可用信息，弱式有效（weak-form efficient）意味着价格反映其自身过去值中的信息。$^{8}$ 正如附录所示，在贝叶斯学习模型中，价格最终会收敛到真实价值，因此变为强式有效。然而，鉴于某些交易者拥有优越信息，沿途的价格显然不表现出强式有效性。鞅性质决定了价格将是半强式有效的，因为它们反映了做市商可获得的所有信息。
然而，一个有趣的点是，市场效率在动态设定中告诉我们的内容并不完全清楚。取决于做市商看到的信息，可以存在非常不同的价格调整路径，某些价格路径比其他路径更接近真实价值。然而，每条路径都具有价格是鞅的性质，因此效率的概念有些有限。这个问题在 Black [1989] 的一篇具有启发性的文章中被提出，并由 Easley 和 O'Hara [1992b] 在微观结构背景下进行了讨论。
鞅性质的一个有趣含义是，交易价格过程的一阶差分将是序列不相关的。正如 Glosten 和 Milgrom 所讨论的，这与由交易成本（如存货持有成本）或做市商的风险厌恶或市场势力导致的负序列相关形成对比。Roll [1984] 利用这种负序列相关性质来估计交易成本对买卖价差的影响。然而，在不对称信息下，未来价格并非独立于当前交易，因此 Roll 的技术不再适用。Glosten 和 Milgrom 推导了一个替代估计量，其中纳入了不对称信息的存在。这种序列相关性质的差异也提供了一种实证估计不对称信息对证券价格影响的方法。这种实证测试将成为 Hasbrouck [1988]、Harris [1990] 以及 Glosten 和 Harris [1988] 后续研究的焦点。
Glosten-Milgrom 模型的另一个结果是，在某些条件下，由不对称信息导致的逆向选择可能使市场崩溃或关闭。这一结果的直觉类似于 Akerloff [1970] 的经典推理。如果知情交易者太多，做市商可能不得不将价差设定得如此之大，以至于根本排除了任何交易。然而，由于信息是通过交易反映在价格中的，这种交易的缺乏导致市场体系崩溃。这一结果的一个应用是考虑是否存在避免这种不愉快特征的替代市场结构。第二个应用是考虑交易暂停或熔断机制等制度特征是否有助于处理基于信息的问题。这些市场结构问题将在第7章中处理，但重要的是注意它们的起源可以追溯到这篇早期论文。
在 Copeland-Galai 和 Glosten-Milgrom 模型中，核心结果都可以表述为不对称信息导致了买卖价差。以此为起点，出现了两个明显的问题。首先，这个结果对交易环境的稳健性如何？知情交易者的存在是否总是导致买卖价差？第二个（也许更有趣的）问题是，其他市场现象能否用不对称信息的存在来解释？
这两个问题交汇的一个领域是交易规模（trade size）的作用。在迄今考虑的模型中，交易者被假设为买入或卖出一股资产。如果交易者可以选择交易不同数量，价差是否仍然会出现？此外，由于实证研究（例如 Dann, Mayers, and Raab [1977], Holthausen et al. [1987, 1990]）发现了与大交易量（或大宗交易）相关的有趣价格模式，基于信息的方法能否为这种证券价格行为提供洞见？这些问题在 Easley 和 O'Hara [1987a] 的研究中得到处理。
3.4 交易数量与价格行为#
Easley 和 O'Hara 采用的方法涉及一个顺序交易模型，其精神与 Glosten 和 Milgrom 类似。交易者被假设为与竞争性的、风险中性的做市商交易资产。做市商报出买入价和卖出价，并根据发生的交易随时间调整报价。存货效应不重要，交易根据概率结构顺序发生。
Easley-O'Hara 模型与以前的不对称信息模型在两个维度上不同。首先，交易者被允许进行不同规模的交易。这种处理大或小数量订单的能力为处理交易规模对证券价格的影响提供了可能。交易者选择订单规模的能力也引入了交易博弈中的一个简单策略元素，这进而需要发展更复杂的均衡概念。模型中第二个差异在于信息不确定性的性质。与以前的分析不同，此处不假设新信息的存在。相反，在这个博弈中，自然在决定是否会有新信息以及如果有会是什么信息时基本上有两步行动。这种双重不确定性意味着做市商的学习问题涉及确定新信息的存在和方向。
在 Easley 和 O'Hara 模型中，信息事件（information event）被定义为关于资产价值的信号 s 的发生。信号发生的概率为 $\alpha$ ，如果信号发生，则假设它发生在交易日开始之前。信号可以取两个可能的值：低和高。如果信号发生，一定比例 $\mu$ 的交易者收到信号。当然，如果没有信号发生，所有交易者都将是非知情的。由于做市商不知道是否有新信息，他不能确定这种非知情结果何时发生。这种信息事件不确定性似乎是私人信息如何在市场中存在的自然表示。在已知信息存在但其特定水平不为公众所知的情况下，通常的做法是暂停股票交易直到信息被揭示。
交易顺序发生，根据群体中交易者类型的概率选中个体交易者进行交易。该模型允许不同规模的订单，因此轮到交易的交易者可以买入小或大数量（记为 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ ），卖出小或大数量（ $S_{1}$ 或 $S_{2}$ ），或者干脆不交易。由于 Milgrom 和 Stokey [1982] 的"不交易"均衡结果，知情交易者只有在非知情交易者也想交易大数量时才会交易大数量。如果非知情者不想交易大数量，那么大宗交易只能来自知情交易者，做市商对大宗交易的"无悔"价格将是完全信息价值（好消息和坏消息）。在每笔交易之后，做市商设定新的交易价格。
知情交易者被假设为风险中性的，并以最大化其预期利润为目的进行交易。由于存在多种交易规模，知情者的行为具有了先前论文中没有的维度。具体来说，由于知情者以做市商（或非知情交易者）为代价获利，在其他条件相同的情况下，交易规模越大，其收益越大。因此，交易规模引入了逆向选择问题，因为在相同价格下知情交易者总是偏好交易更大的数量。由于非知情交易者没有这种规模偏差，理性的做市商会将大订单解释为基于信息交易的信号，并相应调整价格。
知情者可以选择特定交易方式的想法引入了做市问题中的一个简单策略元素。许多后续研究将涉及分析更复杂的策略决策，但即使在这个简单结构中，允许知情者在交易规模中进行选择意味着均衡可能不同于 Copeland-Galai 或 Glosten-Milgrom 模型的均衡。具体来说，做市商如何设定价格现在取决于他相信知情者将在哪里交易。但当然，知情者在哪里交易取决于做市商设定的价格。这需要找到一个不动点（fixed point），其中除了前面提到的竞争约束外，做市商关于知情者位置（即交易规模）的猜想是正确的。
Easley-O'Hara 模型应强调的一个方面是，知情者被假设为竞争性地行动。这种竞争行为大大简化了知情者的决策问题，并有助于构建一个性质良好的均衡。在缺乏竞争行为的情况下，存在多个知情交易者时，均衡可能是难以处理的（如果存在的话）。在接下来的两章中，我们将考虑知情交易者策略性地行动的模型，并更详细地讨论这些均衡问题。
