第4章中详细阐述的框架直接适用于两种最常见的情形，即$\mathbb{G} = \mathbb{Z} ^{d}$和$\mathbb{R} ^{d}$，它们分别描述离散（紧束缚，tight-binding）模型和连续系统（continuum systems）。撰写本书的主要动机之一，就是发展一套直接适用于连续模型的线性响应理论（Linear Response Theory，简称LRT）框架。然而，到目前为止我们仍需为读者指出一个超越现有文献成果的全新应用实例。

7.1 周期与随机光导体的线性响应理论#

大约十年前，Raghu和Haldane [RH08] 提出了周期光导体（light conductors）中量子霍尔效应（Quantum Hall Effect）的类比。他们的开创性工作开启了在经典波和玻色子波中寻找拓扑效应（topological effects）的研究，在此过程中催生了几个非常活跃的子领域。拓扑效应不仅在电磁波 [WCJ+09] 中得到了实验证实，还在耦合机械振子 [SH15; SH16]、周期波导阵列 [RZP+13] 和声波导 [XMY+15] 中被观察到。

从相应的基本方程出发推导这些拓扑效应，无论从理论物理还是数学物理的角度来看，都是一个未解决的问题。由于与量子霍尔效应的相似性，以及LRT在为横向电导率（transverse conductivity）的量子化提供第一性原理（first principles）解释中所起的作用，我们认为为周期和随机光导体建立LRT也将为光的拓扑效应的内在机制提供洞见。然而，完整实现这一目标超出了本章的范围，我们将其推迟到未来的工作中 [DL17]。首先，我们需要将描述经典电磁波在介质中传播的介质Maxwell方程组与Schrödinger方程联系起来。

7.1.1 电磁学的Schrödinger形式体系#

这些经典波在数学上的共同之处在于，它们的动力学方程可以改写为Schrödinger方程的形式

其中Maxwell型算子的形式为$M = W^{- 1} D$，且在$L_{W} ^{2} ( \mathbb{R} ^{d} , \mathbb{C} ^{N} )$空间的一个闭子空间上是自伴的（selfadjoint）（从而Ψ满足例如横截性条件，transversality conditions）。权函数W满足定义4.1.3的第(ii)条，即W $\in L^{\infty} ( \mathbb{R} ^{d} )$ $\mathbf{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$取值于厄米矩阵（hermitian matrices），是有界的且具有有界逆。第二个要求是(7.1.1)支持实值解：与复量子波函数不同，电磁波或声波等经典场是实的，这一性质必须在动力学方程及其作用的空间$\mathcal{H}$中得到体现。关于电磁波的详细讨论可参见 [DL16, 第2.2–2.3节]。

现在让我们具体化，考虑介质中Maxwell方程组的情形，暂时忽略随机性。基本方程为

(7.1.2b)

其中材料权函数

取值于厄米$6 \times 6$矩阵，由$3 \times 3$分块$\varepsilon$（介电常数，electric permittivity）和$\mu$（磁导率，magnetic permeability）组成。为避免（可处理的）复杂性，我们进一步假设W的元都是实的，即介质是非旋光的（nongyrotropic）；所有后续论证都可以推广到W具有非零虚部的旋光（gyrotropic）情形 [DL16, 第2.2–2.3节]。

为了从动力学Maxwell方程组推导出(7.1.1)，我们将(7.1.2a)两边乘以有界乘法算子$\mathrm{i} \ W^{- 1}$，得到Schrödinger型方程，其中Maxwell算子

