线性响应理论：现代分析-代数方法 on Yuunagi Library

致谢

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

致谢#

我们衷心感谢 François Germinet，他引导 G. D. 接触了 [BGK+05; DG08]——正是这些工作启发了整个项目。除了 François，许多同事不仅慷慨地与我们分享见解，还鼓励我们将本书项目坚持到底。我们尤其要感谢 Jean Bellissard、Hermann Schulz-Baldes、Daniel Lenz、Georgi Raikov 和 Massimo Moscolari。在他们的帮助下，我们能够更快速、更优雅地克服许多障碍。

最后，G. D. 感谢 FONDECYT 通过资助项目"Iniciación en Investigación 2015 - N^o 11150143"支持本书的编写。

第1章 · 引言

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

引言#

线性响应理论（Linear Response Theory, LRT）是一种用于研究由外部微扰驱动偏离平衡的系统的工具。其典型例证是对 Ohm 经验定律 $\begin{array} {r} {J = \sum_{j = 1} ^{d} \sigma_{j} E_{j}} \end{array}$ [Ohm10] 的第一性原理证明，该定律指出电流与外加电场成线性关系。这些思想最早由 Green [Gre54] 和 Kubo [Kub57] 在统计力学中开创，随后由 Středa [Str82] 用于将二维电子气中的横向电导率与 Fermi 能级以下的 Landau 能级数联系起来。本书旨在为数学物理学家提供一套现代工具，使得线性响应理论能够对广泛系统（包括一些超出已有理论范围的系统）变得严格。下面我们将解释这一解析-代数框架的所有组成部分，并将其置于现有文献的语境中。但首先让我们简述其物理图景。

初始时刻，未受微扰的系统由自伴算子（selfadjoint operator）$H$ 支配，处于平衡态，即其状态由与 H 对易的密度算子（density operator）$\rho$ 描述。然后，在遥远的过去，我们绝热地（adiabatically）开启一个微扰，将系统驱离平衡。这里我们区分一组微扰参数（perturbation parameters）$\pmb{\Phi} = \left( \Phi_{1} , \ldots , \Phi_{d} \right)$（例如电场的分量）和绝热参数（adiabatic parameter）$\varepsilon$，后者量化微扰被逐渐开启的速度。因此，两者都作为参数进入受微扰的 Hamiltonian $H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) = H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) ^{*}$ 中。微扰在 $t_{0} < 0$ 时刻开始开启（原则上可为 $-\infty$），在 $t = 0$ 时刻 Hamiltonian 已达到受微扰的状态。绝热切换允许我们从与未受微扰情形相同的初始状态 $\rho$ 出发，并按照下式对其进行演化

第2章 · 设定、假设与主要结果

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

本书的总体目标是提出一个解析-代数框架，使线性响应理论（Linear Response Theory, LRT）能够在一大类系统中严格成立。本章的目的是解释设定、列举数学假设并陈述主要结果。

2.1 抽象设定的描述#

构建通用且相当抽象的 LRT 设定的第一步是引入主要成分。

理论的基本要素：#

(H1) 一个 von Neumann 代数 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$，作用于（未必可分的）Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的有界算子代数，包含关于所研究系统的相关信息。该 von Neumann 代数配有一个迹 $\mathcal{T}$，使我们能够计算与系统相关的可观测量（observables）的期望值。

(H2) 一个（可能无界的）自伴 Hamiltonian H，从属于（affiliated to）$\mathcal{A}$，它规定了系统的未受微扰动力学（unperturbed dynamics）。

(H3) 一组 $\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$ 个（可能无界的）自伴算子，一个向量 $\Phi \in \mathbb{R} ^{d}$（记其长度为 $\Phi := | \Phi |$）和一个正参数 $\varepsilon > 0$，它们进入酉值映射 $\mathbb{R} \ni t \mapsto G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的定义。

(H4) 后者通过用 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 共轭 Hamiltonian H 来定义含时的绝热等谱微扰（adiabatic isospectral perturbation）：