Easley 和 O'Hara 证明，在这个框架中，可能存在两种类型的均衡。知情交易者可能全部选择只交易大数量，因此与小的非知情交易者"分离"（separated）。或者，知情交易者可能选择提交大和小两种订单，因此与非知情交易者"混同"（pooled）。当然，即使在分离均衡中，一些非知情交易者也必须活跃在大宗交易市场中，这表明"半分离"均衡实际上更好地描述了分离结果。这种混同和分离均衡在经济学和金融学的许多领域中是常见的构造（例如在搜寻模型或更一般的信号传递分析中），但此前尚未应用于市场微观结构问题。
确定哪种结果发生的方法是：首先假设知情交易者全部交易大数量，求解做市商的定价问题。然后假设知情者同时交易两种数量，再次求解交易商的决策问题。这两种结果随后提供了一种确定知情交易者何时理性（即最优）选择一种策略而非另一种的方法，从而决定每种结果占优的条件。求解每个定价问题涉及所有贝叶斯学习问题中使用的一般方法，特定交易概率根据做市商关于知情者在何处交易的猜想进行调整。
如果知情者交易大数量，那么分离均衡中做市商的定价政策具有以下性质。首先，小数量交易没有价差。由于知情交易者不交易小数量，做市商没有理由通过设定价差来保护自己免受基于信息的交易影响。第二，大宗交易的价格确实表现出价差。这些价格由下式给出：
$$ b^{*} = V^{*} - \frac{\sigma_{\nu} ^{2}}{\overline{{V}} - \underline{{V}}} \left[ \frac{\alpha \mu}{X_{S} ^{2} (1 - \alpha \mu) + \delta \alpha \mu} \right],\tag{3.6} $$$$ a^{*} = V^{*} + \frac{\sigma_{\nu} ^{2}}{\overline{{V}} - \underline{{V}}} \left[ \frac{\alpha \mu}{X_{B} ^{2} (1 - \alpha \mu) + \alpha \mu (1 - \delta)} \right],\tag{3.7} $$其中 $V^{*}$ 是 V 的期望值，$V \in [\underline{V}, \bar{V}]$ ，X 表示交易大数量的非知情交易者的比例（下标指示买入或卖出），$\delta$ 是 V 等于 $\underline{V}$ 的概率，$\sigma^{2} V$ 是 V 的方差，$\alpha\mu$ 代表知情交易的概率（取决于信息事件的概率和如果事件发生时知情交易者的比例）。
给定这些交易价格，知情者选择交易大数量仅当这样做的利润大于交易小数量。由于小数量没有价差，知情交易者必须能够用更大数量的交易（尽管价格更差）来抵消更好的价格。如果这没有发生，那么知情者的最优策略就不涉及仅交易大数量，分离均衡就不能占优。因此，对于方程（3.6）和（3.7）中的价格构成均衡，必须满足以下条件：
$$ S^{2} / S^{1} \geq 1 + \alpha \mu \delta / X_{S} ^{2} (1 - \alpha \mu).\tag{3.8} $$$$ B^{2} / B^{1} \geq 1 + \alpha \mu (1 - \delta) / X_{B} ^{2} (1 - \alpha \mu),\tag{3.9} $$其中 $S^{2}(B^{2})$ 表示较大的卖出（买入）规模，$S^{1}(B^{1})$ 是较小的卖出（买入）规模。
这些条件保证知情交易者以更差"价格"交易较大数量的利润高于以更好价格交易较小数量。如果大数量足够大或基于信息交易的威胁较小，那么市场将处于分离均衡。在两个条件中，左边给出了大小交易规模的相对比例，反映了以下简单事实：交易足够多的股票，即使价格不利，如果数量足够大仍然可能是更优的。在许多活跃市场中，大量的大宗交易经常发生，这表明在此类市场中分离均衡可能占优。方程（3.8）和（3.9）的右边反映了知情交易对价格的影响。如果做市商知道大多数大宗交易是非知情的，那么他可以在这些交易上仅以很小的价差"盈亏平衡"。在这种情况下，知情交易者为交易大数量支付的惩罚很小，因此通过大数量交易获利更多。
如果这些条件不成立，那么市场不能处于分离均衡。然而，它可能处于混同均衡。如果假设知情者与非知情者混同，那么可以再次确定做市商的定价策略。在知情者同时交易大和小数量的情况下，做市商现在在大小两种交易规模上都设定价差。然而，小交易价差小于大交易价差，导致与分离均衡中类似的更好价格与更大数量的权衡。要使其成为均衡，知情者通过混同获得的利润必须再次大于通过分离获得的利润。求解这个为真的条件，结果正是方程（3.8）和（3.9）的条件相反。这决定了市场总是处于分离或混同均衡，取决于市场参数。
价差可以随交易规模变化，甚至在某些情况下为零，这为市场价格的行为提供了几个重要的洞见。实际上，它揭示的一个困难是，不存在单一的市场价格：价格将取决于交易规模。第二个（相关的）含义是，使用市场价差作为市场"质量"的衡量标准可能非常误导。由于价差大小部分取决于均衡的性质，仅检查小交易价差不能很好地反映不对称信息的程度或交易成本。
该模型还为观察到的实证规律——大宗交易以更差的价格成交——提供了基于信息的解释。对这一现象的传统解释是，大宗交易给做市商带来的大额存货暴露需要额外补偿，这通过以更差价格清结交易来实现。然而，这种说法的一个困难是，专营经纪人很少成为此类交易的另一方，实际上他可能根本不参与交易。相反，许多大宗交易（称为 blocks）完全绕过专营经纪人系统，通过辛迪加处理。这种替代交易过程的机制在第8章中考察。由于 Easley 和 O'Hara 给出的基于信息的解释无论交易发生在风险中性专营经纪人的报价处还是清算在"楼上市场"（upstairs market）中都同样适用，该模型提供了一个对交易场所具有稳健性的解释。
分析的另一个含义是，做市商在交易后修正其信念（以及因此其价格）的程度也随交易规模而变化。与 Glosten-Milgrom 框架一样，该模型中的修正过程涉及贝叶斯更新方法。然而，由于模型中关于新信息存在和方向的双重不确定性，修正过程导致的价格过程与 Glosten-Milgrom 框架中产生的不同。Easley 和 O'Hara 证明，这种修正过程不仅可以解释与大宗交易相关的即时价格下跌，还可以解释其后令人费解的价格行为。
具体来说，假设市场处于分离均衡，当天的第一笔交易是一笔大宗卖出。在为下一个交易区间设定报价时，做市商再次将买入价和卖出价设定为（修正后的）给定交易类型下资产的条件期望。很明显，两笔大宗卖出的发生导致做市商增强其关于存在不利信息的信念，因此他将下一个大宗卖出价格设定在低于当前大宗卖出价格的水平。
他将小交易价格设定在哪里则更有趣。在分离均衡中，做市商知道只有非知情交易者交易小数量。因此，由于没有与知情交易者交易的可能性，不需要价差，做市商将新的小交易买入价和卖出价设定为相等。但交易者想交易小数量而非大数量这一事实本身就可能向做市商提供信息，无论交易是买入还是卖出。如果信息存在与否存在不确定性，那么即使是非知情交易也可能具有信息价值，因为它可能表明不存在新信息。具体来说，如果没有信息事件，小交易的概率就会上升，因为市场中不存在知情交易者。因此，在大宗交易之后的小交易导致做市商向下修正其关于存在新信息的信念，这导致价格路径不同于没有信息事件不确定性时的路径。
