最繁重的工作已经完成，现在我们可以着手证明第2章的主要结果——定理 2.2.3、2.3.3、2.4.1 和 2.4.2。我们在第2章中施加的六个假设旨在取得平衡，以突出证明的结构而非技术细节。不过，我们相信许多结果可以在更一般的条件下成立。粗略地说，有三个不同的步骤：
步骤 1：获得 $\rho_{\mathrm{full}} (t) = \rho_{\mathrm{int}} (t) + \mathbf{\Phi} \cdot \mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} (t)$ 的显式表达式，并证明 $\mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 由 (2.2.13) 给出且连续依赖于 $\Phi$。
步骤 2：通过在 $\Phi = 0$ 处关于 $\Phi_{k}$ 求导，计算有限 $\varepsilon > 0$ 下的宏观净电流 $\mathcal{L} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$（见方程 (2.3.1a)），从而得到电导率张量。
步骤 3：取电导率张量的绝热极限 $\varepsilon \to 0^{+}$，并针对与 H 的有限谱范围相关的纯态找到简化表达式。
即使我们改变假设或设定（例如微扰的具体形式），这些步骤本质上保持不变。
6.1 平衡态演化的比较#
第一个主要步骤是将完全演化态按微扰参数 Φ 在 0 附近展开（定理 2.2.3），即比较完全演化态
$$ \rho_{\text{full}} (t) = \lim_{s \rightarrow - \infty} \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (\rho)\tag{6.1.1} $$与"被拖拽"的相互作用演化
$$ \rho_{\mathrm{int}} (t) = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} (\rho) = G_{\Phi , \varepsilon} (t) \rho G_{\Phi , \varepsilon} (t) ^{*} $$因此，首要任务是确保 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 和 $\rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 作为 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 中的元素存在。对于 $\rho_{\mathrm{int}} ( t ) = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} ( \rho )$，这很直接——相互作用演化 $\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon}$ 是 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上的强连续等距（见命题 3.2.16），且由假设 6 知 $\rho \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$——但先验地，甚至 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 定义所通过的极限是否实际存在也并不清楚。对于初始处于平衡态且满足额外技术假设的态，我们将证明 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 确实存在。首先，让我们收集一些关于我们感兴趣的态的事实。
6.1.1 初始平衡态#
假设 6 中对 $\rho$ 规定的条件在本语境中自然产生。让我们从平衡条件开始。构造平衡态的一个充分条件是定义 $\rho = f ( H )$，其中 $f$ 是 $L^{\infty} ( \mathbb{R} )$ 中的任意非负函数。文献中初始平衡态的典型假设是（例如见 [BGK+05, Assumption 5.1]）
(i) $\rho : = f ( H )$，其中 $f \in S ( \mathbb{R} )$ 为 Schwartz 函数，或
(ii) $\rho : = f ( H ) b ( H )$，其中 $f \in S ( \mathbb{R} )$ 为 Schwartz 函数，$b \in M ( \mathbb{R} )$ 为可测（即 Borel）函数。
对于这样的态，平衡条件 $\alpha_{t} ^{0} ( \rho ) = \rho$ 和正性条件 $\rho \in \mathcal{A} ^{+}$ 自动满足。然而，在假设 6 中，我们并不假定 $\rho$ 必然是 H 的函数。相反，平衡条件仅仅强制 $\overset{\cdot} {\rho} \in \ker ( \mathcal{L} _{H} ^{( 1 )} ) \overset{\cdot} {\cap} \ker ( \mathcal{L} _{H} ^{( p )} )$ 位于 Liouvillian 的核中。
现在讨论 $\rho$ 的正则性：假设 6 (i) 中的可积性条件依赖于多种因素的组合。事实上，从方程 (3.2.4) 我们推断
$$ \mathcal{T} (\rho^{p}) = \int_{0} ^{+ \infty} f (\lambda) ^{p} d \mu_{\mathcal{T}} ^{H} (\lambda)\tag{6.1.2} $$其中 $\mathrm{d} \mu_{\mathcal{T}} ^{H}$ 是由迹 $\mathcal{T}$ 诱导的 H 的谱测度，根据
$$ \mu_{\mathcal{T}} ^{H} (\mathsf{B}) := \mathcal{T} \big (\chi_{\mathsf{B}} (H) \big), $$B 为 Borel 集。
我们注意到，如果 $\mathcal{T}$ 不是有限的，则测度 $\mu_{\mathcal{T}} ^{H}$ 未归一化。在 $\mathrm{d} \mu_{\mathcal{T}} ^{H} ( \lambda ) = h_{\mathcal{T}} ( \lambda )$ dλ 关于 Lebesgue 测度 $\mathrm{d} \lambda$ 绝对连续的情形下，$\rho$ 的可积性可以通过 $f^{p} h_{\mathcal{T}}$ 的 $L^{1}$ 性质来检验。对 H-正则性 $H \rho \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$（假设 6 (ii)）也有类似的讨论，这要求
$$ \mathcal{T} \big (| H \rho | ^{p} \big) = \int_{0} ^{+ \infty} f (\lambda) ^{p} | \lambda | ^{p} d \mu_{\mathcal{T}} ^{H} (\lambda),\tag{6.1.3} $$的有限性，并且至少对于测度的连续部分而言，这一条件与函数 $f$ 足够快的衰减有关。
像 $\rho \in \mathfrak{W} ^{1 , p} ( \mathcal{A} )$ 或 $H \rho \in \mathfrak{W} ^{1 , p} ( \mathcal{A} )$ 这样的可微性性质依赖于导子的具体性质，进而依赖于生成元 $\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$ 的具体选择。
满足假设 6 的态具有以下性质：
假设假设 1–6 成立，令 $r = 1 , p$。则以下结论成立：
(1) $J_{k} \in \mathop{\mathrm{A f f}} ( \mathcal{A} ) , J_{k} ( H - \xi ) ^{- 1}$ 及 $J_{k} \rho \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 对所有 $k = 1 , \ldots , d$ 成立，其中 $\xi \in$ Res(H) 位于预解集中，$J_{k}$ 是初始在联合核 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上定义的换位子 $- \mathrm{i} \left[ X_{k} , H \right]$ 的闭包。
(2) 对所有 $t \in \mathbb{R}$ 有 $H \eta_{t} ^{X_{k}} ( \rho ) \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$，且极限 $\lim_{t \to 0} H \eta_{t} ^{X_{k}} ( \rho ) = H \rho$ 在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中存在。
(3) 作为 $\mathcal{\mathfrak{L}} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中的元素，有 $H \partial_{X_{k}} ( \rho ) = J_{k} \rho + \partial_{X_{k}} ( H \rho )$。
(1) 思路是将 $J_{k}$ 写为差商
$$ Y_{k} (t) := - \frac{\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}} H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} - H}{t} $$的极限，该差商初始对所有 $t \in \mathbb{R} \backslash \{0 \}$ 有定义。为使上述表达式有意义，我们依赖假设 5 将其视为 $\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$ 中两个元素的差，该差初始在稠密定义域 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上定义。
为了将这些性质推广到极限 $t 0$ 并证明乘积 $Y_{k} ( t ) ( H - \xi ) ^{- 1} \in \mathcal{A}$ 对所有 $t \in \mathbb R$ 位于 von Neumann 代数 $\mathcal{A}$ 中，我们使用 Baker-Campbell-Hausdorff 公式的一个版本（例如见 [Sch96, Section II.11.B]）。这里，假设 5 (iii) 至关重要，因为它保证了 $Y_{k} ( t )$ 在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上按迭代换位子的展开存在并在有限项后终止。对于我们的目的，不需要高阶换位子的显式表达式，只需知道我们可以将差商写为
$$ Y_{k} (t) = - \mathrm{i} [ X_{k}, H ] + \mathcal{O} (t),\tag{6.1.4} $$该式初始在联合核 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上有定义，其中 H-有界项 $\mathcal{O} ( t )$ 涉及 H 恰好出现一次的迭代换位子。$Y_{k} ( t )$ 的上述表达式不仅表明 $Y_{k} ( t )$ 的闭包（仍用同一字母表示）具有与 t 无关的定义域，还允许我们将 $Y_{k} ( t )$ 延拓到 $t = 0$。此外，$Y_{k} ( t ) ( H - \xi ) ^{- 1}$ 在范数下收敛到 $J_{k} ( H - \xi ) ^{- 1} \in \mathcal A$，因此也有 $J_{k} \in \mathrm{A f f} ( \mathcal{A} )$（备注 3.1.5）。最后，乘积 $J_{k} \rho$ 也在 $\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中：根据引理 3.3.7 (2) 和假设 6 (ii)，我们知道乘积
$$ \left(J_{k} \frac{1}{H - \xi}\right) (H - \xi) \rho = J_{k} \rho\tag{6.1.5} $$即 $J_{k} ( H - \xi ) ^{- 1} \in \mathcal A$ 与 $( H - \xi ) \rho \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 之积，实际上位于 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中。
(2) 为证明 $H \eta_{t} ^{X_{k}} ( \rho ) \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$，我们最终希望援引引理 3.3.7 (2)。难点在于证明乘积重排的合理性。首先，调整引理 5.2.8 的证明，我们得出结论
$$ \eta_{t} ^{X_{k}} (H \rho) = \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}} H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathscr{A}).\tag{6.1.6} $$此外，从 (6.1.6) 我们可以推导出以下等式
$$ \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) = \frac{1}{\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}} H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} - \xi} \left(\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}} H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} - \xi\right) \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) $$在定义域 $\mathcal{D} \big ( \boldsymbol{H^{\cdot}} \boldsymbol{\rho} \big )$ 上成立，该定义域由于 $\rho \in \mathfrak{D} _{H , 1} ^{00} \cap \mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$ 而是 $\mathcal{T}$-稠密的。因此，左右两边的算子都是可测的，再次援引领理 3.3.7，该等式从 ${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$ 延拓到 $\mathcal{\mathfrak{L}} ^{r} ( \mathcal{A} )$。基于 (1) 证明中的一些论证，可以直接验证