扮演Hamilton量的角色。物理初始条件 (E, H) 是实的且必须是横截的（transversal），即满足无散条件（divergence-free condition）(7.1.2b)，该性质在动力学演化下保持不变。可以证明，赋予自由Maxwell算子Rot的定义域后，M在加权L²空间$\mathcal{H} _{W} : = L_{W} ^{2} ( \mathbb{R} ^{3} , \mathbb{C} ^{6} )$上定义了自伴算子。后者定义为$\mathcal{H} _{*} : = L^{2} ( \mathbb{R} ^{3} , \mathbb{C} ^{6} )$（视为Banach空间），并赋予内积$\langle \Phi , \Psi \rangle_{W} : = \langle \Phi , W \Psi \rangle_{L^{2} ( \mathbb{R} ^{3} , \mathbb{C} ^{6} )} .$真空中的Maxwell方程组与Schrödinger方程之间的联系自现代量子力学诞生之初就已为人所知（我们在Wigner关于Poincaré群表示的开创性论文 [Wig39, pp. 151 and 198] 中找到了第一个系统性解释，不过Wigner将此洞见归功于Dirac）。介质中Maxwell方程组的第一个数学论著归功于Birman和Solomyak [BS87]。我们在最近的一系列论文 [DL14c; DL14a; DL14b; DL16] 中对这一问题进行了进一步探讨，并更深入地理解了电磁波在Schrödinger形式体系中的实值性是如何体现的——这一事实在讨论假设5（Hypothesis 5）时将会变得重要。

我们在 [DL16, 第3.3.2节] 中的一个洞见是，流算子（current operator）

的期望值可以与Poynting矢量${\mathcal{P}} ( x ) = \mathbf{E} ( x ) \times \mathbf{H} ( x )$的平均值通过下式联系起来

（这里我们利用了场E和H的实值性），因此与量子情形相同的一些算子也进入了分析。虽然这一事实本身可能看似奇特，但背后有更深层的原因：量子力学中的可观测量（通常是隶属于von Neumann代数的自伴算子）与电磁可观测量（即场的泛函，functionals of the fields）在概念上是不同的 [DL16, 第3节]。二次泛函（quadratic functionals）通常可以写成期望值（expectation value）的形式（另见 [BBN13, 第3.3节]）。这一区分可能显得学究气，但对于数学结论的物理解释至关重要。

从数学上看，Maxwell型算子的结构是特殊的，因为微扰是乘法性的而非加性的，即

其作用在不同的Hilbert空间上，该空间由$S^{2} W$而非W加权。这里我们当然假设$S^{2} W$满足与W本身相同的假设，且S自身是有界乘法算子并具有有界逆。此前，文献 [RH08; OMN06; DL14a] 中考虑了如下形式的算子

其中$\tau_{\varepsilon} , \tau_{\mu} : \mathbb{R} ^{3} \longrightarrow \mathbb{R}$为适当的函数，包括Haldane的原始论文。

用S对$\mathbf{M} _{S}$进行共轭变换得到

该算子在未受扰动的Hilbert空间$L_{W} ^{2} ( \mathbb{R} ^{3} , \mathbb{C} ^{6} )$ [DL14c, 第2.2节] 上是自伴的，因为S作为从$L_{S^{2} W} ^{2} ( \mathbb{R} ^{3} , \mathbb{C} ^{6} )$到$L_{W} ^{2} ( \mathbb{R} ^{3} , \mathbb{C} ^{6} )$的映射是幺正的（unitary）。注意，这与(2.1.1)有细微差别，因为$S^{- 1}$出现在M的左侧和右侧。许多其他经典波动方程也有类似的性质。

第二类符合我们LRT方案的微扰$M_{G} : = G M G^{- 1}$由含时幺正变换（time-dependent unitary）给出

由位置算子$X_{1} , X_{2}$和$X_{3}$定义，该变换在时刻t赋予电磁波动量$\big ( \Phi_{1} ( t ) , \Phi_{2} ( t ) , \Phi_{3} ( t ) \big )$。

7.1.2 随机介质#

随机分布介质系综的处理在第4章建立的框架中进行：假设给定一个编码随机性的概率空间$( \Omega , \mathbb{P} )$、一个遍历的$\mathbb{R} ^{3}$作用τ在Ω上，以及$\widehat{W} = \lbrace W_{\omega} \rbrace_{\omega \in \Omega}$，即在定义4.1.3意义上的权函数场，它们共同描述ε和μ的统计涨落。这类随机Maxwell算子的例子此前由Figotin和Klein在1990年代末研究过 [FK96; FK97]。同时处理所有构型并按概率加权的相关Hilbert空间是直积分（direct integral）

其中$\mathcal{H} _{\omega} : = L_{W_{\omega}} ^{2} ( \mathbb{R} ^{3} , \mathbb{C} ^{6} )$是由$W_{\omega}$加权的$L^{2}$空间。纤维Maxwell算子$M_{\omega} : = W_{\omega} ^{- 1}$Rot的集合记为