图 3.2 描绘了这些价格路径效应，交易序列为小交易、大宗卖出、小交易。图 3.2(a) 给出了当已知存在新信息时做市商的价格。正如预期，大宗卖出的价格下降，下一笔小交易的价格设定在做市商新的股票期望价值处，这当然就是大宗价格。在这个路径中，大宗交易后股票价格永久降低，因为做市商更相信新信息是坏消息。而且，由于小交易不会导致做市商修正其信念，价格保持在这一水平，直到新的大宗交易导致其信念修正。
图 3.2(b) 给出了当是否存在新信息存在不确定性时的价格路径。同样，大宗卖出以更低价格交易，但现在如果下一笔交易是小交易，价格会部分恢复。这种恢复反映了做市商对信息存在信念的修正，无论下一笔交易是小买入还是小卖出，价格都会恢复。这种效应特别有趣之处在于，这种恢复与众多研究者报告的经验观察一致（参见例如 Kraus 和 Stoll [1972], Dann, Mayers, and Raab [1977]）。
这种"存在"不确定性为不对称信息分析引入了新的复杂性。现在，交易的价格效应不仅取决于交易和当前状态，还取决于过去交易的序列。用统计学的语言来说，这意味着虽然价格是鞅，但它们不是马尔可夫（Markov）的。马尔可夫过程是指过程的未来运动不依赖于过程的历史，而仅依赖于其当前状态。因此，如果 $E(p_{t+1} \mid p_{t}) = E(p_{t+1} \mid p_{t}, p_{t-1}, \ldots, p_{1})$ ，则价格过程是马尔可夫的。对于实证研究者来说，价格不是马尔可夫的结果有一个不愉快的含义：价格观测不能被视为独立于先前的价格序列。由于价格会根据当前观测之前的交易序列以不同方式移动，这使得对特定经济事件感兴趣的经验调查变得极其困难。价格序列角色的这个问题在第6章中更详细地考虑。这一序列结果对我们当前焦点意味着，信息对证券价格的影响可能比 Bagehot 提出的简单"平衡"概念更为复杂。
图 3.2a 没有信息事件不确定性时分离均衡中的价格路径
图 3.2b 存在信息事件不确定性时分离均衡中的价格路径
3.5 顺序交易模型与价格行为#
Glosten 和 Milgrom 以及 Easley 和 O'Hara 的顺序交易模型为处理价格对信息的调整相关问题提供了框架。这些模型的优势在于它们允许显式分析做市商和非知情交易者的学习问题。这使得在不忽略交易与信息之间动态联系的情况下，能够在逐笔交易的基础上刻画价格行为。此外，这种方法允许做市商报价过程与交易价格过程分离，从而更深入地理解信念随时间的变化。在结束对这些模型的讨论时，考虑这些模型的优势和局限性是很有用的。
也许这些模型的最大优势在于它们刻画买卖价差的能力。通过展示市场参数（如市场规模或大小交易的比例）如何影响报价和价差，这些模型明确详细地说明了不对称信息如何影响市场行为。而这进而应该至少为考察证券市场行为的实证研究者提供一些指导。$^{9}$ 这些模型还表明，报价和价格之间可能存在重要区别。这个问题将在第6章中更详细地处理，对于使用交易数据的实证研究者具有特别重要的意义。由于跨证券的交易不是同步发生的，连续报价过程的存在提供了一种处理这个问题的机制。
顺序交易方法的另一个重要方面是，可以证明价格确实收敛到完全信息价值。没有这一点，市场效率等概念将是有问题的。然而，这种实际收敛只在极限中发生。因此，这两个模型的一个局限性是，它们对调整过程需要多长时间几乎没有提供洞见。尽管附录中提供的更一般结果对这一收敛问题提供了更多结构，但"多长时间"仍然不容易确定。这一点之所以重要的一个原因是，知道信息被纳入证券价格的速度可能为市场效率的性质提供新的见解。一个更应用的好处是，它可能表明制度性市场设计特征如何促进或阻碍效率的实现。后续研究（在第7章中讨论）处理了其中一些问题，但实际调整路径仍然难以精确刻画。
这些模型的第三个值得考虑的方面是顺序交易过程的实际机制。在 Easley-O'Hara 和 Glosten-Milgrom 模型中，交易者基本上形成一个队列，交易顺序发生。交易者如何到达队列是有问题的。一种简单的情景是，根据群体概率从交易者池中选中一名交易者。因此，如果交易者群体中有 x% 的知情交易者，那么知情交易者进行交易的概率为 x%。该交易者被允许交易一次，然后如果想进一步交易必须重新加入队列的尾部。
这种方法有两个明显的困难。可以推测，任何知情交易者都会更愿意继续交易直到价格调整完毕。然而，如果是这样，一旦一个知情交易者开始交易，市场同一侧不间断的交易序列将迅速向做市商传达底层信息，价格几乎立即调整。此外，如果放弃队列的虚构，竞争性行动的知情交易者会简单地提交如此多的订单，以至于价格调整如此之快，知情交易者的收益将微乎其微。这个问题的解决方法是假设无论交易如何发生，知情交易的强度使得 x% 的交易来自知情交易者。这使得价格能够反映底层信息的不确定性，但避免了指定（从而理解）交易者实际交易的机制。
一个相关的问题是，知情和非知情交易者都被假设为愿意继续进行交易。对于知情交易者来说，这种重复交易当然是最优的，但随机选择的非知情交易者在交易后行为与交易前保持不变则不那么可信。但如果非知情交易者"退出"市场，这些模型中使用的概率框架就不正确了。刻画这种差异的一种方式是，知情交易者应该被有放回地抽样（sampled with replacement），而非知情交易者应该被无放回地抽样（sampled without replacement）。然而，顺序交易模型假设基于信息的交易比例是恒定的，这只有在非知情交易者数量恒定时才成立。虽然在某些市场中这可能是近似正确的，但不确定这在一般情况下是否成立。
最后一个问题涉及在这些模型中纳入策略行为的能力。在这些模型中，交易者和做市商被假设为竞争性地行动。对于非知情交易者来说，缺乏任何连贯的交易动机显然是模型的一个主要弱点。对于知情交易者来说，竞争性假设排除了在广泛条件下可能是理性的广泛行为类别。例如，如果只有一个或少数几个交易者知道新信息，那么伪装真实信息的交易策略可能带来更高的交易利润。
在顺序交易模型中，这个问题难以处理有两个原因。首先，由于交易者从不确定轮到他们交易的时间，延迟或伪装交易只有在信息具有极长寿命时才是最优的。一个更严重的问题是，在这些模型中通常不可能计算信息的收益。由于调整路径取决于具体的交易序列，且已知价格仅在极限中收敛，知情者的交易收益取决于许多随机变量的具体结果。事实上，甚至通常无法确定知情者将交易多少次，更不用说他们每笔交易赚多少了。
这种无法计算信息确切收益意味着顺序方法对于某些问题是不适用的。在下一章中，我们将考虑另一类旨在处理这些问题的模型。在这些模型中，交易环境摆脱了逐笔顺序交易方法，考虑一个批次框架（batch framework）。在批次模型中，策略行为的收益可以计算，因为交易以单一价格清结。然而，这种结构必然意味着单笔交易或买卖价差中包含的信息被移除了。我们将在后续章节中回到这些问题。