$$ H \frac{1}{\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}} H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} - \xi} = \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}} \left(H \frac{1}{H - \xi} + t Y_{k} (- t) \frac{1}{H - \xi}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} \in \mathscr{A} $$在 $\mathcal{A}$ 上成立。
现在我们将所有部分组合起来：定义域 $\mathcal{D} ( H^{\cdot} \rho )$ 是 $\mathcal{T}$-稠密的，而 $\mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{l}}$ 与代数结构的兼容性（假设 3 (i) 和 (ii)）意味着传输算子的定义域 $\mathcal{D} \big ( \eta_{t} ^{X_{k}} ( \bar{H} \rho ) \big )$ 也是 $\mathcal{T}$-稠密的。因此，我们知道
$$ H \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) = \left(H \frac{1}{\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}} H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} - \xi}\right) \eta_{t} ^{X_{k}} \big ((H - \xi) \rho \big) $$在这个 -稠密定义域上成立，且该等式在 $\mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$ 中也成立。最后一次援引领理 3.3.7 (2) 使我们得出结论，最后一个等式在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 上成立，因为我们可以使用 (6.1.6) 将 $H - \xi$ 从 $\eta_{t} ^{X_{k}}$ 的参数中提出，从而 $H \eta_{t} ^{X_{k}} ( \rho )$ 可写为 $\mathcal{A}$ 中算子与 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中算子的乘积。
为证明 $H \eta_{t} ^{X_{k}} ( \rho )$ 在 $t = 0$ 处（实际上对所有 $t \in \mathbb{R}$）连续，我们可以等价地证明
$$ \begin{array}{r l} \left\| H \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) - H \rho \right\| _{r} = & \left\| \eta_{- t} ^{X_{k}} \big (H \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) \big) - \eta_{- t} ^{X_{k}} (H \rho) \right\| _{r} \\ = & \left\| \big (\mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} H \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}} \big) \rho - \eta_{- t} ^{X_{k}} (H \rho) \right\| _{r} \end{array} $$因为我们可以自由地插入 $\eta_{- t} ^{X_{k}}$ 而不改变 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$-范数，并应用方程 (6.1.6)。显然，由于 $\eta_{t} ^{X_{k}}$ 在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 上的强连续性，$\eta_{- t} ^{X_{k}} ( H \rho )$ 收敛到 $H \rho$。
与 (1) 的证明类似，我们可以使用 Baker-Campbell-Hausdorff 公式写出
$$ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} H \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}} = H - t Y_{k} (t) $$其中 $Y_{k} ( t )$ 是来自方程 (6.1.4) 的迭代换位子的有限和。在 (1) 中我们已经证明 $Y_{k} ( t ) \in \mathrm{A f f} ( \mathcal{A} )$ 是从属的，且 $Y_{k} ( t ) ( H - \xi ) ^{- 1} \in \mathcal{A}$ 实际上位于 von Neumann 代数中。此外，假设 5 (iv) 告诉我们 $Y_{k} ( t )$ 是无穷小 H-有界的，这意味着
$$ \begin{array}{r l} & {\left(\mathsf{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} H \mathsf{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}}\right) \rho = H \rho - t Y_{k} (t) \rho} \\ & {\qquad = H \rho - \left(t Y_{k} (t) \frac{1}{H - \xi}\right) ((H - \xi) \rho)} \end{array} $$最初可在定义域 $\mathcal{D} \big ( \boldsymbol{H} ^{\circ} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\rho} \big )$ 上定义。因此，由于这个初始定义域是 -稠密的，第一个等式也在 ${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$ 中的可测意义下成立，而根据引理 3.3.7 (2)，我们可以插入预解式并推断该等式在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 上也成立。
此外，$t Y_{k} ( t ) ( H - \xi ) ^{- 1} \to 0$ 在范数下趋向于 0，且由定理 3.2.8 我们得出结论
$$ \lim_{t \to 0} \Big (\left(\mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{k}} H \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{k}}\right) \rho \Big) = H \rho \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathcal{A}), $$因此也有 $H \eta_{t} ^{X_{k}} ( \rho ) \to H \rho$。
(3) 最后一条陈述的思路与 (2) 中连续性的证明密切类似，我们仅作概述：首先，需要使用假设 6 (iii)，即 $H \partial_{X_{k}} ( \rho ) \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$，当我们插入一个预解式时
$$ \begin{array}{c} \left(\frac{1}{H - \xi}\right) (H \partial_{X_{k}} (\rho)) = \left(\frac{H}{H - \xi}\right) \partial_{X_{k}} (\rho) \\ = \left(\frac{H}{H - \xi}\right) \left(\lim_{t \to 0} \frac{\eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) - \rho}{t}\right) \end{array} $$通过引理 3.3.7 (2)，并将导数写为差商。该差商由假设 6 (i) 在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中收敛，因此定理 3.2.8 允许我们提出极限：
$$ \ldots = \lim_{t \to 0} \left(\frac{H}{H - \xi}\right) \left(\frac{\eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) - \rho}{t}\right), $$反向应用引理 3.3.7 (2) 得到
$$ \dots = \lim_{t \rightarrow 0} \left(\frac{1}{H - \xi}\right)\left(H \frac{\eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) - \rho}{t}\right). $$让我们关注差商：我们对 $\rho$ 的假设保证了 $\mathcal{D} \big ( H \cdot \eta_{t} ^{X_{k}} ( \rho ) \big )$ 和 $\mathcal{D} ( H^{\cdot} \rho )$ 都是 $\mathcal{T}$-稠密的。由于 ${\mathcal{T}}$-稠密定义域的交集仍是 ${\mathcal{T}}$-稠密的，我们可以在 $\mathcal{T}$-稠密定义域 $\mathcal{D} \big ( \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{\eta} _{t} ^{x_{k}} ( \boldsymbol{\rho} ) \big ) \cap \mathcal{D} ( \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{\rho} )$ 上定义
$$ H \frac{\eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) - \rho}{t} = \frac{H \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) - \eta_{t} ^{X_{k}} (H \rho)}{t} + \frac{\eta_{t} ^{X_{k}} (H \rho) - H \rho}{t} $$因此，上述等式在 M( ) 中成立。通过加减 $\eta_{t} ^{X_{k}} ( H \rho )$，我们可以通过 (1) 中的 $Y_{k} ( t )$ 和第二个差商来表达
$$ \ldots = Y_{k} (t) \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho) + \frac{\eta_{t} ^{X_{k}} (H \rho) - H \rho}{t}, $$我们在 $\mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$ 中视此等式成立。借助引理 3.3.7 (2)，我们再次插入一个预解式，并利用在 (1) 中已证明的 $Y_{k} ( t ) ( H - \xi ) ^{- 1} \in \mathcal{A}$，
$$ \ldots = \left(Y_{k} (t) \frac{1}{H - \xi}\right) \left((H - \xi) \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho)\right) + \frac{\eta_{t} ^{X_{k}} (H \rho) - H \rho}{t}, $$从而此等式在 $\mathcal{\mathfrak{L}} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中成立。第一个因子 $Y_{k} ( t ) ( H - \xi ) ^{- 1}$ 在 $\mathcal{A}$ 中收敛到 $Y_{k} ( 0 ) ( H - \xi ) ^{- 1} = J_{k} ( H - \xi ) ^{- 1}$，且如我们已证 $t \mapsto H \eta_{t} ^{X_{k}} ( \rho )$ 在 $t = 0$ 处连续，因此第一项在 $\mathcal{\mathfrak{L}} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中收敛。此外，我们可以应用引理 3.3.7 (2) 去掉正则化预解式，因为 $H \rho \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 且 $J_{k} \in \mathrm{A f f} ( \mathcal{A} )$。根据假设 6 (ii)，我们也知道第二个极限在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中存在。总之，我们证明了
$$ \begin{array}{c} H \partial_{X_{k}} (\rho) = \lim_{t \to 0} \left(\left(Y_{k} (t) \frac{1}{H - \xi}\right) \left((H - \xi) \eta_{t} ^{X_{k}} (\rho)\right) + \frac{\eta_{t} ^{X_{k}} (H \rho) - H \rho}{t}\right) \\ = J_{k} \rho + \partial_{X_{k}} (H \rho) \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathscr{A}). \end{array} $$证明完毕。
6.1.2 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 的存在性及其在 Φ 中的展开#
对 $\rho$ 的所有条件——除了 $H \partial_{X_{k}} ( \rho ) \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} ) , r = 1 , p$——在证明 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 的存在性时都发挥作用。我们已经可以看出为什么平衡条件 $\alpha_{t} ^{0} ( \rho ) = \rho$ 很重要：在遥远的过去，$H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \approx H$，因此 $\alpha_{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon} ( \rho ) \approx \alpha_{t - s} ^{0} ( \rho ) = \rho$ 在某种意义下成立。如果 $\rho$ 不是平衡态，那么
