(1) 只需观察到引理 3.3.5 和推论 3.3.6 的证明中定义的序列 $B_{n}$ 和 $B_{n} ^{*}$ 实际上包含在交集 $\mathfrak{D} _{H , p} ^{0} \cap \mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$ 中。等式 (5.1.4) 由引理 3.3.7 (1) 以及 $U_{0} ( t ) H = H U_{0} ( t )$ 两个因子可交换的事实推出。

(2) 根据 [EN00, Chapter II, Proposition 1.7]，集合 $\mathfrak{D} _{H , p} ^{0} \cap \mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$ 是 $\mathcal{L} _{H} ^{\left( p \right)}$ 的核，因为它具有一个在 $\boldsymbol{\alpha} _{t} ^{0}$ 下不变的范数稠密子集（由形如 $B_{n} = P_{n} ( H ) B P_{n} ( H )$ 的向量组成，如引理 3.3.5 的证明中所示）。这进而意味着 $\mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$ 也是 $\mathcal{L} _{H} ^{\left( p \right)}$ 的核，因为它包含了核 $\mathfrak{D} _{H , p} ^{0} \cap \mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$。我们从恒等式

开始，并注意到

其中 $\xi \notin \mathrm{Spec} ( H )$，且我们用了 $A \in \mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$ 以及引理 3.3.7 (2)。根据 Stone 定理，极限

在 SOT 下存在，因为预解式将 $\mathcal{H}$ 映到 $\mathcal{D} ( H )$。此外，我们可以使用泛函演算来估计

该界与 $t \in \mathbb{R}$ 无关。这一事实允许我们使用引理 3.2.14，它给出

其中我们再次使用了引理 3.3.7 (2)。(5.1.5) 中的第二项可重写为

如上可证

此外，对合映射 $B \mapsto B^{*}$ 是 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 中的等距，因此

将 (5.1.7) 和 (5.1.8) 代入 (5.1.5) 即得 $\mathcal{L} _{H} ^{( p )} ( A ) = - \mathrm{i} [ H , A ]$，其中 $A \in \mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$。

这一证明的关键要素是谱泛函演算，由于 $\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$ 是 Hilbert 空间且 $\mathrm{i} \mathcal{L} _{H} ^{( 2 )}$ 是自伴算子，我们可以使用该演算。因此，谱表示允许我们通过计算函数

f_{\varepsilon} (x) := \left{\begin{array}{l l} \frac{x}{x - \mathrm{i} \varepsilon} & x \in \operatorname{Spec} \bigl (\mathcal{L} _{H} ^{(2)} \bigr) \ 0 & x \not \in \operatorname{Spec} \bigl (\mathcal{L} _{H} ^{(2)} \bigr) \end{array} \right.

在 $\varepsilon \to 0^{+}$ 时的逐点极限来控制上述强极限，该极限趋于集合 $\{0\}$ 的特征函数 $\chi_{\{0 \}} ( x )$，从而完成证明。

(1) 由 $X_{j} \left[ \mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) \right] \subseteq \mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ 以及假设 4 对 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 和 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t ) ^{*}$ 形式的固定，可推出 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t ) [ \mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) ] = \mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 对所有 $t \in \mathbb R$ 成立（即 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 是 $X_{j}$ 的解析向量的稠密集）。这意味着 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ 上有定义。此外，酉等价性意味着 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ 上与 H 具有相同的亏指数，因此可以断定 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ 上本质自伴。

(2) 假设 4 和 5 (i) 保证 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 是 $X_{j}$ 的解析向量的稠密集，且 $X_{j}$ 与 H 的迭代换位子在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上有良好定义。这一事实允许我们使用 Baker-Campbell-Hausdorff 公式的适用于无界算子的形式（另见 [BR03, Proposition 5.2.4]）。公式 (5.2.3) 可通过显式计算得到。

(3) 这是 Kato-Rellich 定理 [RS75, Theorem X.12] 的推论，结合假设 5 (iv) 保证所有流相对于 H 为无穷小有界。

(4) 这由 H 与 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 之间的酉等价性得到。

ξ 附近的能隙因假设 5 (v) 而存在，并由引理 5.2.1 (4) 中的等谱性 Spec $\left( H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \right) = \operatorname{S p e c} ( H )$ 得以保持。此外，定义域的不变性由引理 5.2.1 (3) 保证，因此定义 5.2.3 (i) 的条件得到满足。