第3章 · 数学框架

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

本章的目的是介绍所有必要的数学概念，使本书的其余部分自成体系。虽然这里涵盖的数学对象都不是新的，但我们的目标是让尽可能多的读者能够理解本书。此外，我们相信许多读者将从对中心问题（如可测性）的讨论中受益，这些问题将在第5章和第6章的证明中发挥关键作用。

3.1 可观测量代数#

为了发展线性响应理论的一般"算子理论"方法，我们首先需要确定可观测量（observable）的恰当定义。量子力学中的一个常见观点是，假设相关可观测量的集合构成了可分离Hilbert空间上有界算子的von Neumann代数。然而，许多常见的可观测量（如位置、动量和角动量）实际上是无界的，为了涵盖这些，我们需要引入隶属（affiliation）的概念。算子代数理论是一个成熟的学科，有许多专著论述：其中我们将主要参考[Dix77; Dix81; KR97a; KR97b; BR02; Tak02; Tak03]。

3.1.1 可观测量的von Neumann代数#

在整本专著中，符号将系统地表示一个复Hilbert空间，配备了一个半双线性内积$\langle \cdot , \cdot \rangle_{;}$；不一定可分。有界算子的(C∗)-代数将记为( )。该代数可以赋予多种拓扑。一致算子拓扑（UOT）是由算子范数诱导的度量拓扑

$$ \| A \| ^{2} := \sup_{\psi \in \mathcal{H} \setminus \{0 \}} \frac{\left\langle \psi , A^{*} A \psi \right\rangle}{\left\langle \psi , \psi \right\rangle} = \sup_{\psi \in \mathcal{H} \setminus \{0 \}} \frac{\left\| A \psi \right\| _{\mathcal{H}} ^{2}}{\left\| \psi \right\| _{\mathcal{H}} ^{2}}, \qquad A \in \mathcal{B} (\mathcal{H}). $$

强算子拓扑（SOT）是由半范数$A \mapsto s_{\psi} ( A ) : = \left\| A \psi \right\| _{\mathcal{H}} ,$（$\psi$在${\mathcal{H}} ;$中变化）诱导的局部凸拓扑；弱算子拓扑（WOT）是由半范数$A \mapsto \mathsf{w} _{\psi} ( A ) : =$ $\left| \left. \psi , A \psi \right. \right|$（$\psi$在$\mathcal{H}$中变化）诱导的局部凸拓扑。其他拓扑由具有$\dot{\ell} ^{2}$性质$\begin{array} {r} {\sum_{n \in \mathbb{N}} \lVert \psi_{n} \rVert_{\mathcal{H}} ^{2} < + \infty \colon} \end{array}$的序列$\{\psi_{n} \} _{n \in \mathbb{N}}$标记：超强算子拓扑（uSOT）和超弱算子拓扑（uWOT）分别由半范数族$\begin{array} {r} {A \longmapsto \mathsf{u s} _{\{\psi_{n} \} _{n \in \mathbb{N}}} ( A ) : = ( \sum_{n \in \mathbb{N}} \left\| A \psi_{n} \right\| _{\mathcal{H}} ^{2} ) ^{1 / 2}} \end{array}$和$A \mapsto \mathsf{u w} _{\{\psi_{n} \} , \{\phi_{n} \}} ( A ) : =$ $\textstyle \left| \sum_{n \in \mathbb{Z}} \left. \psi_{n} , A \phi_{n} \right. \right|$诱导的局部凸拓扑。网（或序列）$\left\{A_{\alpha} \right\} _{\alpha \in I} \subset{\mathcal{B}} ( {\mathcal{H}} )$在上述各种拓扑中的收敛概念总结如下：

第4章 · 物理系统的统一框架

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

我们在第2章和第3章中详述的框架仍然相当抽象，因此我们将花几页篇幅讨论一个更具体的框架，该框架直接适用于文献中处理的最常见例子。这包括有磁场和无磁场的量子系统，包括离散和连续情形，周期性的或随机的。在第7章中，我们将预告一个新的应用，即随机Maxwell算子，其中Hilbert结构由随机权重定义。