$$ \lim_{s \rightarrow - \infty} \alpha_{s} ^{0} (\rho) = \lim_{s \rightarrow - \infty} \left(\mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s H} \rho \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s H}\right) $$不可能存在，因为相位因子不会相互抵消。因此平衡条件是必要的。技术条件的产生是因为我们想证明 $\boldsymbol{\alpha} _{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon}$ 作为 $\mathcal{\mathfrak{L}} ^{r} ( \mathcal{A} )$（其中 $r = 1 , p$）上的等距自同构的存在性。
（定理 2.2.3 的证明）(1) 令 r 代表 1 或 $\rho$ 的正则度 $p$。
根据假设 6 (ii)，我们先验地知道 $\rho \in \mathfrak{D} _{H , r} ^{00}$ 成立。结合引理 5.2.8，这保证了 $H_{\Phi , \varepsilon} ( s ) \rho_{\mathrm{int}} ( s ) \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$，因此我们可以援引命题 5.2.6 (2) 对 $\alpha_{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon} ( \rho_{\mathrm{int}} ( s ) )$ 求导。链式法则给出
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\rho_{\mathrm{int}} (s) \big) = \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} \Big (\mathrm{i} \left[ H_{\Phi , \varepsilon} (s), \rho_{\mathrm{int}} (s) \right] _{\ddagger} \Big) + \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} \Big (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \gamma_{s} ^{\Phi , \varepsilon} (\rho) \Big). $$广义换位子是良定义的，且由引理 5.2.33 和平衡条件 (2.2.9) 我们推断
$$ \left[ H_{\Phi , \varepsilon} (s), \rho_{\mathrm{int}} (s) \right] _{\ddagger} = \gamma_{s} ^{\Phi , \varepsilon} \left(H \rho - (H \rho) ^{*}\right) = 0\tag{6.1.7} $$消失。假设 6 (i)，即 $\rho \in \mathcal{A} ^{+} \cap \mathfrak{W} ^{1 , 1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{W} ^{1 , p} ( \mathcal{A} )$，允许我们应用命题 5.2.7 (3)，从而得到
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\rho_{\mathrm{int}} (s) \big) = \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} \left(s_{\varepsilon} (s) \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} f_{k} (s) \partial_{X_{k}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (s) \big)\right). $$我们可以将此表达式从 s 积分到 t，得到
$$ \rho_{\text{int}} (t) - \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (\rho_{\text{int}} (s)) = \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \int_{s} ^{t} d \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{k} (\tau) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} (\partial_{X_{k}} (\rho_{\text{int}} (\tau))).\tag{6.1.8} $$因此，要恢复方程 (2.2.14)，只需取 $s \to - \infty$ 的极限。更具体地说，我们需要证明右边 Bochner 积分的存在性。通过取极限 $s \to - \infty$ 和 $t \to + \infty$ 估计 $\mathcal{\mathfrak{L}} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 范数，得到
$$ \begin{array}{l} \left| \int_{s} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{k} (\tau) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{k}} \big (\rho_{\text{int}} (\tau) \big) \big) \right| \leqslant \\ \leqslant \Big \| \partial_{X_{k}} (\rho) \Big \| _{r} \int_{- \infty} ^{+ \infty} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) \big | f_{k} (\tau) \big | < \infty . \end{array} $$这里涉及几个要素：首先，不仅 $\rho$ 而且其所有导数都在 $\mathcal{\mathfrak{L}} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中（假设 6 (i)）。其次，关于 $X_{k}$ 的导数与 $\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon}$ 在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中对易：$\partial_{X_{k}} \bigl ( \rho_{\mathrm{int}} ( t ) \bigr ) = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \bigl ( \partial_{X_{k}} ( \rho ) \bigr )$，因为生成元 $X_{1} , \ldots , X_{d}$ 彼此交换。最后，$\boldsymbol{\alpha} _{( t , \tau )} ^{\Phi , \varepsilon}$ 和 $\gamma_{\tau} ^{\Phi , \varepsilon}$ 都在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 上定义等距。因此，对 $f_{k}$ 施加的可积性条件（假设 4）意味着 Bochner 积分 (6.1.8) 在 $s , t \in \mathbb{R}$ 中一致存在。
最后一步是证明左边实际上趋近于 $\rho_{\mathrm{int}} ( t ) - \rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 当 $s \to - \infty$ 时，即
$$ \lim_{s \to - \infty} \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\rho_{\mathrm{int}} (s) \big) = \rho_{\mathrm{full}} (t) \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathcal{A}). $$但这再次由 $\alpha_{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon} \in \mathrm{Iso} \big ( \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} ) \big )$ 和 $s - \operatorname*{lim} _{s \to - \infty} \gamma_{s} ^{\Phi , \varepsilon} = \mathbb{1} _{\mathfrak{L} ^{r}}$（命题 5.2.7 (1)）推出，因为这两个事实立即意味着
$$ \left\| \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (\rho_{\mathrm{int}} (s)) - \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (\rho) \right\| _{r} = \left\| \gamma_{s} ^{\Phi , \varepsilon} (\rho) - \rho \right\| _{r} \xrightarrow{s \to - \infty} 0. $$因此，我们不仅证明了 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 的存在性，还建立了方程 (2.2.14)。
(2) 再次令 $r = 1 , p$。在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中对方程 (2.2.14) 取极限 $t \to - \infty$，结合 $\lim_{t \to - \infty} \rho_{\mathrm{int}} ( t ) = \rho$，得到 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 也满足初始值条件。
接下来，我们将证明 $\rho_{\mathrm{full}}$ 是 Cauchy 问题 (2.2.15) 的解；通常，最后一步是证明唯一性。首先形式地对 (2.2.14) 求导：
$$ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \rho_{\text{full}}}{\mathrm{d} t} (t) = \frac{\mathrm{d} \rho_{\text{int}}}{\mathrm{d} t} (t) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left(\sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{k} (\tau) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{k}} \big (\rho_{\text{int}} (\tau) \big) \big)\right) \\ = \frac{\mathrm{d} \rho_{\text{int}}}{\mathrm{d} t} (t) - \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} s_{\varepsilon} (t) f_{k} (t) \partial_{X_{k}} \big (\rho_{\text{int}} (t) \big) + \\ - \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{k} (\tau) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{k}} \big (\rho_{\text{int}} (\tau) \big) \big). \end{array} $$我们将在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中考虑这个导数。首先，前两项恰好抵消（命题 5.2.7 (3)），表达式简化为
$$ \frac{\mathrm{d} \rho_{\text{full}}}{\mathrm{d} t} (t) = - \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{k} (\tau) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \bigl (\partial_{X_{k}} \bigl (\rho_{\text{int}} (\tau) \bigr) \bigr). $$因此，关键问题是这个积分是否在 $\mathcal{\mathfrak{L}} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中存在：它依赖于导数
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \bigl (\partial_{X_{k}} \bigl (\rho_{\text{int}} (\tau) \bigr) \bigr) \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathscr{A}).\tag{6.1.9} $$的存在性。根据引理 5.2.8 和 6.1.1 (3)，我们知道
$$ H_{\Phi , \varepsilon} (\tau) \partial_{X_{k}} \bigl (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \bigr) = \gamma_{\tau} ^{\Phi , \varepsilon} \bigl (H \partial_{X_{k}} (\rho) \bigr) \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathcal{A}) $$成立，因此 $\partial_{X_{k}} \bigl ( \rho_{\mathrm{int}} ( \tau ) \bigr ) \in \mathfrak{D} _{H_{\Phi , \varepsilon} ( \tau ) , r} ^{00}$ 位于命题 5.2.6 (3) 给出时间导数显式表达式的集合中，即广义换位子的积分：