附录：贝叶斯学习模型#
在具有不对称信息的微观结构模型中，理解价格调整动态的关键是贝叶斯学习（Bayesian learning）。做市商（以及其他潜在的非知情代理人）知道订单流与资产价值相关，但不知道这个"真实"价值是什么。他必须做的是利用来自订单流的间接证据来推断这个底层价值。这个订单流可以是一笔单独的交易（如在顺序交易模型中），也可以是集合市场（call market）的结果（其中订单被批处理在一起，只有净需求是可观察的，如在 Kyle 模型中）。无论哪种情况，学习问题都是通过应用贝叶斯法则（Bayes Rule）来解决的。
这个学习问题的机制是直接的。每个交易者有一个关于资产价值的先验信念（prior belief）。可以将这个先验信念视为资产价值（由随机变量 V 表示）实现值为 x 的概率。交易者随后观察到一些数据（比如说一笔交易），并基于这些数据计算在给定他观察到的数据条件下事件 $(V = x)$ 已经发生的条件概率。这个条件概率是他对该事件的后验概率（posterior probability），因此纳入了他从观察交易中学到的新信息。后验随后成为他的新先验，他观察更多数据，更新过程继续。
这个附录将讨论这个学习过程的三个重要方面。首先，更新过程是根据贝叶斯法则进行的，我们将回顾这实际上是如何发生的。第二，由于信念（以及价格）随时间的运动是由贝叶斯法则决定的，了解我们对这个更新过程动态及其收敛性质的了解很重要。这将使我们能够确定价格行为的哪些方面仅仅来自贝叶斯学习的性质，哪些反映了其他因素（如交易商特定偏好或市场结构约束）。第三，由于许多问题涉及具有连续分布的随机变量，了解贝叶斯法则如何在这些环境中应用是有用的。作为附录的结论，我们将考察更一般的学习问题，特别强调具有正态分布随机变量的贝叶斯学习。
3.A.1 贝叶斯法则#
要确定在给定我们观察到的数据条件下事件发生的概率，我们需要两条信息。首先，我们需要知道在事件已经发生的条件下看到数据的似然（即 Pr{数据|事件}）。我们需要知道在事件未发生的条件下看到数据的似然（即 Pr{数据|非事件}）。利用这些，我们可以计算数据的边际似然函数：
$$ \begin{array}{l} \operatorname * {P r} \{\text{数据} \} = \\ \operatorname * {P r} \{\text{数据} | \text{事件} \} \operatorname * {P r} \{\text{事件} \} + \operatorname * {P r} \{\text{数据} | \text{非事件} \} \operatorname * {P r} \{\text{非事件} \}. \end{array}\tag{3.10} $$我们知道同时看到数据和事件发生的概率具有对称性质：
$$ \begin{array}{l} \operatorname * {P r} \{\text{数据, 事件} \} = \\ \operatorname * {P r} \{\text{事件} | \text{数据} \} \operatorname * {P r} \{\text{数据} \} = \operatorname * {P r} \{\text{数据} | \text{事件} \} \operatorname * {P r} \{\text{事件} \}. \end{array}\tag{3.11} $$这意味着
$$ \operatorname * {P r} \{\text{事件} | \text{数据} \} = \frac{\operatorname* {P r} \{\text{数据} | \text{事件} \} \operatorname* {P r} \{\text{事件} \}}{\operatorname* {P r} \{\text{数据} \}}.\tag{3.12} $$但 $\operatorname{Pr}\{\text{数据}\}$ 由（3.10）给出，因此
$$ \begin{array}{r l} \operatorname * {P r} \{\text{事件} | \text{数据} \} & = \\ & \quad \operatorname * {P r} \{\text{数据} | \text{事件} \} \operatorname * {P r} \{\text{事件} \} \\ & \overline{{\operatorname * {P r} \{\text{数据} | \text{事件} \} \operatorname * {P r} \{\text{事件} \} + \operatorname * {P r} \{\text{数据} | \text{非事件} \} \operatorname * {P r} \{\text{非事件} \}}} \end{array}\tag{3.13} $$这就是贝叶斯法则。它给出了在观察到一些数据后形成事件已经发生的后验概率所使用的更新公式。另一种表述方式是：
$$ \text{后验信念} = \operatorname * {P r} \left\{\text{事件} | \text{数据} \right\} = \frac{\text{先验信念} \times \operatorname* {P r} \left\{\text{数据} | \text{事件} \right\}}{\text{数据的边际似然}},\tag{3.14} $$其中数据的边际似然就是方程（3.13）中的分母。
一个示例#
假设做市商认为资产的价值要么高要么低（为简单起见，令其为 0 或 1），并且他关于价值等于 0 的先验概率为 $\delta$ 。现在要么发生买入，要么发生卖出。当观察到一笔交易 $Q_1$ 时，我们需要知道什么来设定后验 $\Pr\{V = O|Q_1\}$ ？
首先，假设时间 1 的交易是一笔卖出（即 $Q_1 = S$ ）。那么，贝叶斯法则规定：
$$ \begin{array}{r l} \operatorname * {P r} \{V = 0 | S \} & = \\ & \operatorname * {P r} \{V = 0 \} \operatorname * {P r} \{S | V = 0 \} \\ \hline \operatorname * {P r} \{V = 0 \} \operatorname * {P r} \{S | V = 0 \} + \operatorname * {P r} \{V = 1 \} \operatorname * {P r} \{S | V = 1 \} \end{array}\tag{3.15} $$要显式求解，我们需要指定一些参数值。假设初始 $\Pr\{V=0\}=1/2$ 且 $\Pr\{V=1\}=1/2$ ，因此 $\delta=1/2$ 。由于我们从订单流中学习，知情和非知情交易者的交易倾向也很重要。为简单起见，假设一半交易者是知情的，一半是非知情的。进一步，假设任何非知情交易者买入或卖出的可能性相等。