具有常纤维定义域$\begin{array} {r} {\mathcal{D} ( \widehat{M} ) = \int_{\Omega} ^{\oplus} \mathrm{d} \mathbb{P} ( \omega ) \mathcal{D} ( \mathrm{R o t} )} \end{array}$。电磁场的空间平移

必然将实值场映射为实值场，因此2-上循环（2-cocycle）扭曲$\Theta = \mathbb{1}$不存在。基于上述所有理由，我们得出结论：命题4.1.6适用，且M隶属于von Neumann代数

该代数赋有单位体积迹（trace per unit volume）$\mathcal{T} _{\mathbb{P}}$，其显式公式由命题4.2.1和方程(4.2.6)给出。因此，假设1和2（Hypotheses 1 and 2）成立。此外，通常的位置算子$X_{j} , X_{2}$和$X_{3}$与$\mathcal{T} _{\mathbb{P}}$相容（假设3，Hypothesis 3），这一点我们已在命题4.3.1中证明。假设4（Hypothesis 4）规定了未受扰动构型与受扰动构型之间绝热切换（adiabatic switching）应具有的一般性质，但在我们的情形中不施加额外的技术限制。

接下来讨论我们对流可观测量（current observables）施加的假设（假设5，Hypothesis 5）：如(7.1.4)的讨论中指出的，流可观测量是流算子$\widehat{J} _{k} : = \left\{J_{k , \omega} \right\} _{\omega \in \Omega}$的期望值，其中

注意$J_{k , \omega}$是有界自伴乘法算子，且由于Rot是一阶微分算子，高阶对易子必然恒为零。合适的局域化定义域$\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$由具有紧支集的$L^{2}$函数组成（即在某个紧集之外，它们在Lebesgue测度下几乎处处为零）。公共核（joint core）——交集$\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( M_{\omega} ) = \mathcal{D} _{\mathrm{c}} \cap \mathcal{D} ( \mathrm{R o t} )$——实际上与ω无关，因为$W_{\omega} ^{- 1}$作为有界乘法算子保持$\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$不变。因此，我们已证明(i)–(iv)。剩下的唯一假设是谱隙（spectral gap）的存在性。这看似非平凡的，因为$M_{\omega}$的谱无下界且不一定存在间隙。事实上，对称关系$C M_{\omega} C = - M_{\omega}$（其中C是复共轭，complex conjugation）确保谱是点对称的。然而，我们可以通过限制到ω > 0的谱子空间来获得等价的描述，其动力学由$\widetilde{M} _{\omega} : = M_{\omega} \ : 1_{( 0 , \infty )} ( M_{\omega} ) | _{\omega > 0}$ [DL16, 第2.3节] 支配。这是因为所有电磁场都是实的，因此正负频率贡献$\Psi_{\pm} : = 1_{( 0 , \infty )} ( \pm M_{\omega} ) ( \mathbf{E} , \mathbf{H} )$必然通过复共轭相关联，即$\Psi_{-} = \overline{{\Psi_{+}}}$。显然$\smash{\widetilde{M}} _{\omega}$有下界，且条件(v)通常满足。

从物理角度来看，只剩下假设6（Hypothesis 6）。在这里，量子力学与经典场之间的差异变得重要。对于费米子量子系统，典型的假设是态由Fermi能量（Fermi energy）$E_{\mathrm{F}}$和温度T表征。有限温度效应通常被视为零温Fermi投影（Fermi projection）的微扰

其中$E_{\mathrm{F}}$以下的所有态都被填满，其余态完全空置。此处的标准物理假设是Fermi能量要么位于谱隙中，要么位于Anderson局域化（Anderson localization）区域。

尽管在数学上完全良定义，但对于电磁波而言，这样的态在物理上没有太多意义，因为激发通常在k空间和频率空间中分别围绕某个$k_{0}$和$\omega_{0}$呈峰状分布。最简单的例子是照射在光子晶体表面的激光束：频率$\omega_{0}$是激光的频率，而相对于表面法线的方向决定了$k_{0}$。即便天线可能激发多个频率（包括高次谐波）的光且是全向的，在技术上仍然无法填充过宽频率范围$[ a , b ]$内的所有态，即激发态$\rho = 1_{[ a , b ]} ( {\cal M} )$。然而，至少在周期系统中，具有确定频率和动量的态$\begin{array} {r} {\rho \simeq \int_{\mathbb{B}} ^{\oplus} \mathrm{d} k \rho ( k )} \end{array}$可以局部地用谱投影（spectral projections）$\rho ( k ) = f ( k ) \boldsymbol{1} _{[ a ( k ) , b ( k ) ]} \left( \boldsymbol{M} ( k ) \right)$来表示。