4.1 与遍历拓扑动力系统关联的von Neumann代数#

第一个成分是一个遍历拓扑动力系统（ergodic topological dynamical system）Ω, G, τ, P，由一个交换群G通过作用τ作用于概率空间(Ω, P)上构成。

定义定义 4.1.1 (遍历拓扑动力系统)

一个遍历拓扑动力系统是一个四元组$( \Omega , \mathbb{G} , \tau , \mathbb{P} )$，由以下组成：

(a) 一个可分的、可度量的、局部紧交换群$\mathbb{G}$，

(b) 一个标准概率空间$( \Omega , {\mathcal{F}} , \mathbb{P} )$，其中Ω是紧可度量（因而可分）空间，$\mathcal{F}$是Borel σ-代数，P是满足$\mathbb{P} ( \Omega ) = 1$的Borel测度，且

这些结构通过以下假设相互关联：

(i) 群作用$\tau : \mathbb{G} \times \Omega \to \Omega$由$( g , \omega ) \mapsto \tau_{g} ( \omega )$给出，是联合连续的。

(ii) 测度P是τ-不变的，即对所有$g \in \mathbb{G}$和$\mathsf{B} \in \mathcal{F}$有$\mathbb{P} ( \tau_{g} ( \mathsf{B} ) ) = \mathbb{P} ( \mathsf{B} )$。

第5章 · 动力学研究

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

本章的目的是在第3章的框架内研究未微扰、微扰与相互作用动力学。我们的任务包括刻画生成元的核与定义域，证明传播子的存在性，展示它们在微扰参数下的连续性，以及比较不同演化之间的关系。

5.1 未微扰动力学#

设 $H \in \mathsf{A f f} ( {\mathcal{A}} )$ 为自伴算子，考虑（酉）未微扰传播子

$$ U_{0} (t) := \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t H}, $$$$ t \in \mathbb{R}.\tag{5.1.1} $$

映射 $t \mapsto U_{0} ( t )$ 满足定义 3.2.15 的所有条件，因此命题 3.2.16 适用。这一关键事实使得我们可以在每个 Banach 空间 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上定义未微扰动力学。

作为命题 3.2.16 的结果，$\mathcal{A}$ 上的 R-流 $t \mapsto \alpha_{t} ^{0}$ 由

$$ \alpha_{t} ^{0} (A) := U_{0} (t) A U_{0} (- t), $$$$ t \in \mathbb{R}, A \in \mathscr{A},\tag{5.1.2} $$

定义，它典范地延拓为 ${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$ 上的 -自同构群，其次在每个 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) , 1 \leqslant p < \infty$ 上定义强连续等距单参数群。该 R-流

第6章 · Kubo公式与绝热极限

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

最繁重的工作已经完成，现在我们可以着手证明第2章的主要结果——定理 2.2.3、2.3.3、2.4.1 和 2.4.2。我们在第2章中施加的六个假设旨在取得平衡，以突出证明的结构而非技术细节。不过，我们相信许多结果可以在更一般的条件下成立。粗略地说，有三个不同的步骤：

步骤 1：获得 $\rho_{\mathrm{full}} (t) = \rho_{\mathrm{int}} (t) + \mathbf{\Phi} \cdot \mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} (t)$ 的显式表达式，并证明 $\mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 由 (2.2.13) 给出且连续依赖于 $\Phi$。

步骤 2：通过在 $\Phi = 0$ 处关于 $\Phi_{k}$ 求导，计算有限 $\varepsilon > 0$ 下的宏观净电流 $\mathcal{L} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$（见方程 (2.3.1a)），从而得到电导率张量。