给定这些概率，我们可以计算 $\Pr\{S|V=0\}$ 。首先，注意如果 V=0，那么知情者都知道坏消息，因此将以概率 1 卖出。非知情交易者卖出的概率是 1/2。因此，由于知情者和非知情者交易的可能性相同，如果 V=0 时看到卖出的概率为
$\operatorname{Pr}\{\text{知情交易者}\} \operatorname{Pr}\{\text{知情交易者卖出}\} + \operatorname{Pr}\{\text{非知情交易者}\} \operatorname{Pr}\{\text{非知情交易者卖出}\}$
$$ \begin{array}{l} = (1 / 2) (1) + (1 / 2) (1 / 2) = 1 / 2 + 1 / 4 = 3 / 4 \\ = \operatorname * {P r} \{S | V = 0 \}. \end{array}\tag{3.16} $$类似地，我们可以计算 $\Pr\{S|V=1\}$ 。现在知情者知道好消息，因此以概率 0 卖出，而非知情者继续以概率 1/2 卖出。因此，如果真实价值为 1 时看到卖出的概率为
$$ \begin{array}{l} \operatorname * {P r} \{\text{知情交易者} \} \operatorname * {P r} \{\text{知情交易者卖出} \} + \operatorname * {P r} \{\text{非知情交易者} \} \operatorname * {P r} \{\text{非知情交易者卖出} \} \\ = (1 / 2) (0) + (1 / 2) (1 / 2) = 1 / 4 \\ = \operatorname * {P r} \{S | V = 1 \}. \end{array} \tag{3.17} $$我们现在有足够的信息来求解更新方程（3.15）。代入概率得到
$$ \begin{array}{r l}\operatorname * {P r} \{V = 0 | S \}&= \frac{(1 / 2) (3 / 4)}{(1 / 2) (3 / 4) + (1 / 2) (1 / 4)}\\&= \frac{3 / 8}{4 / 8} = \frac{3}{4} \rightarrow \text{后验}.\end{array}\tag{3.18} $$这是在给定一笔卖出的情况下 V = 0 的后验信念。如果第一笔交易是买入，类似的更新过程给出后验。在这种情况下，贝叶斯法则规定：
$$ \begin{array}{r l} \operatorname * {P r} \{V = 0 | B \} & = \\ & \frac{\operatorname * {P r} \{V = 0 \} \operatorname * {P r} \{B | V = 0 \}}{\operatorname * {P r} \{V = 0 \} \operatorname * {P r} \{B | V = 0 \} + \operatorname * {P r} \{V = 1 \} \operatorname * {P r} \{B | V = 1 \}}. \end{array}\tag{3.19} $$求解观察到买入的概率与之前类似。如果 V = 0，则
$$ \left. \begin{array}{l} \text{非知情买入} = 1 / 2 \\ \text{知情买入} = 0 \end{array} \right\} \operatorname * {P r} \{B \mid V = 0 \} = 1 / 4.\tag{3.20} $$如果 $V = 1$ ，则
$$ \left. \begin{array}{c} \text{非知情买入} = 1 / 2 \\ \text{知情买入} = 1 \end{array} \right\} \operatorname * {P r} \{B \mid V = 1 \} = 3 / 4.\tag{3.21} $$代入方程（3.19）得到
$$ \operatorname * {P r} \{V = 0 | B \} = \frac{(1 / 2) (1 / 4)}{(1 / 8) + (1 / 2) (3 / 4)} = \frac{1}{4}.\tag{3.22} $$给定这些条件期望，做市商将其价格设定在哪里？我们知道，如果做市商看到一笔买入，他相信资产价值为 0 的概率现在是 1/4，而如果他看到一笔卖出，他相信这个概率是 3/4。因此，将价格设定为条件期望值给出：
$$ E [ V | B ] = (1) (3 / 4) + (0) (1 / 4) = 3 / 4,\tag{3.23} $$$$ E \left[ V | S \right] = (1) (1 / 4) + (0) (3 / 4) = 1 / 4,\tag{3.24} $$这些分别是做市商的卖出价和买入价。它们是"无悔"价格，因为如果确实发生买入，其交易价格（卖出价）在做市商给定交易条件下的期望值处，卖出类似地在买入价处。
现在，假设实际发生一笔买入。我们知道这笔交易以 $E[V \mid B]$ 进行。做市商将下一个价格设定在哪里？再次，从他新的先验（现在是 3/4）出发，做市商计算条件期望值：
$$ \begin{array}{r l} & {\operatorname * {P r} \{V = 0 | B, B \} =} \\ & {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname * {P r} \{V = 0 \mid B \} \operatorname * {P r} \{B | V = 0 \}} \\ & {\overline{{\operatorname * {P r} \{V = 0 | B \} \operatorname * {P r} \{B | V = 0 \} + \operatorname * {P r} \{V = 1 | B \} \operatorname * {P r} \{B | V = 1 \}}}} \\ & {= \frac{(1 / 4) (1 / 4)}{(1 / 4) (1 / 4) + (3 / 4) (3 / 4)} = \frac{1 / 16}{10 / 16} = 1 / 10,} \\ & {\operatorname * {P r} \{V = 0 | B, S \} =} \\ & {\overline{{\operatorname * {P r} \{V = 0 \mid B \} \operatorname * {P r} \{S | V = 0 \}}}} \\ & {\overline{{\operatorname * {P r} \{V = 0 | B \} \operatorname * {P r} \{S | V = 0 \} + \operatorname * {P r} \{V = 1 | B \} \operatorname * {P r} \{S | V = 1 \}}}} \\ & {= \frac{(1 / 4) (3 / 4)}{(1 / 4) (3 / 4) + (3 / 4) (1 / 4)} = \frac{3 / 16}{6 / 16} = 1 / 2,} \end{array}\tag{3.25} $$（3.26）