总之，只要材料权函数满足定义4.1.3中列举的假设——这些假设也是将Maxwell方程组改写为Schrödinger形式的充要条件——假设1–3和5对于Maxwell方程组自然成立。此外，假设4对实验实现中如何绝热地开启驱动流的微扰施加了合理限制。只有假设6不是自动满足的。如此一来，我们在第2章中的所有主要结论直接适用，例如在绝热极限$\varepsilon 0$下，电导系数由Kubo-Strˇeda公式给出。

7.1.3 未解决的问题#

读者可能会猜想，只需再稍加努力，我们就可以指定一个设定并构造出使我们的LRT方案适用于Maxwell方程组的态，从而以一项新颖的应用作为本书的结尾。虽然我们也希望如此，但我们认为对该问题进行更深入的处理是必要的。具体而言，我们希望确保拥有一个合理的论证链条，赋予数学结果以物理意义。以下是我们在 [DL17] 及后续工作中希望澄清的几个问题：

(1) 通过(7.1.7)进行微扰的物理本质：算子$G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$描述了施加于波动动量的含时boost（推进变换）。这并不对应于运动介质（物理界对此很感兴趣），因为在那类情形中，生成元是通常的导数$- \mathrm{i} \partial_{k}$。因此，我们需要理解(7.1.7)形式的微扰是否具有物理意义，如果是，如何在实验上实现它们。

(2) 对态的假设（假设6）：这主要是一个技术挑战。我们从周期系统出发，构造围绕某个$( \omega_{0} , k_{0} )$集中的态，并尝试验证假设6中列举的条件。我们认为$J_{k}$是有界自伴算子这一事实将有所帮助，甚至它们可能本身就是von Neumann代数的元素（尽管这一点需要验证）。我们认为这些论证将可以直接推广到弱无序情形。

(3) 将我们的LRT方案推广到包含源项：这是经典波动方程与量子理论的另一个不同之处——在许多实验中（例如Wang等人 [WCJ+09] 的实验），将天线插入光子晶体，然后在其中激发态。在数学上，这意味着我们需要在Maxwell方程组(7.1.2)中添加源项。由于非齐次方程的解也是显式已知的，因此有希望推广定理5.3.1和2.2.3。一旦理解了这一点，我们期望能够通过第6章开头概述的策略（定理2.3.3、2.4.1和2.4.2），严格证明有限$\varepsilon > 0$情形和绝热极限下电导系数的公式。

(4) 推广到(7.1.6)形式的微扰：第二个目标——其难度要大得多得多——是超越那些仅由与von Neumann代数相容的幺正变换的共轭作用所描述的微扰。至少对于光子晶体（其中W是周期的）而言，某些简化假设可能会提供帮助：假设进入微扰(7.1.5)的函数$\tau_{\varepsilon}$和$\tau_{\mu}$远离0和$\infty$且有界的一阶导数。那么我们可以通过交换(7.1.6)中的M和$S^{- 1}$，将方程(7.1.6)中的$M_{S}$改写为

的形式，其中$A , A^{- 1}$和B是显式可计算的有界算子。

如果微扰S额外还是慢变的且$C_{\mathrm{b}} ^{\infty}$-正则的，那么我们已经基于伪微分算符的参数，通过空间-绝热微扰论（space-adiabatic perturbation theory）[PST03b; PST03a] 给出了有效动力学的推导 [DL14a]。我们希望将这项工作推广到包含无序效应，这对于固体量子理论也将具有意义。当然，这是一个更长期的愿景，我们需要找到一种方法来平衡代数结构的刚性与伪微分理论中性质通常"在误差范围内成立"的特性。我们怀疑将伪微分理论（通过例如 [MPR05; LMR10; BLM13] 中发展的分析-代数观点）纳入我们的LRT框架可能是一条前进的道路。