$$ \frac{\mathrm{d} \rho_{\mathrm{full}}}{\mathrm{d} t} (t) = \mathrm{i} \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{k} (\tau) \left[ H_{\Phi , \varepsilon} (t), \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \bigl (\partial_{X_{k}} \bigl (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \bigr) \bigr) \right] _{\ddagger}. $$右边是 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中的 Bochner 积分，其存在性由可积性条件 (2.1.4) 和以下界保证：
$$ \begin{array}{r l} & {\left\| \left[ H_{\Phi , \varepsilon} (t), \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{k}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big) \right] _{\ddagger} \right\| _{r} \leqslant} \\ & {\qquad \leqslant 2 \Big \| M (t, \tau) \Big \| \left\| \big (H_{\Phi , \varepsilon} (\tau) - \xi \big) \partial_{X_{k}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \right\| _{r}} \\ & {\qquad \leqslant 2 K_{t} ^{\Phi} \left\| (H - \xi) \partial_{X_{k}} (\rho) \right\| _{r}.} \end{array}\tag{6.1.10} $$第一个不等式来自 (5.2.30)，第二个中我们使用了界 (5.2.17) 以及 $\gamma_{\tau} ^{\Phi , \varepsilon}$ 在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 上的等距性。利用线性性（见推论 3.3.9）、$H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 和 $\rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 在广义意义下交换的事实（方程 (6.1.7)）以及 (2.2.14)，得到
$$ \begin{array}{r l} & {\frac{\mathrm{d} \rho_{\mathrm{full}}}{\mathrm{d} t} (t) = + \mathrm{i} \left[ H_{\Phi , \varepsilon} (t), \left(\sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau f_{k} (\tau) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{k}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big)\right) \right] _{\ddagger}} \\ & {\qquad = - \mathrm{i} \left[ H_{\Phi , \varepsilon} (t), \big (\rho_{\mathrm{int}} (t) + \mathbf{\Phi} \cdot \mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} (t) \big) \right] _{\ddagger}} \\ & {\qquad = - \mathrm{i} \left[ H_{\Phi , \varepsilon} (t), \rho_{\mathrm{full}} (t) \right] _{\ddagger}.} \end{array} $$为证明 (2.2.15) 解的唯一性，只需证明若 $\beta ( t ) \in \mathfrak{D} _{H , r} ^{00} \cap$ 是满足 $\begin{array} {r} {\operatorname*{lim} _{t - \infty} \beta ( t ) = 0} \end{array}$ 的解，则对所有 $t \in \mathbb R$ 有 $\beta ( t ) = 0$。设 $\beta_{s} ( t ) : = \alpha_{( s , t )} ^{\Phi , \varepsilon} \big ( \beta ( t ) \big )$ 并考虑任意 $A \in \mathfrak{D} _{H , q} ^{00}$，其中 $q = r ( r - 1 ) ^{- 1}$。利用迹 $\mathcal{T}$ 在动力学 $\alpha_{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon}$ 下的不变性并调整引理 5.2.8 证明中的一些论证，我们将 $\boldsymbol{\alpha} _{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon}$ 推到另一边：
$$ \mathcal{T} \big (A \beta_{s} (t) \big) = \mathcal{T} \Big (A \alpha_{(s, t)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\beta (t) \big) \Big) = \mathcal{T} \Big (\alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A) \beta (t) \Big). $$取时间导数并利用生成元在 (5.1.11) 意义下是"反自伴"的这一事实，我们得出结论两项相互抵消：
$$ \begin{array}{l} \mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \mathcal{T} \big (A \beta_{s} (t) \big) = \\ \qquad = \mathcal{T} \Big (\left[ H_{\Phi , \varepsilon} (t), \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A) \right] _{\ddagger} \beta (s) \Big) + \mathcal{T} \Big (\alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A) \left[ H_{\Phi , \varepsilon} (t), \beta (s) \right] _{\ddagger} \Big) = 0. \end{array} $$由于迹的导数在稠密集 ${\mathfrak{D}} _{H , q} ^{00} \ni A$ 上消失，我们可以借助引理 3.2.12 将其提升为对所有 $t , s \in \mathbb{R}$ 有 $\beta_{s} ( t ) =$ 常数。因此，也有 $\beta ( s ) = \beta_{s} ( s ) = \beta_{s} ( t ) \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$。取 $\beta ( t ) = \alpha_{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon} \big ( \beta ( s ) \big )$ 的（平凡）极限 $s \to - \infty$，得到 $\beta ( t ) = 0$。因此，$\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 是 (2.2.15) 的唯一解。
既然我们知道 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 存在，让我们收集 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 和 $\rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 的一些性质，特别是它们在遥远过去 $t \to - \infty$ 时的行为。从定理 2.2.3 的证明中我们得到以下结论：
假设假设 1–6 成立，令 $r = 1 , p$。则以下结论成立：
(1) 对所有 $t \in \mathbb{R}$，演化态 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 和 $\rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 的范数
$$ \left\| \rho_{\text{full}} (t) \right\| _{r} = \| \rho \| _{r} = \left\| \rho_{\text{int}} (t) \right\| _{r} $$与时间无关。此外，若 $p \geqslant 2$ 且 $\rho$ 是投影（即 $\rho^{2} = \rho$），则对所有 $t \in \mathbb{R}$，同样的结论对 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 和 $\rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 也成立。
(2) 映射 $t \mapsto \rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 和 $t \mapsto \rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 在 $\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 拓扑下连续，且极限
$$ \lim_{t \to - \infty} \rho_{\mathrm{full}} (t) = \rho = \lim_{t \to - \infty} \rho_{\mathrm{int}} (t) $$在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中存在。
(3) 完全演化态满足
$$ \lim_{s \to - \infty} \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\rho_{\text{int}} (s) \big) = \rho_{\text{full}} (t) = \lim_{s \to - \infty} \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\rho_{\text{full}} (s) \big) \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathscr{A}), \quad r = 1, p. $$在有限初始时间 $t_{0} > - \infty$ 的情形下（例如当 $f_{k}$ 的支集包含在 $[ t_{0} , + \infty )$ 中时），定理 2.2.3 的陈述及其证明可以显著简化。在这种情况下，由于映射 $\boldsymbol{\alpha} _{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon}$ 的连续性，完整动力学的定义简化为
$$ \rho_{\mathrm{full}} (t) := \alpha_{(t, t_{0})} ^{\Phi , \varepsilon} (\rho) $$且对所有 $t \leqslant t_{0}$ 有 $\rho_{\mathrm{full}} ( t ) = \rho = \rho_{\mathrm{int}} ( t )$。
6.2 电导率的 Kubo 公式#
第二步是将差值 $\rho_{\mathrm{full}} ( t ) - \rho_{\mathrm{int}} ( t )$（方程 (2.2.14)）代入宏观净电流 $\mathcal{L} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$，得到关于 Φ 的"Taylor 展开"，然后关于 $\Phi_{k}$ 求导得到电导率张量。最终，这一推理线索得出了著名的 Kubo 公式 (2.3.3)（定理 2.3.3），以及在 $\rho$ 是纯态的特殊情形下的 Kubo-Strěda 公式 (2.4.5)（推论 2.3.4）。接下来我们将串联各环节以完成这两个陈述的证明。
6.2.1 宏观净电流与电导率张量#
与电流型可观测量 J 和态 $\rho$ 相关的宏观净电流
$$ \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \mathcal{T} \left(J_{\Phi , \varepsilon} (t) \left(\rho_{\text{full}} (t) - \rho_{\text{int}} (t)\right)\right) = \mathcal{T} \left(J_{\Phi , \varepsilon} (t) \rho_{\text{full}} (t)\right) - \mathcal{T} (J \rho) $$是稳态电流与在初始时间和最终时间 t 之间以速率 $\varepsilon > 0$ 绝热开启的微扰所驱动的电流之差。虽然主要关注的是来自假设 5 的流算子 $J_{\Phi , \varepsilon} ( t )$，但我们的论证实际上更为一般，至少在本节中不依赖于 J 的任何具体形式。我们将必要性质浓缩到定义 2.3.1 中，其中引入了"电流型可观测量"的概念。严格来说，我们仍需证明 $J_{\kappa}$ 是电流型可观测量，这一点将在本节末尾予以补充。
宏观净电流的定义 (2.3.1a) 涉及差值 $\rho_{\mathrm{full}} ( t ) - \rho_{\mathrm{int}} ( t ) = \Phi \cdot \mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} ( t )$，因此代入方程 (2.2.14) 得到