注意，如果后一种事件发生（买入后面跟着卖出），这会将新后验带回其原始值（初始先验）。还要注意，这些后验可以直接从先验计算，无需经过第一次观测后的中间更新步骤。即，例如，
$$ \begin{array}{r l} & {\operatorname * {P r} \{V = 0 | B, B \} =} \\ & {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname * {P r} \{V = 0 \} (\operatorname * {P r} \{B | V = 0 \}) ^{2}} \\ & {\overline{{\operatorname * {P r} \{V = 0 \} (\operatorname * {P r} \{B | V = 0 \}) ^{2} + \operatorname * {P r} \{V = 1 \}}} (\operatorname * {P r} \{B | V = 1 \}) ^{2}}. \\ & {\qquad = \frac{(1 / 2) (1 / 4) ^{2}}{(1 / 2) (1 / 4) ^{2} + (1 / 2) (3 / 4) ^{2}} = 1 / 10} \end{array}\tag{3.27} $$给定这些后验信念，卖出价和买入价是多少？
$$ \begin{array}{r l} E \Big [ V \mid B, B \Big ] & = \operatorname * {P r} \Big \{V = 0 \Big \} (0) + \operatorname * {P r} \Big \{V = 1 \Big \} (1) \\ & = (. 1) (0) + (. 9) (1) = . 9, \end{array}\tag{3.28} $$$$ E \left[ V \mid B, S \right] = \operatorname * {P r} \left\{V = 0 \right\} (0) + \operatorname * {P r} \left\{V = 1 \right\} (1) = . 5.\tag{3.29} $$对于这个交易历史，报价的演变可以描绘如下：
图 3.A.1 市场中报价的演变
3.A.2 贝叶斯学习的动态#
随着更新进行，信念（以及价格）随时间变化。由于这种价格运动对应于做市商对底层信息的学习，出现了几个重要问题。首先，价格走向何方？价格过程最终是否到达一个点，还是价格可以继续循环？第二个相关问题涉及价格调整的速度。如果价格确实收敛到某个值，这需要多长时间？
要处理这些问题，我们必须分析更新过程随时间如何表现。具体来说，我们将证明贝叶斯学习动态的两个重要性质：
- 后验几乎必然收敛到真实值；且
- 观察独立同分布过程的贝叶斯后验以指数速率收敛。
第一个性质具有重要含义：价格最终将达到完全信息价值，因此将是强式有效的（关于效率定义，参见第 3.3 节）。从金融学的角度来看，这显然是一个可取的性质，因为它表明市场有效地将信息纳入价格。第二个性质表明，虽然这种调整不是即时的，但可以量化需要多长时间。因此，有可能分析（并比较）替代市场环境中价格调整的速度。要证明这些性质，我们首先需要考虑强大数定律（Strong Law of Large Numbers）。
强大数定律#
令 $X_{t}$ 为来自均值为 $\mu$ 的分布的 i.i.d. 样本。那么
$$ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \sum_{t = 1} ^{T} X_{t} = \mu\tag{3.30} $$直观上，这表明如果你取平均，当样本变大时，平均观测值趋向真实均值。"几乎必然"（记为 a.s.）意味着
$$ \operatorname * {P r} \left\{\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \sum_{t = 1} ^{T} X_{t} = \mu \right\} = 1\tag{3.31} $$或者，在一组样本路径上，样本均值的极限以概率 1 等于真实均值 $\mu$ 。
现在，回到我们的做市商问题。当我们看一系列交易时，我们想观察价格会发生什么。为此，我们需要指定一些定义。
定义：令 $b = \# \text{买入}, s = \# \text{卖出}$ 。
由于交易是 i.i.d. 的，我们无需担心交易序列，因此可以仅记录买入和卖出的总数。这些是样本的充分统计量（sufficient statistics）。让我们保留之前引入的结构，令 V 取值高或低，但现在将这些值记为 $\underline{V}$ 和 $\bar{V}$ 。
定义：令
$$ \begin{array}{r c l} q & = & \operatorname * {P r} \{B | \underline{{V}} \}, 1 - q = \operatorname * {P r} \{S | \underline{{V}} \}, \\ p & = & \operatorname * {P r} \{B | \overline{{V}} \}, 1 - p = \operatorname * {P r} \{S | \overline{{V}} \}, \end{array} $$其中 B 表示特定交易是买入的事件，S 表示卖出。
现在，我们可以将一般更新公式写为
$$ \begin{array}{l} \operatorname * {P r} \{\underline{{\mathbf{V}}} | b, s \} = \frac{\text{(先验)} \operatorname * {P r} \{\text{数据} | V = \underline{{V}} \}}{\text{数据的边际似然}} \\ = \frac{\overbrace{\operatorname* {P r} (\underline{{V}})} ^{\text{先验}} \overbrace{q^{b} (1 - q) ^{s}} ^{\operatorname* {P r} \{\text{数据} | V = \underline{{V}} \}}}{\underbrace{\operatorname* {P r} \{\underline{{V}} \} q^{b} (1 - q) ^{s} + \operatorname* {P r} \{\bar{V} \} p^{b} (1 - p) ^{s}} _{\text{数据的边际似然}}}. \end{array}\tag{3.32} $$这个公式给出了在从 $b$ 笔买入和 $s$ 笔卖出中学到的信息条件下，事件 $V = \underline{\mathbf{V}}$ 的后验信念。注意它与方程（3.27）形式相同，但现在基于多于两笔交易。公式 $\Pr\{\bar{V} \mid b, s\}$ 类似地计算。