7.2 固体物理中的量子霍尔效应#

我们以重新审视量子霍尔效应（Quantum Hall Effect）——LRT在凝聚态物理中的典型应用之一——来结束本书。主要目的是展示我们的框架是如何以及在何种意义上统摄了该主题的已有工作，而非给出一个详尽的综述；特别地，我们将阐明与第4章抽象框架之间的联系。简而言之，量子霍尔效应是一种发生在受到垂直于样品的强外磁场的半导体或绝缘体薄膜中的现象。此时横向电导率（transverse conductivity）$\sigma_{\perp} ( B )$（视为磁场的函数）取值于$\textstyle{\frac{e} {h^{2}}} \mathbb{Z}$，具有由尖锐跳变分隔的宽阔平台。量子霍尔效应使科学家能够以前所未有的精度测量$e / h^{2}$（基本电荷与Planck常数的平方之比）。存在多种不同复杂程度的模型，但最终目标都是通过Fermi投影（Fermi projection）$P_{\mathrm{F}} : = \chi_{( - \infty , E_{\mathrm{F}} ]} ( H )$的Kubo-Strˇeda公式来证明

这里的核心假设是Fermi能量$E_{\mathrm{F}}$要么位于谱隙中，要么位于Anderson局域化区域，从而纵向电导率消失。注意$H$（以及Fermi投影$P_{\mathrm{F}}$）依赖于与磁场B相关联的矢势，但由于这些算子的规范协变性（gauge covariance）与迹的循环性（cyclicity）相结合，横向电导率实际上是B的函数。另一独立的论证表明$\sigma_{\perp} ( B )$必然是$e / h^{2}$乘以一个整数——这通过将上述表达式与拓扑量（陈数，Chern number）联系起来得到证明；这是Thouless的富有洞见的贡献 [TKN+82]，他因此获得了2016年的诺贝尔物理学奖。

7.2.1 连续模型#

为了理解量子霍尔效应，我们可以忽略自旋，相关的Hilbert空间即为$\mathcal{H} _{*} = L^{2} ( \mathbb{R} ^{2} )$。磁场通过$\mathbb{R} ^{2}$在$\mathcal{H} _{*}$上的表示间接地引入

其中相位因子是磁环量（magnetic circulation）的指数

选择矢势（vector potential）$A \in L_{\mathrm{l o c}} ^{2} ( \mathbb{R} ^{2} , \mathbb{R} ^{2} )$是为了表示磁场$B = \mathrm{d} A : = \partial_{1} A_{2} - \partial_{2} A_{1}$；就量子霍尔效应而言，B是常数。磁场并不能唯一确定规范A，事实上，如果A和${\cal A} ^{\prime} = A + \nabla \chi$相差一个梯度，则它们给出相同的磁场$\mathrm{d} A = B = \mathrm{d} A^{\prime}$。一个常见的选择是横截规范（transversal gauge）或Coulomb规范$\begin{array} {r} {A = \frac{B} {2} ( - x_{2} , x_{1} )} \end{array}$。

所有这些都可以用更抽象的上同调（cohomology）语言重新表述；详细讨论可参见 [MPR05, 第2.3节]。这里，$\Lambda^{A} ( y ) \equiv \Lambda^{A} ( \hat{x} ; y ) : = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \int_{[ \hat{x} , \hat{x} - y ]} A}$（视为关于x的乘法算子）是与2-上循环扭曲（2-cocycle twist）相关联的1-上链（1-cochain）

这是一个乘法算子，具有定义4.1.2中列出的所有性质。如符号所示，$\Theta^{B}$仅依赖于磁场而非矢势的具体选择。该量具有几何解释：利用Stoke定理和关系$B = \mathrm{d} A$，可以证明它是通过顶点为$x , x - y$和$x - y - z$的三角形的磁通量的指数。但由于磁场是常数，磁通量仅依赖于通量三角形的大小，与其基点$x$无关。因此，$\Theta^{B} ( y , z )$如定义中规定的那样取值于U(1)。

这个相位因子也在平移的复合中作为相位因子出现，将$1 = \Lambda^{A} ( y + z ) ^{- 1} \Lambda^{A} ( y + z )$代入立即得到