$$ \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \boldsymbol{\Phi} \cdot \mathcal{T} \left(J_{\Phi , \varepsilon} (t) \mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} (t)\right)\tag{6.2.1} $$其中 $\mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的分量由方程 (2.2.13) 定义。形式地，我们可以将流算子 $J_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 和迹拉入积分号内，从而 $\mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t ) = \begin{array} {r} {\sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{j} \mathcal{M} _{j} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )} \end{array}$ 可用以下表达式给出：
$$ \mathcal{K} _{j} ^{\Phi , \varepsilon} [ J, \rho ] (t) := \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{j} (\tau) \mathcal{T} \left(J_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \left(\partial_{X_{j}} \left(\rho_{\text{int}} (\tau)\right)\right)\right).\tag{6.2.2} $$这些操作将在下一个引理中得到证明。
假设假设 1–6 成立，令 J 为定义 2.3.1 意义下的电流型可观测量。则我们有：
(1) 分量 $\mathcal{H} _{i} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t ) , j = 1 , \ldots , d$ 存在，由 (6.2.2) 给出，且连续依赖于微扰场 Φ。
(2) 净电流 $\mathcal{L} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 也存在，由 (6.2.2) 给出，且连续依赖于微扰场 Φ。
(3) 在极限下净电流消失：
$$ \lim_{\Phi \rightarrow 0} \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \mathcal{J} ^{0, \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = 0 \quad \forall t \in \mathbb{R}. $$(1) 首先，我们需要证明所有对象的存在性：完整动力学 $\rho_{\mathrm{full}} ( t ) = \rho_{\mathrm{int}} ( t ) + \Phi \cdot \mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 中的存在性（定理 2.2.3）特别意味着每个 $K_{i} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t ) \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 的存在性。此外，根据定义 2.3.1 中的假设，我们可以写出
$$ J_{\Phi , \varepsilon} (t) \rho_{\mathrm{int}} (t) = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} (J \rho) \in \mathfrak{L} ^{1} (\mathcal{A}) $$因为 $J_{\ell}$ 的相互作用演化按假设是可积的，而 $J_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \rho_{\mathrm{full}} ( t ) \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 与 ${\mathcal{D}} ( H ) \subseteq{\mathcal{D}} ( J )$ 结合，允许我们适当修改后重复引理 5.2.8 的证明。综合所有这些论证，我们得出结论：对所有 $t \in \mathbb{R}$，$J_{\Phi , \varepsilon} ( t ) K_{j} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 中存在。
该乘积在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 中的存在性特别意味着它是可测的，且积分 $J_{\Phi , \varepsilon} ( t ) K_{j} ^{\Phi , \varepsilon} \bar{[ J , \rho ]} ( t )$ 的 $\mathcal{T}$-稠密定义域必然包含在被积函数
$$ s_{\varepsilon} (\tau) f_{j} (\tau) J_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \bigl (\partial_{X_{j}} \bigl (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \bigr) \bigr) \in \mathfrak{M} (\mathscr{A}), $$的定义域中，因此该定义域是 $\mathcal{T}$-稠密的。因此，我们证明了它的可测性。
虽然可测性问题是一个微妙的点，但它们是下一步应用推论 3.3.9 时必不可少的要素。方便的是，这些论证也证明了积分的存在性：我们将使用范数估计 (6.1.10) 并将其应用于被积函数中的两个算子：
$$ \begin{array}{l} \left\| J_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{j}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big) \right\| _{1} \leqslant \\ \leqslant \left\| J_{\Phi , \varepsilon} (t) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (t) - \xi} \right\| \left\| \big (H_{\Phi , \varepsilon} (t) - \xi \big) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{j}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big) \right\| _{1} \\ \leqslant K_{t} \left\| J \frac{1}{H - \xi} \right\| \left\| (H - \xi) \partial_{X_{j}} (\rho) \right\| _{1}, \end{array}\tag{6.2.3} $$其中 $K_{t} = \mathrm{max} _{| \Phi | \leqslant 1} K_{t} ^{\Phi}$，而 $K_{t} ^{\Phi}$ 由方程 (5.2.17) 给出，该常数出现在命题 5.3.3 的证明中。因此，
$$ J_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{j}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big) \in \mathfrak{L} ^{1} (\mathcal{A}). $$不仅仅是可测的，实际上对所有 $\tau , t \in \mathbb{R}$ 都在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 中。
一旦将此估计与假设 4 的可积性条件 (2.1.4) 结合，我们就能推导出 Bochner 积分
$$ \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{j} (\tau) H_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \bigl (\partial_{X_{j}} \bigl (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \bigr) \bigr) \in \mathfrak{L} ^{1} (\mathscr{A}). $$的存在性。因此，注意到 ${\mathcal{D}} ( H ) \subseteq{\mathcal{D}} ( J )$，我们已经验证了推论 3.3.9 的所有假设，借助该推论现在可以将电流拉入积分号内：
$$ J_{\Phi , \varepsilon} (t) K_{j} ^{\Phi , \varepsilon} (t) = \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{j} (\tau) J_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \bigl (\partial_{X_{j}} \bigl (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \bigr) \bigr) \in \mathfrak{L} ^{1} (\mathcal{A}).\tag{6.2.4} $$迹 $\mathcal{T}$ 在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 拓扑下的连续性，结合不等式
$$ \left| \mathcal{T} \Big (J_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{j}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big) \Big) \right| \leqslant \left\| J_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{j}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big) \right\| _{1} $$确保我们可以将迹 $\mathcal{T}$ 移入方程 (6.2.2) 的积分号内：我们可以用简单算子值函数的有限和任意好地逼近 Bochner 积分，并交换迹与极限的顺序。
为证明极限的连续性，我们将迹重写为
$$ \lim_{\Phi \to 0} \mathcal{T} \left(J_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{j}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big)\right) = \lim_{\Phi \to 0} \mathcal{T} \left(A_{\Phi} B_{\Phi}\right) $$分为两个算子的乘积，即
$$ A_{\Phi} := U_{\Phi , \varepsilon} (\tau , t) \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \left(J \frac{1}{H - \xi}\right) M_{\Phi , \varepsilon} (t, \tau) \in \mathcal{A} $$其中包含来自方程 (5.2.15) 的 $M_{\Phi , \varepsilon} ( t , \tau )$，以及
$$ B_{\Phi} := \gamma_{\tau} ^{\Phi , \varepsilon} \big ((H - \xi) \partial_{X_{j}} (\rho) \big) \in \mathfrak{L} ^{1} (\mathcal{A}). $$当 $\Phi 0$ 时，序列 $A_{\Phi}$ 是 $\mathcal{A}$ 中三个一致有界且 SOT 收敛的序列的乘积。根据推论 5.3.2，完整传播子 $U_{\Phi , \varepsilon} ( \tau , t ) \to U_{0} ( \tau - t )$ 强收敛到未微扰传播子，$\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \to \mathbb{1} _{\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )}$ 强收敛（命题 5.2.7），而 $M_{\Phi , \varepsilon} ( t , \tau ) \to U_{0} ( t - \tau )$（命题 5.3.3）。
乘积关于一致有界序列在 SOT 下连续（引理 3.2.14），在此情形下对第一个因子有
$$ s - \lim_{\Phi \rightarrow 0} A_{\Phi} = U_{0} (\tau - t) \left(J \frac{1}{H - \xi}\right) U_{0} (t - \tau). $$对第二个因子，再次援引命题 5.2.7，有
$$ \| \cdot \| _{1} - \lim_{\Phi \to 0} B_{\Phi} = (H - \xi) \partial_{X_{j}} (\rho). $$总之，应用引理 3.2.14 和迹在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 拓扑下的连续性保证了
$$ \begin{array}{l} \lim_{\Phi \to 0} \mathcal{T} \left(J_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{j}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big)\right) = \\ \qquad = \mathcal{T} \left(U_{0} (\tau - t) \left(J \frac{1}{H - \xi}\right) U_{0} (t - \tau) (H - \xi) \partial_{X_{j}} (\rho)\right) \\ \qquad = \mathcal{T} \left(\left(J \frac{1}{H - \xi}\right) (H - \xi) U_{0} (t - \tau) \partial_{X_{j}} (\rho) U_{0} (\tau - t)\right) \\ \qquad = \mathcal{T} \left(\left(J \frac{1}{H - \xi}\right) (H - \xi) \alpha_{t - \tau} ^{0} \big (\partial_{X_{j}} (\rho) \big)\right) \\ \qquad = \mathcal{T} \Big (J \alpha_{t - \tau} ^{0} \big (\partial_{X_{j}} (\rho) \big) \Big) \end{array} $$其中我们使用了迹的循环性、H 与未微扰演化 $\boldsymbol{\alpha} _{t} ^{0}$ 之间的交换性（见命题 5.1.3）以及引理 3.3.7 (2)。证明完毕。