我们现在建立我们的第一个命题：方程（3.32）中的后验信念收敛到真实值。假设事件 $V = \underline{V}$ 已发生。为证明我们的收敛结果，我们首先考察后验优势比（posterior odds，即 $V = \bar{V}$ 概率与 $V = \underline{V}$ 概率之比）：
$$ \frac{\operatorname * {P r} \{\overline{{V}} \mid b , s \}}{\operatorname * {P r} \{\underline{{V}} \mid b , s \}} = \frac{\operatorname * {P r} _{0} \{\overline{{V}} \} p^{b} (1 - p) ^{s}}{\operatorname * {P r} _{0} \{\underline{{V}} \} q^{b} (1 - q) ^{s}}.\tag{3.33} $$第二，对两边取对数：
$$ \begin{array}{r l} \log \left(\frac{\operatorname * {P r} \{\overline{{V}} | b , s \}}{\operatorname * {P r} \{\underline{{V}} | b , s \}}\right) & = \log \left(\frac{\operatorname * {P r} \{\overline{{V}} \}}{\operatorname * {P r} \{\underline{{V}} \}}\right) + \log p^{b} (1 - p) ^{s} \\ & - \log q^{b} (1 - q) ^{s} \\ & = \log \left(\frac{\operatorname * {P r} \{\overline{{V}} \}}{\operatorname * {P r} \{\underline{{V}} \}}\right) \\ & + b \log p + s \log (1 - p) - b \log q \\ & - s \log (1 - q). \end{array}\tag{3.34} $$第三步，观察多次交易后的这个均值。因此将两边除以总交易数 $b + s$ 并取极限 $b + s \to \infty$ ：
$$ \begin{array}{l} \frac{1}{b + s} \log \left(\frac{\operatorname * {P r} \{\overline{{{V}}} | b , s \}}{\operatorname * {P r} \{\underline{{{V}}} | b , s \}}\right) = \underbrace{\frac{1}{b + s}} _{\text{当} b + s \to \infty \text{时，此项趋于 0}} \log \left(\frac{\operatorname * {P r} _{0} \{\overline{{{V}}} \}}{\operatorname * {P r} _{0} \{\underline{{{V}}} \}}\right) \\ + \underbrace{\frac{b}{b + s}} _{\text{如果} V = \underline{{{V}}}, \text{则此项趋于} q, \text{由} q \text{的定义，a.s.}} \\ + \underbrace{\frac{s}{b + s}} _{\text{}} \left(\log \frac{1 - p}{1 - q}\right). \end{array} \tag{3.3} $$此项趋于 $1 - q$ ，由定义（即当 $V = \underline{V}$ 时卖出交易的比例为 $1 - q$ ，a.s.）。
这意味着
$$ \frac{1}{b + s} \log \left(\frac{\operatorname * {P r} \{\overline{{V}} | b , s \}}{\operatorname * {P r} \{\underline{{V}} | b , s \}}\right) \stackrel{\text{a.s.}} {\rightarrow} q \log \left(\frac{p}{q}\right) + (1 - q) \log \left(\frac{1 - p}{1 - q}\right).\tag{3.36} $$现在假设方程（3.36）的右边为负。这如何可能？只有当 $\log\left(\frac{\Pr\{V=\bar{V}\mid b,s\}}{\Pr\{V=\underline{V}\mid b,s\}}\right)$ 趋向负无穷大时才会发生。这发生在 $\left(\frac{\Pr\{V=\bar{V}\mid b,s\}}{\Pr\{V=\underline{V}\mid b,s\}}\right)$ 趋向 0 时，或 $\Pr\{V=\bar{V}|b,s\}$ 趋向 0 时，这正是我们想证明的。这表明要建立我们的结果，我们只需要确定右边的符号。显然，方程的右边与标准统计概念——熵（entropy）——相关。
3.A.3 熵#
熵是概率之间距离的一种度量。熵被定义为
$$ I_{q} (p) \equiv q \log \left(\frac{q}{p}\right) + (1 - q) \log \left(\frac{1 - q}{1 - p}\right)\tag{3.37} $$熵度量有三个有用性质值得注意：
$$
- I_{q} (p) \geq 0 \quad \forall q, p,\tag{3.38} $$
第一个性质表明熵总是正的，而第二个表明其最小值为零。第三个性质规定除非 p = q，否则该度量不为零。要理解这些论断的直觉，注意 $I_{q}(p)$ 在 p 上是严格凸的，并在 p = q 处达到最小值。
现在回到我们的做市商问题。方程（3.36）的右边是什么？熵的负值。因此