上述思想可以推广到可变磁场，其中$\Theta^{B} ( y , z )$是乘法算子，而$y \mapsto S_{y} ^{A}$是广义投影表示（projective representation）（参见例如 [MP04; MPR05]）。

最常研究的模型是具有随机势的Landau哈密顿量（Landau Hamiltonian）

随机性通过概率空间$( \Omega , \mathbb{P} )$来建模，其上给定了一个遍历的$\mathbb{R} ^{2}$作用$\tau$；此外，我们假设定义4.1.1中列举的所有其他技术条件都成立。我们总是假设势是协变随机变量（covariant random variables），即对几乎所有的P和Lebesgue测度，它们满足$V_{\omega} ( x - y ) = V_{\tau_{v} ( \omega )} ( x )$和$A_{\omega} ( x - y ) = A_{\tau_{v} ( \omega )} ( x )$。

于是$H_{\omega} ^{A}$满足两个不同的协变性条件，即规范协变性（gauge covariance）

其中$\chi : \mathbb{R} ^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$视为$\mathcal{H} _{*}$上的乘法算子，以及关于磁平移（magnetic translations）的协变性

暂时撇开定义域的技术性问题不谈，我们看到Landau哈密顿量满足这两个协变性条件。规范协变性(7.2.2)保证了诸如(7.2.1)右端之类的表达式确实依赖于B而非A的具体选择。

连续情形已在 [ES04]（无无序）和 [BGK+05; KLM07; DG08]（含无序）中进行了严格处理。为确保Hamilton量是自伴的，我们对势施加Leinfelder-Simader条件，因此$H_{\omega} ^{A}$在$C_{\mathrm{c}} ^{\infty} ( \mathbb{R} ^{2} )$ [LS81, 定理3] 上本质自伴。对ω的协变依赖意味着我们可以转而将所有随机Schrödinger算子$\widehat{H} ^{A} = \left\{H_{\omega} ^{A} \right\} _{\omega \in \Omega}$同时在直积分Hilbert空间上处理

该空间现在与Hilbert空间的张量积一致。因此，隶属原理（Proposition 4.1.6）适用于$\widehat{H} ^{A}$和von Neumann代数

其中$\widehat{U} _{y} ^{A} : = \{S_{y} ^{A_{\omega}} \} _{\omega \in \Omega}$是由磁平移导出的$\mathbb{R} ^{2}$在$\widehat{\mathcal{H}}$上的投影表示，现视为ω和$\tau_{y} ( \omega )$处纤维之间的映射。虽然该代数的实现依赖于$\widehat{A} = \left\{A_{\omega} \right\} _{\omega \in \Omega}$的选择而非B，但对于等价的矢势，$\mathcal{A} _{\mathbb{R} ^{2}} ^{A}$和$\mathcal{A} _{\mathbb{R} ^{2}} ^{A^{\prime}}$是同构的（通过对每根纤维逐点共轭$\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} \chi_{\omega}}$）。

假设初始平衡态是一个谱投影，比如Fermi投影$\widehat{P} _{\mathrm{F}} ^{A} = \left\{P_{\mathrm{F} , \omega} ^{A} \right\} _{\omega \in \Omega}$，其Fermi能量$E_{\mathrm{F}}$位于动力学局域化区域（即满足Sobolev条件$\widehat{P} _{\mathrm{F}} ^{A} \in \mathfrak{M} ^{1 , 1} \left( \mathcal{A} _{\mathbb{R} ^{2}} ^{A} \right) \cap \mathfrak{M} ^{1 , 2} \left( \mathcal{A} _{\mathbb{R} ^{2}} ^{A} \right)$）。在这种情况下，对于通常的流算子$\hat{\mathcal{T}} _{k} = \{\mathrm{i} ~ [ X_{k} , H_{\omega} ^{A} ] \}$，Kubo-Strˇeda公式

由定理2.4.2给出，其中$\chi_{[ 0 , 1 ] ^{2}} ( x ) : = \chi_{[ 0 , 1 ]} ( x_{1} ) \chi_{[ 0 , 1 ]} ( x_{2} )$是到立方体$[ 0 , 1 ] ^{2}$上的投影。