(2) 这由 (1) 及 $\begin{array} {r} {\mathcal{L} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t ) = \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \mathcal{M} _{k} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )} \end{array}$ 立即推出。
(3) 净电流的消失由 (1) 中证明的 Φ 连续性及命题 5.3.4 推出。
系统在两种情形下处于平衡态。第一种是当 $t \to - \infty$ 时。事实上，定义 2.3.1 的连续性条件 (ii) 确保
$$ \lim_{t \to - \infty} \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \lim_{t \to - \infty} \mathcal{T} \big (J_{\Phi , \varepsilon} (t) \rho_{\mathrm{full}} (t) \big) - \mathcal{T} (J \rho) = 0. $$对于有限初始时间 $t_{0} > - \infty$，由于对所有 $t \leqslant t_{0}$ 有 $J_{\Phi , \varepsilon} ( t ) = J_{\Phi , \varepsilon} ( t_{0} ) = J$ 和 $\rho_{\mathrm{full}} ( t ) = \rho_{\mathrm{full}} ( t_{0} ) = \rho$，实际上我们有更强的条件
$$ \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \mathcal{T} \left(J_{\Phi , \varepsilon} (t_{0}) \rho_{\mathrm{full}} (t_{0})\right) - \mathcal{T} (J \rho) = 0 \quad \forall t \leqslant t_{0}. $$在许多情况下，也预期在平衡态下净电流为零，即
$$ \lim_{t \to - \infty} \mathcal{T} \big (J_{\Phi , \varepsilon} (t) \rho_{\mathrm{full}} (t) \big) = \mathcal{T} (J \rho) = 0.\tag{6.2.5} $$除了定义 2.3.1 (i)–(ii) 之外，条件 (6.2.5) 的有效性还取决于许多因素，如 H、生成元 X 和初始态 $\rho$ 的性质。平衡态下电流期望值的消失通常被称为 no-go 定理 [BS98, Section 1.1]，no-go 定理已在各种情形下针对离散量子系统 [BES94, Proposition 3] 和连续系统（见 [BGK+05, Lemma 5.7] 和 [KS04, Proposition 5]）得到证明。第二个平衡条件涉及微扰场 Φ 的消失。显然，在固定 $\varepsilon > 0$ 下微扰消失的极限中，净电流消失：
$$ \mathcal{J} ^{\Phi = 0, \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \mathcal{T} \big (J_{\Phi , \varepsilon} (t) \rho_{\mathrm{full}} (t) \big) \bigg | _{\Phi = 0} - \mathcal{T} (J \rho) = 0, $$由于 $G_{\Phi = 0 , \varepsilon} ( t ) = \mathbb{1}$ 意味着 $J_{\Phi = 0 , \varepsilon} ( t ) = J$、$H_{\Phi = 0 , \varepsilon} = H$ 以及 $\rho_{\mathrm{full}} ( t ) = \rho$（因为 $\rho$ 是平衡态）。在 $\Phi = 0$ 处的连续性
$$ \lim_{\Phi \rightarrow 0} \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \mathcal{J} ^{\Phi = 0, \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = 0 $$需要一些额外假设，例如引理 6.2.1 中的那些。
我们所做的大部分工作也适用于假设 5 中定义的 $J_{\kappa}$ 之外的算子。实际上，证明依赖于这些 $J_{\kappa}$ 所具有的一些性质，这促使我们在定义 2.3.1 中引入了流算子的概念。然而，为了形成闭环，我们还需验证通过 $X_{j}$ 微扰产生的流满足这些条件。
假设假设 1–6 成立。则来自假设 5 的算子
$$ J_{\kappa , \Phi , \varepsilon} (t) := (- 1) ^{| \kappa |} \mathrm{ad} _{\mathbf{X}} ^{\kappa} \bigl (H_{\Phi , \varepsilon} (t) \bigr), $$$$ \kappa \in \mathbb{N} _{0} ^{d}, | \kappa | \geqslant 1, $$是定义 2.3.1 意义下的电流型算子。
选取任意算子 $J_{\kappa}$，其中 $\kappa \in \mathbb{N} _{0} ^{d} , | \kappa | \geqslant 1$。从点 (i) 开始。在联合核 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上
$$ \begin{array}{r} J_{\kappa , \Phi , \varepsilon} (t) = (- 1) ^{| \kappa |} \mathsf{a d} _{\mathbf{X}} ^{\kappa} \big (H_{\Phi , \varepsilon} (t) \big) = G_{\Phi , \varepsilon} (t) (- 1) ^{| \kappa |} \mathsf{a d} _{\mathbf{X}} ^{\kappa} (H) G_{\Phi , \varepsilon} (t) ^{*} \\ = G_{\Phi , \varepsilon} (t) J_{\kappa} G_{\Phi , \varepsilon} (t) ^{*} \end{array} $$成立，这是因为 $X_{j}$ 下的不变性（假设 5 (i)）以及 $X_{j}$ 彼此交换。$X_{j}$（它进入 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的定义）与代数结构的兼容性（假设 3 (i) 和 (ii)），结合 $J_{\kappa}$ 从属于 $\mathcal{A}$ 的事实（通过直接推广引理 6.1.1 (i)），也得到 $J_{\kappa , \Phi , \varepsilon} ( t ) \in \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} )$。
现在处理 (iii)：由于 $J_{\kappa}$ 是无穷小 H-有界的（假设 5 (iv)），$J_{\kappa}$ 的定义域包含 (H)。因此，$J_{\kappa} ( H - \xi ) ^{- 1}$ 从属且有界，因而自身是 $\mathcal{A}$ 的元素。最初在 $\mathcal{H}$ 上读取第一个等式
$$ \begin{array}{r} J_{\kappa , \Phi , \varepsilon} (t) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} - \xi} = G_{\Phi , \varepsilon} (t) \left(J_{\kappa} \frac{1}{H - \xi}\right) G_{\Phi , \varepsilon} (t) \\ = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \left(J_{\kappa} \frac{1}{H - \xi}\right), \end{array}\tag{6.2.6} $$并利用 $J_{\kappa} ( H - \xi ) ^{- 1}$ 以及用 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 共轭保持 $\mathcal{A}$ 的代数结构这一事实，我们得出结论：实际上可以将它们解释为 $\mathcal{A}$ 上的等式。这证明了 (iii)。
最后，点 (ii) 通过在乘积中插入一个预解式并使用 (6.2.6) 得到：
$$ \begin{array}{r} J_{\kappa , \Phi , \varepsilon} (t) \rho_{\mathrm{full}} (t) = \left(J_{\kappa , \Phi , \varepsilon} (t) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (t) - \xi}\right) \left(\left(H_{\Phi , \varepsilon} (t) - \xi\right) \rho_{\mathrm{full}} (t)\right) \\ = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \left(J_{\kappa} \frac{1}{H - \xi}\right) \left(\left(H_{\Phi , \varepsilon} (t) - \xi\right) \rho_{\mathrm{full}} (t)\right) \end{array}\tag{6.2.7} $$并援引领理 3.3.7 (2)。我们已经验证了 $J_{\kappa , \Phi , \varepsilon} ( t ) \left( H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) - \xi \right) ^{- 1} \in \mathcal{A}$ 在代数中，$J_{\kappa , \Phi , \varepsilon} ( t ) \in \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} )$ 是从属的，因此剩下的步骤是证明 $\left( H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) - \xi \right) \rho_{\mathrm{full}} ( t ) \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$。事实证明我们已经完成了所有困难工作：鉴于 $\rho_{\mathrm{full}} ( t ) = \rho_{\mathrm{int}} ( t ) + \Phi \cdot \mathbf{K} ^{\Phi , \varepsilon} ( t )$（定理 2.2.3）和 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \rho_{\mathrm{int}} ( t ) = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} ( H \rho ) \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$（引理 5.2.8），只需考虑 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) K_{i} ^{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 并证明其可积性。但这一点已在引理 6.2.1 的证明中通过 (6.2.4) 建立。
$\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \to \mathbb{1} _{\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )}$ 是一致有界的且在 $t \to - \infty$ 时在 SOT 下收敛到恒等（命题 5.2.7 (i)），这意味着第一个因子按所需方式行为。为控制第二个因子，我们再次使用定理 2.2.3：第一项 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \rho_{\mathrm{int}} ( t ) = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} ( H , \rho ) \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 再次定义一个一致有界序列，收敛到 $H \rho$——这正是我们寻找的项。
因此，如果我们能证明最后一项（它是
$$ \begin{array}{l} \big (H_{\Phi , \varepsilon} (t) - \xi \big) \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{j} (\tau) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{j}} \big (\rho_{\text{int}} (\tau) \big) \big) = \\ = \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{j} (\tau) \big (H_{\Phi , \varepsilon} (t) - \xi \big) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi , \varepsilon} \big (\partial_{X_{j}} \big (\rho_{\text{int}} (\tau) \big) \big) \end{array}\tag{6.2.8} $$的和）消失，我们就证明了 $\| \cdot \| _{1} - \operatorname*{lim} _{t \to - \infty} J_{\kappa , \Phi , \varepsilon} ( t ) \rho_{\mathrm{full}} = J_{\kappa} \rho$。首先，我们需要借助推论 3.3.9 证明将 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 拉入积分号内是合理的。幸运的是，一旦我们能证明第二个积分的存在性，就可以援引该推论。我们已经在前面通过估计 (6.1.10) 和在假设 4 中施加的可积性条件 (2.1.4) 证明了这一点。此外，进入该估计的常数 $K_{t} ^{\Phi}$（在 (5.2.17) 中定义）关于 t 非递减且下界为 1。因此，积分 (6.2.8) 在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 中存在，且该估计也允许我们援引控制收敛定理，从而得出结论：当 $t \to - \infty$ 时它消失。证明完毕。