步骤 3：取电导率张量的绝热极限 $\varepsilon \to 0^{+}$，并针对与 H 的有限谱范围相关的纯态找到简化表达式。

即使我们改变假设或设定（例如微扰的具体形式），这些步骤本质上保持不变。

6.1 平衡态演化的比较#

第一个主要步骤是将完全演化态按微扰参数 Φ 在 0 附近展开（定理 2.2.3），即比较完全演化态

第7章 · 应用

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第4章中详细阐述的框架直接适用于两种最常见的情形，即$\mathbb{G} = \mathbb{Z} ^{d}$和$\mathbb{R} ^{d}$，它们分别描述离散（紧束缚，tight-binding）模型和连续系统（continuum systems）。撰写本书的主要动机之一，就是发展一套直接适用于连续模型的线性响应理论（Linear Response Theory，简称LRT）框架。然而，到目前为止我们仍需为读者指出一个超越现有文献成果的全新应用实例。

7.1 周期与随机光导体的线性响应理论#

大约十年前，Raghu和Haldane [RH08] 提出了周期光导体（light conductors）中量子霍尔效应（Quantum Hall Effect）的类比。他们的开创性工作开启了在经典波和玻色子波中寻找拓扑效应（topological effects）的研究，在此过程中催生了几个非常活跃的子领域。拓扑效应不仅在电磁波 [WCJ+09] 中得到了实验证实，还在耦合机械振子 [SH15; SH16]、周期波导阵列 [RZP+13] 和声波导 [XMY+15] 中被观察到。

从相应的基本方程出发推导这些拓扑效应，无论从理论物理还是数学物理的角度来看，都是一个未解决的问题。由于与量子霍尔效应的相似性，以及LRT在为横向电导率（transverse conductivity）的量子化提供第一性原理（first principles）解释中所起的作用，我们认为为周期和随机光导体建立LRT也将为光的拓扑效应的内在机制提供洞见。然而，完整实现这一目标超出了本章的范围，我们将其推迟到未来的工作中 [DL17]。首先，我们需要将描述经典电磁波在介质中传播的介质Maxwell方程组与Schrödinger方程联系起来。

7.1.1 电磁学的Schrödinger形式体系#

这些经典波在数学上的共同之处在于，它们的动力学方程可以改写为Schrödinger方程的形式

$$ \mathrm{i} \partial_{t} \Psi (t) = M \Psi (t), $$$$ \Psi (0) = \Phi \in \mathcal{H},\tag{7.1.1} $$

其中Maxwell型算子的形式为$M = W^{- 1} D$，且在$L_{W} ^{2} ( \mathbb{R} ^{d} , \mathbb{C} ^{N} )$空间的一个闭子空间上是自伴的（selfadjoint）（从而Ψ满足例如横截性条件，transversality conditions）。权函数W满足定义4.1.3的第(ii)条，即W $\in L^{\infty} ( \mathbb{R} ^{d} )$ $\mathbf{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$取值于厄米矩阵（hermitian matrices），是有界的且具有有界逆。第二个要求是(7.1.1)支持实值解：与复量子波函数不同，电磁波或声波等经典场是实的，这一性质必须在动力学方程及其作用的空间$\mathcal{H}$中得到体现。关于电磁波的详细讨论可参见 [DL16, 第2.2–2.3节]。

参考文献

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

参考文献#

[Ara05] A. Arai. Generalized Weak Weyl Relation and Decay of Quantum Dynamics. Rev. Math. Phys. 17, 1071–1109, 2005.

[BC09] E. Bédos and R. Conti. On Twisted Fourier Analysis and Convergence of Fourier Series on Discrete Groups. J. Fourier Anal. Appl. 15, 336–365, 2009.

[BES94] J. Bellissard, A. van Elst, and H. Schulz-Baldes. The noncommutative geometry of the quantum Hall effect. J. Math. Phys. 35, 5373–5451, 1994.

[BS98] J. Bellissard and H. Schulz-Baldes. A Kinetic Theory for Quantum Transport in Aperiodic Media. J. Stat. Phys. 91, 991–1027, 1998.