7.2.2 离散模型#

由于控制连续模型LRT中所有技术细节颇具挑战性，许多工作（例如 [BES94; BS98; KLM07]）致力于更简单的有效紧束缚模型（tight-binding models），这些模型仍然保留了连续模型$H_{\omega} ^{A} = ( - \mathrm{i} \nabla - A_{\omega} ) ^{2} + V_{\omega}$的一些本质特征。最著名的例子是Hofstadter模型（Hofstadter model）

定义在Hilbert空间$\mathcal{H} _{*} : = \ell^{2} ( \mathbb{Z} ^{2} )$上，由生成元

给出，其中$n = ( n_{1} , n_{2} ) \in \mathbb{Z} ^{2}$是格点上的点，$\varphi \in \ell^{2} ( \mathbb{Z} ^{2} )$。量$B \in \mathbb{R}$表示每原胞的磁通量（magnetic flux per unit cell）。为简单起见，我们将保持这种表示，并用B作为标记而非显式写出对矢势选择的依赖。

生成元$T_{1} ^{B}$和$T_{2} ^{B}$（以及Hamilton量$H^{B}$）与磁平移对易

直接计算表明$\left[ T_{j} ^{B} , S_{k} ^{B} \right] = 0$对$j , k = 1 , 2$成立。磁平移$S_{1} ^{B}$和$S_{2} ^{B}$是群$\mathbb{Z} ^{2}$的投影表示（projective representation）的生成元，由$( 1 , 0 ) \mapsto S_{1} ^{B}$和$( 0 , 1 ) \mapsto S_{2} ^{B}$给出，复合律为

其中涉及扭曲2-上循环（twisting 2-cocycle）$\Theta^{B} ( n , m ) : = \mathrm{e} ^{\mathrm{i} B ( n_{1} m_{2} - n_{2} m_{1} )}$，对所有$n = ( n_{1} , n_{2} )$和$\boldsymbol{m} = ( m_{1} , m_{2} )$属于$\mathbb{Z} ^{2}$。

此时，Hamilton量$H^{B}$本身就是von Neumann代数

的元素。显然，我们可以在论证中用$\mathcal{A} _{\mathbb{Z} ^{2}} ^{B}$中的任何其他自伴元素替换Hofstadter Hamilton量。单位体积迹$\mathcal{T} _{\mathbb{Z} ^{2}} ( A ) = \langle \delta_{0} , A \delta_{0} \rangle$正是关于向量$\delta_{0} = ( \delta_{n_{1} , 0} \delta_{n_{1} , 0} ) _{( n_{1} , n_{2} ) \in \mathbb{Z} ^{2}}$的期望值；显然该迹是有限的。因此，我们处于第2.6节描述的紧束缚设定中，其中几乎所有假设都自动成立。假设Fermi投影满足Sobolev条件$P_{\mathrm{F}} \in \mathfrak{M} ^{1 , 1} \big ( \mathcal{A} _{\mathbb{Z} ^{2}} ^{B} \big ) \cap \mathfrak{M} ^{1 , 2} \big ( \mathcal{A} _{\mathbb{Z} ^{2}} ^{B} \big )$，我们可以再次调用定理2.4.2得到横向电导率

当磁通量$B = \pi \mathbb{Q}$为有理数时，可以找到$\mathsf{S p a n} _{\mathbb{Z}} \left\{S_{1} ^{B} , S_{2} ^{B} \right\}$的一个交换子代数，然后利用Gel'fand-Fourier（Bloch-Floquet）变换从上述方程中恢复出著名的（可交换）Kubo-Chern公式$\left[ \mathrm{T K N +} 82 \right.$ , eqn. (5)]。

引入随机性是很直接的，上述所有论证都可以立即推广：只需将$H^{B}$提升为$H_{\omega} ^{B}$，并将所有其他算子（如流算子）提升为随机协变算子，同时将$\mathcal{H} _{*} = \ell^{2} ( \mathbb{Z} ^{2} )$替换为$\widehat{\mathcal{H}} = L^{2} ( \Omega ) \otimes \ell^{2} ( \mathbb{Z} ^{2} )$。最终，与(7.2.5)相比，在存在随机性的情况下计算横向电导率时，只需额外加上系综平均（ensemble average）即可。