6.2.2 Kubo 公式的证明#
由于 $\mathcal{L} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 在 Φ 中的展开到领头阶消失，
$$ \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \mathcal{T} \left(J_{\Phi , \varepsilon} (t) K_{k} ^{\Phi , \varepsilon} (t)\right) = \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) + \mathcal{O} (\Phi^{2}), $$很自然地（见定义 2.3.2）将电导率系数识别为
$$ \sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \mathcal{K} _{k} ^{\Phi , \varepsilon} [ J, \rho ] (t) \bigg | _{\Phi = 0} = \mathcal{T} \big (J_{\Phi , \varepsilon} (t) K_{k} ^{\Phi , \varepsilon} (t) \big) \bigg | _{\Phi = 0}. $$我们现在将证明这确实是正确的。
（定理 2.3.3 的证明）证明的主要要素是净电流可以表示为 $\begin{array} {r} {\mathcal{L} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t ) = \sum_{k = 1} ^{d} \Phi_{k} \ \mathcal{H} _{k} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )} \end{array}$ 以及 $\mathcal{K} _{k} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 关于 Φ 的连续性（引理 6.2.1 (1)）。这里使用了假设 1–6。让我们用简写 $\Phi_{k}$ 表示 $( 0 , \ldots , \Phi_{k} , \ldots , 0 )$。那么将 $\partial_{\Phi_{k}}$ 导数写为差商，电导率张量
$$ \begin{array}{r} \sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \lim_{\Phi_{k} \to 0} \frac{\mathcal{J} ^{\Phi_{k}} [ J , \rho ] (t) - \mathcal{J} ^{0 , \varepsilon} [ J , \rho ] (t)}{\Phi_{k}} \\ = \lim_{\Phi_{k} \to 0} \mathcal{K} _{k} ^{\Phi_{k}, \varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \mathcal{K} _{k} ^{0, \varepsilon} [ J, \rho ] (t) \end{array} $$归结为 $\mathcal{K} _{k} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 在 $\Phi = 0$ 处的求值。
迹在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 拓扑下的连续性允许我们将极限拉入迹内，并利用当 $\Phi_{k} \to 0$ 时 $\alpha_{( t , \tau )} ^{\Phi , \varepsilon} \to \alpha_{t - \tau} ^{0}$ 和 $\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \to \mathbb{1} _{\mathfrak{L} ^{1}}$ 强收敛，从而得到 Kubo 公式：
$$ \begin{array}{r l} & {\sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) = - \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{k} (\tau) \mathcal{T} \Big (\lim_{\Phi_{k} \to 0} \Big (J_{\Phi_{k}, \varepsilon} (t) \alpha_{(t, \tau)} ^{\Phi_{k}, \varepsilon} \big (\partial_{X_{k}} \big (\rho_{\mathrm{int}} (\tau) \big) \big) \Big) \Big)} \\ & {\qquad = - \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{k} (\tau) \mathcal{T} \big (J \alpha_{t - \tau} ^{0} \big (\partial_{X_{k}} (\rho) \big) \big).} \end{array} $$为了对 $f_{k}$ 的特殊选择找到更显式的表达式，重写电导率张量
$$ \begin{array}{l} \sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \widetilde{\sigma} _{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) + \delta_{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) \\ := - \int_{- \infty} ^{t} \mathrm{d} \tau \mathrm{e} ^{\varepsilon \tau} f_{k} (\tau) \mathcal{T} \big (J \alpha_{t - \tau} ^{0} \big (\partial_{X_{k}} (\rho) \big) \big) + \\ \qquad - \int_{0} ^{t} \mathrm{d} \tau \left(1 - \mathrm{e} ^{\varepsilon \tau}\right) f_{k} (\tau) \mathcal{T} \big (J \alpha_{t - \tau} ^{0} \big (\partial_{X_{k}} (\rho) \big) \big) \end{array}\tag{6.2.9} $$对非负时间通过将 $s_{\varepsilon} ( t ) = 1$（对 $t \geq 0$）替换为 $\mathrm{e} ^{\varepsilon t}$ 得到。量 $\widetilde{\sigma} _{k} ^{\varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 提供了在绝热极限下计算电导率的另一种方式，因为余项 $\delta_{k} ^{\varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 在 $\varepsilon \to 0^{+}$ 时消失（见引理 6.3.1）。
（推论 2.3.4 的证明）(1) 取 $f_{k} = 1$。本证明的思路是利用方程 (3.4.4)，它将 $\alpha_{t} ^{0} \big ( \partial_{X_{k}} ( \rho ) \big )$ 的 Laplace 变换与 $\mathcal{L} _{H} ^{( 1 )} = - \mathcal{L} _{- H} ^{( 1 )}$ 的预解式联系起来，从而消去对 τ 的积分。经过变量替换 $\tau \mapsto t - \tau$ 并插入 ${\mathfrak{I}} = ( H - \xi ) ( H - \xi ) ^{- 1}$，我们得到
$$ \begin{array}{r l} & {\widetilde{\sigma} _{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) = - \int_{0} ^{+ \infty} \mathrm{d} \tau \mathrm{e} ^{\varepsilon (t - \tau)} \mathcal{T} \big (J \alpha_{\tau} ^{0} \big (\partial_{X_{k}} (\rho) \big) \big)} \\ & {\qquad = - \int_{0} ^{+ \infty} \mathrm{d} \tau \mathrm{e} ^{\varepsilon (t - \tau)} \mathcal{T} \left(J \frac{1}{H - \xi} \alpha_{\tau} ^{0} \big ((H - \xi) \partial_{X_{k}} (\rho) \big)\right)} \\ & {\qquad = - \mathrm{e} ^{\varepsilon t} \mathcal{T} \left(\left(J \frac{1}{H - \xi}\right) \frac{1}{\mathcal{L} _{H} ^{(1)} + \varepsilon} \big ((H - \xi) \partial_{X_{k}} (\rho) \big)\right).} \end{array} $$为确保所有细节都完备，我们指出使用了三个技术事实：(1) ${\mathfrak{L}} ^{r} ( {\mathcal{A}} )$ 具有延拓的左模结构（见引理 3.3.7）。(2) 对任意 H 的有界函数 g 和任意 $A \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$，有 $\mathcal{L} _{H} ^{( 1 )} \big ( g ( H ) A \big ) = g ( H ) \mathcal{L} _{H} ^{( 1 )} ( A )$。(3) 条件 ${\mathcal{D}} ( H ) \subseteq{\mathcal{D}} ( J )$ 确保迹 $\mathcal{T}$ 内的两个量在 -稠密定义域上一致，因此作为 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 中的元素也一致。
(2) 这只是一个直接计算的结果，调整 (1) 中的论证并运用 Fubini-Tonelli 定理即可。
6.3 电导率张量的绝热极限#
使 LRT 严格的最后一步是绝热极限，其中内禀微观动力学的时间尺度远快于我们开启微扰的速度。正如我们在上一小节中解释的，我们可以将电导率张量替换为另一个量 $\widetilde{\sigma} _{k} ^{\varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$（通过 (6.2.9) 定义），它更适合取绝热极限，因为我们可以使用 (3.4.4) 对时间积分并得到一个投影。第一性原理电导率张量与 $\widetilde{\sigma} _{k} ^{\varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 之间的差异在绝热极限下消失。
假设假设 1–6 成立。则对所有 $t \geq 0$，余项在绝热极限下消失：
$$ \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \delta_{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) = 0 $$因此，只要这些极限存在，就有
$$ \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \widetilde{\sigma} _{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t). $$让我们继续证明 Kubo 公式的绝热极限。
（定理 2.4.1 的证明）根据假设 $\partial_{X_{k}} ( \rho ) \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$（假设 6 (i)），我们可以将方程 (2.3.7) 中的 $\mathcal{L} _{H} ^{( 1 )}$ 替换为 $\mathcal{L} _{H} ^{\left( p \right)}$，并结合
$$ \mathcal{T} \left(J \frac{1}{\mathcal{L} _{H} ^{(p)} + \varepsilon} (R)\right) = \mathcal{T} \left(\frac{1}{- \mathcal{L} _{H} ^{(q)} + \varepsilon} (J) R\right), $$因为迹 $\mathcal{T}$ 在 $\mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$ 和 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 之间建立了对偶关系，且 $\mathfrak{L} _{- H} ^{( q )} = - \mathfrak{L} _{H} ^{( q )}$ 是 $\mathfrak{L} _{H} ^{( p )}$ 的伴随。将上述应用于特例 $J = \mathcal{L} _{H} ^{( q )} ( Q_{J} )$ 和 $R = \partial_{X_{k}} ( \rho )$ 得到
$$ \widetilde{\sigma} _{k} ^{\varepsilon} [ J, \rho ] (t) = + \mathrm{e} ^{\varepsilon t} \mathcal{T} \left(\frac{\mathcal{L} _{H} ^{(q)}}{\mathcal{L} _{H} ^{(q)} - \varepsilon} (Q_{J}) \partial_{X_{k}} (\rho)\right).\tag{6.3.1} $$现在处理绝热极限：利用 Hölder 不等式 (3.2.7)，在将极限 $\varepsilon \to 0^{+}$ 拉入 $\mathcal{T}$ 的参数内并援引领理 5.1.5（或 $p = 2$ 时的引理 5.1.4）后，我们得到方程 (2.4.2)。
对于特例 $p = q = 2$，对偶关系可以用内积 $\langle \langle A , B \rangle \rangle_{\mathfrak{L} ^{2}} = \mathcal{T} ( A^{*} B )$ 重新表述，将方程 (2.4.2) 以这种方式重写即得 (2.4.3)。
Kubo-Strěda 公式是我们刚刚证明的 Kubo 公式的一个特例，其中
(1) 电流是密度流 $J_{k} = \mathrm{i} \left[ H , X_{k} \right]$，由 $X_{k}$ 定义，