$$ \frac{1}{b + s} \log \left(\frac{\operatorname * {P r} \{V = \overline{{V}} | b , s \}}{\operatorname * {P r} \{V = \underline{{V}} | b , s \}}\right)\begin{array}{l}\text{a.s.}\\\rightarrow\end{array}- I_{q} (p),\tag{3.41} $$如果 $q \neq p$ ，则此值 < 0。注意如果 q = p，那么交易数据没有信息量，信念将保持在我们的初始先验上。如果交易是有信息量的，那么信念确实趋向真实值，这建立了我们的收敛结果。
我们希望建立的第二个性质是收敛速度。这也可以从我们的熵度量推导出来。由于交易顺序发生且每个期间有一笔交易，令 t 索引时间，我们可以用 t 替代 $b + s$ 。那么方程（3.41）可以写为
$$ \frac{1}{t} \log \left(\frac{\operatorname * {P r} \{V = \overline{{V}} | b , s \}}{\operatorname * {P r} \{V = \underline{{V}} | b , s \}}\right)\rightarrow - I_{q} (p), a. s.\tag{3.42} $$因此 $\left(\frac{\Pr\{V=\bar{V}\mid b,s\}}{\Pr\{V=\underline{V}\mid b,s\}}\right)$ 以速率 $-I_{q}(p)$ 指数收敛到零（几乎必然）。这建立了我们的第二个结果。
3.A.4 具有连续分布随机变量的贝叶斯更新#
我们迄今的分析已经展示了底层随机变量具有离散分布的贝叶斯学习模型中的更新方法和收敛性质。然而，许多决策问题涉及连续分布的随机变量，因此考虑贝叶斯更新如何在这些设置中发生是有用的。作为本附录的结论，我们回顾一般的更新程序，然后推导正态分布随机变量情况下的后验分布。由于许多微观结构和理性预期模型涉及这种正态结构，在此背景下考察贝叶斯学习对于理解这些模型中价格和信念的演变特别有用。
为了设定学习问题，假设我们对参数 $\mu$ 有一个先验信念，由密度 $g(\mu)$ 给出。我们观察到随机变量 x 的独立同分布抽取。令给定 $\mu$ 下 x 的条件密度为 $f(x|\mu)$ 。要找到在观测到 x 后 $\mu$ 的后验分布，回忆
$$ \text{后验信念} = \frac{\text{先验信念} \times \text{数据的条件概率}}{\text{数据的边际似然}} $$对于连续分布，这为
$$ g (\mu | x) = \frac{g (\mu) f (x | \mu)}{\int f (x | \mu) g (\mu) d \mu}.\tag{3.43} $$这是具有连续分布随机变量的贝叶斯更新法则。
示例：正态分布随机变量#
假设先验密度 $g(\mu)$ 为 $N(m, \sigma_{\mu}^{2})$ ，且 $f(x \mid \mu)$ 为 $N(\mu, \sigma_{x}^{2})$ 。那么
$$ g (\mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{\mu}} \exp \left[ - \frac{1}{2 \sigma_{\mu} ^{2}} (\mu - m) ^{2} \right],\tag{3.44} $$$$ f (x | \mu) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{x}} \exp \left[ - \frac{1}{2 \sigma_{x} ^{2}} (x - \mu) ^{2} \right].\tag{3.45} $$应用方程（3.43），后验密度为
$$ \left(\frac{\sigma_{x} ^{2} + \sigma_{\mu} ^{2}}{2 \pi \sigma_{x} ^{2} \sigma_{\mu} ^{2}}\right) ^{1 / 2} \exp \left[ - \left(\frac{\sigma_{x} ^{2} + \sigma_{\mu} ^{2}}{2 \sigma_{x} ^{2} \sigma_{\mu} ^{2}}\right) \left(\mu - \frac{\frac{m}{\sigma_{\mu} ^{2}} + \frac{x}{\sigma_{x} ^{2}}}{\frac{1}{\sigma_{\mu} ^{2}} + \frac{1}{\sigma_{x} ^{2}}}\right) ^{2} \right]\tag{3.46} $$因此后验分布为
$$ N \left(\frac{\frac{m}{\sigma_{\mu} ^{2}} + \frac{x}{\sigma_{x} ^{2}}}{\frac{1}{\sigma_{\mu} ^{2}} + \frac{1}{\sigma_{x} ^{2}}}, \left(\frac{1}{\sigma_{\mu} ^{2}} + \frac{1}{\sigma_{x} ^{2}}\right) ^{- 1}\right).\tag{3.47} $$关于这个示例有几个重要性质需要注意。首先，后验是正态的。因此，如果我们从正态先验开始并观察到正态分布的随机变量，我们的后验保持为正态。这对于可处理性是一个特别有用的性质，正如我们将在第4章附录中看到的，这一特征在理性预期模型中被广泛利用。
第二，后验分布的均值揭示了更新本质上涉及按各自的精度（precision，定义为方差的倒数）对先验和信号进行加权。因此，后验均值可以写为
$$ \left[ m \frac{1}{\sigma_{\mu} ^{2}} + x \frac{1}{\sigma_{x} ^{2}} \right] / \left[ \frac{1}{\sigma_{\mu} ^{2}} + \frac{1}{\sigma_{x} ^{2}} \right],\tag{3.48} $$其中分母只是精度之和。因此，不是计算方程（3.43）中的积分，一种更简单的求后验信念均值的方法是将先验和信号结果乘以其精度，再除以精度之和。
与离散情况一样，当贝叶斯看到 $x$ 的重复抽取时，其后验信念收敛到真实值。在来自 $N(\mu, \sigma_x^2)$ 的 $T$ 次独立抽取 $x_1, \ldots, x_T$ 之后，后验为
$$ N \left(\frac{\frac{m}{\sigma_{\mu} ^{2}} + \frac{\Sigma_{t = 1} ^{T} x_{t}}{\sigma_{x} ^{2}}}{\frac{1}{\sigma_{\mu} ^{2}} + \frac{T}{\sigma_{x} ^{2}}}, \left(\frac{1}{\sigma_{\mu} ^{2}} + \frac{T}{\sigma_{x} ^{2}}\right) ^{- 1}\right).\tag{3.49} $$使用强大数定律，我们再次看到后验均值 a.s. 收敛到 $\mu$ ，后验方差收敛到零。