(2) 态 $\rho = P = \chi_{\Delta} ( H )$ 是与 H 的有界能量区域 $\Delta$ 相关的谱投影，以及
(3) 投影的正则度指标为 $p = 2$。
换言之，我们关注的主要对象是电导率系数
$$ \begin{array}{l} \sigma_{j k} := \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \widetilde{\sigma} _{j} ^{\varepsilon} [ J_{k}, P ] (t) = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{0} ^{\infty} \mathrm{d} \tau \mathrm{e} ^{\varepsilon (t - \tau)} \mathcal{T} \big (J_{k} \alpha_{\tau} ^{0} \big (\partial_{X_{j}} (P) \big) \big) \\ =: \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{0} ^{\infty} \mathrm{d} \tau \mathrm{e} ^{\varepsilon (t - \tau)} \Sigma_{j k} (\tau). \end{array}\tag{6.3.2} $$我们已经证明了这些极限存在且与时间无关。将 Kubo 公式特例化后，可以进行一系列巧妙的操作，如重新排列（迭代）换位子。
（定理 2.4.2 的证明）在相关假设下，我们已经证明了 $\sigma_{j k}$ 的存在性，且它们由方程 (6.3.2) 给出。尽管计算是直接的，但为使所有细节完备所需的一些技术论证不幸地有些繁琐，因为我们必须将算子视为不同代数中的元素。
此外，为使换位子操作严格，我们将通过引入平滑能量截断来正则化换位子：考虑一族函数 $f_{n} \in C_{\mathrm{c}} ^{\infty} ( \mathbb{R} )$，它们是非负、光滑且紧支的，具有性质 $f_{n} ( \lambda ) \leq 1$ 且对所有 $\lambda \in [ - n , + n ]$ 有 $f_{n} ( \lambda ) = 1$。通过泛函演算，我们得到 $f_{n} ( H ) \in \mathcal{A} ^{+} , \left\| f_{n} ( H ) \right\| \leqslant 1$，且 $s {-} \mathrm{l i m} _{n \to \infty} f_{n} ( H ) = \mathbb{1}$ 成立。此外，插入 $\mathbb{1} = (H - \xi)^{-1} (H - \xi)$ 的标准技巧结合引理 6.1.1，允许我们推断
$$ J_{k} f_{n} (H) = J_{k} \frac{1}{H - \xi} (H - \xi) f_{n} (H) \in \mathcal{A} $$也是两个代数元素的乘积，因此自身是 $\mathcal{A}$ 的元素。
现在我们在方程 (6.3.2) 定义的 $\Sigma_{j k} ( \tau )$ 中用代数元素 $J_{k} f_{n} ( H ) \in \mathcal{A}$ 替换从属算子 $J_{k} \in \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} )$：
$$ \Sigma_{j k, n} (\tau) := \mathcal{T} \left(J_{k} f_{n} (H) \alpha_{\tau} ^{0} \bigl (\partial_{X_{j}} (P) \bigr)\right), $$然后在进行必要的操作后最终取极限 $n \to \infty$。极限 $\lim_{n \to \infty} \Sigma_{j k , n} ( \tau ) = \Sigma_{j k} ( \tau )$ 再次消除了正则化，这由引理 3.2.14 中证明的乘积迹的收敛性得出。
正则化过程的目的在于，它允许我们考虑 $\mathcal{A}$ 或 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 中的通常换位子，分别记作 $[ \cdot , \cdot ]$ 和 $[ \cdot , \cdot ] _{( 1 )}$，因为根据假设 6 (i)，$\partial_{X_{k}} ( P )$ 是迹理想 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 的元素。因此，利用迹的循环性和引理 3.4.5（取 $p = 1$），我们可以重写 $\Sigma_{j k , n}$：
$$ \begin{array}{r l} & {\Sigma_{j k, n} (\tau) = \mathcal{T} \Big (\alpha_{- \tau} ^{0} (J_{k} f_{n} (H)) \partial_{X_{j}} (P) \Big)} \\ & {\qquad = \mathcal{T} \left(\alpha_{- \tau} ^{0} (J_{k} f_{n} (H)) [ P, [ P, \partial_{X_{j}} (P) ] _{(1)} ] _{(1)}\right),} \end{array} $$使用相同的换位子恒等式 (3.3.1) 对 $p = \infty$：
$$ \begin{array}{r l} & {\ldots = \mathcal{T} \left(\left[ \alpha_{- \tau} ^{0} (J_{k} f_{n} (H)), P \right] [ P, \partial_{X_{j}} (P) ] _{(1)}\right)} \\ & {\qquad = \mathcal{T} \left(\left[ \left[ \alpha_{- \tau} ^{0} (J_{k} f_{n} (H)), P \right], P \right] \partial_{X_{j}} (P)\right),} \end{array} $$以及平衡条件 $\alpha_{\tau} ^{0} ( P ) = P$：
$$ \begin{array}{c} \ldots = \mathcal{T} \left(\alpha_{- \tau} ^{0} \left(\left[ P, \left[ P, J_{k} f_{n} (H) \right] \right]\right) \partial_{X_{j}} (P)\right) \\ = \mathcal{T} \left(\left[ P, \left[ P, J_{k} f_{n} (H) \right] \right] \alpha_{\tau} ^{0} \big (\partial_{X_{j}} (P) \big)\right). \end{array}\tag{6.3.3} $$下一步是通过恒等式
$$ \left[ P, J_{k} f_{n} (H) \right] = - \left[ H, \partial_{X_{k}} (P) \right] _{\ddagger} f_{n} (H)\tag{6.3.4} $$将 $f_{n} ( H )$ 拉出换位子，其中 $[ \cdot , \cdot ] _{\ddagger}$ 是定义 3.3.2 中的广义换位子：平衡条件意味着 P 与 H 交换，且由于 H 和 P 都是自伴的，有 $( H P ) ^{*} = H P$。由于导数 $\partial_{X_{k}}$ 是自伴的，从引理 6.1.1 (3) 我们得出结论
$$ \begin{array}{r l} \left[ H, \partial_{X_{k}} (P) \right] _{\ddagger} f_{n} (H) & = \left(J_{k} P - (J_{k} P) ^{*}\right) f_{n} (H) \\ & = \left(J_{k} P f_{n} (H)\right) - \left(f_{n} (H) J_{k} P\right) ^{*} \\ & = \left(J_{k} f_{n} (H)\right) P - P \left(f_{n} (H) J_{k}\right) ^{*} \\ & = \left(J_{k} f_{n} (H)\right) P - P \left(J_{k} f_{n} (H)\right) \end{array} $$这正是关系式 (6.3.4)。注意这些论证在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 和 $\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$ 中有意义，并且根据需要，我们将 $[ \cdot , \cdot ] _{( 1 )}$ 替换为 $[ \cdot , \cdot ] _{( 2 )}$。
现在我们需要的正是 $\rho$ 和 $H \rho$ 的 $p = 2$ 正则性，并在 $\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$ 中考虑换位子。将这个换位子恒等式代入 (6.3.3)，再次利用 P 和 $f_{n} ( H )$ 交换的事实，计算极限：
$$ \begin{array}{r l} & {\Sigma_{j k} = - \lim_{n \to \infty} \mathcal{T} \left(\left[ P, \left[ H, \partial_{X_{k}} (P) \right] _{\ddagger} \right] _{(2)} f_{n} (H) \alpha_{\tau} ^{0} (\partial_{X_{j}} (P))\right)} \\ & {\qquad = - \mathcal{T} \left(\left[ P, \left[ H, \partial_{X_{k}} (P) \right] _{\ddagger} \right] _{(2)} \alpha_{\tau} ^{0} (\partial_{X_{j}} (P))\right).} \end{array} $$为得到 P 与其导数的换位子，我们通过引理 3.3.7 (2) 提取 H：
$$ P \left(H \partial_{X_{k}} (P)\right) = (P H) \partial_{X_{k}} (P) = H \left(P \partial_{X_{k}} (P)\right) \in \mathfrak{L} ^{2} (\mathscr{A}), $$以及对伴随的类似等式；我们添加括号以强调，例如 P 和 $P H = H P$ 是 $\mathcal{A}$ 中的元素，因为 P 是与谱的有界区域相关的谱投影，而 $\partial_{X_{k}} ( P ) , H \partial_{X_{k}} ( P ) \in \mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$（根据假设 6）。
由于 $\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$ 是自对偶的，这一计算允许我们交换广义换位子和 $\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$ 换位子的顺序，并用 2-Liouvillian 表示双重换位子：
$$ \left[ P, \left[ H, \partial_{X_{j}} (P) \right] _{\ddagger} \right] _{(2)} = \left[ H, \left[ P, \partial_{X_{j}} (P) \right] _{(2)} \right] _{\ddagger} = \mathrm{i} \mathscr{L} _{H} ^{(2)} \Big (\left[ P, \partial_{X_{k}} (P) \right] _{(2)} \Big). $$因此，我们已将电导率张量的形式简化为 (6.3.1)，可以重复 (6.3.1) 之后的论证，得出结论
$$ \sigma_{j k} = \mathrm{i} \left\langle \left\langle \mathscr{P} _{H} ^{(2) \perp} \left(\left[ P, \partial_{X_{k}} (P) \right] _{(2)}\right) ^{*}, \partial_{X_{j}} (P) \right\rangle \right\rangle_{\mathfrak{L} ^{2}}. $$还需证明 $\left[ P , \partial_{X_{k}} ( P ) \right] _{( 2 )}$ 与 $\mathcal{P} _{H} ^{( 2 )}$ 的核正交，这样我们就可以省略投影 $\mathcal{P} _{H} ^{( 2 ) \perp}$。幸运的是，这很容易看出：$A \in$ ker $( \mathcal{L} _{H} ^{( 2 )} )$ 意味着对 $f \in L^{\infty} ( \mathbb{R} )$ 有 $[ A , f ( H ) ] _{( 2 )} = 0$。特别地，这对 $P = \chi_{\Delta} ( H )$ 成立（其中 $\Delta$ 是感兴趣的谱区域），利用这一信息容易看出这样的 A 必然是正交的：
$$ \left\langle \left\langle A, \left[ P, \partial_{X_{k}} (P) \right] _{(2)} \right\rangle \right\rangle_{\mathfrak{L} ^{2}} = \left\langle \left\langle [ A, P ] _{(2)}, \partial_{X_{k}} (P) \right\rangle \right\rangle_{\mathfrak{L} ^{2}} = 0 $$其中第一个等式使用了公式 (3.3.1)。因此，我们可以省略投影，得到 Kubo-Strěda 公式：
$$ \begin{array}{r l} & {\sigma_{k j} = - \mathrm{i} \left\langle \left[ P, \partial_{X_{k}} (P) \right] _{(2)} ^{*}, \partial_{X_{j}} (P) \right\rangle_{\mathfrak{L} ^{2}}} \\ & {\qquad = + \mathrm{i} \left\langle \left[ P, \partial_{X_{k}} (P) \right] _{(2)}, \partial_{X_{j}} (P) \right\rangle_{\mathfrak{L} ^{2}}.} \end{array} $$借助方程 (3.3.1) 在参数间移动换位子，得到电导率系数的另一种形式：
$$ \begin{array}{c} \sigma_{k j} = - \mathrm{i} \mathcal{T} \Big (\big [ P , \partial_{X_{k}} (P) \big ] _{(2)} \partial_{X_{j}} (P) \Big) \\ = - \mathrm{i} \mathcal{T} \Big (P \big [ \partial_{X_{k}} (P), \partial_{X_{j}} (P) \big ] _{(1)} \Big). \end{array} $$证明完毕。