对于证明的其余部分，需要研究的关键量是 $C_{\Phi , \varepsilon} ( s , t )$，它涉及差值

\begin{array}{l}H_{\Phi ,\varepsilon}(t) - H_{\Phi ,\varepsilon}(s) = W_{\Phi ,\varepsilon}(t) - W_{\Phi ,\varepsilon}(s)\ \qquad = \sum_{\substack{\kappa \in \mathbb{N}{0}^{d}\ 1\leqslant |\kappa |\leqslant N}}\frac{(-1)^{|\kappa|}}{|\kappa|!}\Big(w{\kappa}^{\varepsilon}(t) - w_{\kappa}^{\varepsilon}(s)\Big)J_{\kappa}. \end{array}

根据引理 5.2.1 (2)，我们知道这个差值可以如上表示，在核 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) = \mathcal{D} ( H ) \cap \mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ 上稠密定义，并且是 H-有界的。

首先，我们需要流算子和预解式的范数估计，即对任意多重指标 $\kappa \in \mathbb{N} _{0} ^{d}$

\begin{array}{r l} & {\left| J_{\kappa} \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \right| \leqslant \left| J_{\kappa} \frac{1}{H - \xi} (H - \xi) G_{\Phi , \varepsilon} (s) \frac{1}{H - \xi} \right|} \ & {\quad \leqslant \left| J_{\kappa} \frac{1}{H - \xi} \right| \left| (H - \xi) G_{\Phi , \varepsilon} (s) \frac{1}{H - \xi} \right|} \ & {\quad \leqslant c_{J} \left(| \xi | c_{\xi} + \left| H_{- \Phi , \varepsilon} (s) \frac{1}{H - \xi} \right|\right)} \end{array}

有一个用常数

c_{J}:= \max_{\substack{\kappa \in \mathbb{N}{0}^{d}\ 1\leqslant |\kappa |\leqslant N}}\left| J{\kappa}\frac{1}{H - \xi}\right| ,\quad c_{\xi}:= \left| \frac{1}{H - \xi}\right|\tag{5.2.20}

和 $H_{- \Phi , \varepsilon} ( s )$ 乘以预解式的范数表示的界。后者不超过

\left| H_{- \Phi , \varepsilon} (s) \frac{1}{H - \xi} \right| \leqslant \kappa_{\xi} + c_{J} g^{(1)} (s)

其中 $\kappa_{\xi}$ 是 (5.1.6) 中定义的常数，而含时函数

g^{(1)}(s):= \sum_{\substack{\kappa \in \mathbb{N}{0}^{d}\ 1\leqslant |\kappa |\leqslant N}}\frac{1}{|\kappa|!}\bigl |w{\kappa}^{\varepsilon}(s)\bigr |

源于通过方程 (5.2.3) 将 $H_{\cdot \Phi , s} ( t )$ 表示为 H 与一个势的和。这些系数 $\begin{array} {r} {s \mapsto w_{\kappa} ^{\varepsilon} ( s ) = \prod_{j = 1} ^{d} \Phi_{j} ^{\varepsilon} ( s ) ^{\kappa_{j}}} \end{array}$ 及其上述有限和显然是 $C^{1} ( \mathbb{R} )$ 中的元素。

这意味着 $C_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$ 的范数有一个用以上常数、$g^{( 1 )}$ 和

g^{(2)}(t,s):= \sum_{\substack{\kappa \in \mathbb{N}{0}^{d}\ 1\leqslant |\kappa |\leqslant N}}\frac{1}{|\kappa|!}\Bigl |w{\kappa}^{\varepsilon}(t) - w_{\kappa}^{\varepsilon}(s)\Bigr |.

表示的界：

\begin{array}{c} \left| C_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \right| = \left| \left(W_{\Phi , \varepsilon} (t) - W_{\Phi , \varepsilon} (s)\right) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \right| \ \leqslant g^{(2)} (t, s) c_{J} \left(| \xi | c_{\xi} + \kappa_{\xi} + c_{J} g^{(1)} (s)\right) \end{array}\tag{5.2.21}

两个函数 $g^{( 1 )} ( s )$ 和 $g^{( 2 )} ( t , s )$ 在其时间变量中是 $C^{1}$ 的，因此估计式 (5.2.21) 实际上保证了 $C_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$ 和 $\textstyle{\frac{1} {t - s}} C_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$（当 $t \neq s$ 时）在 t 和 s 限制于紧区间时在算子范数下一致连续且一致有界。这证明我们的 Hamiltonian 满足定义 5.2.3 (ii)。

对于最后一项，我们需要证明极限

C_{\Phi , \varepsilon} (t) = \lim_{s \to t} \frac{C_{\Phi , \varepsilon} (s , t)}{s - t}

的存在性，并证明 $t \mapsto \left\| C_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \right\|$ 的连续性。为处理存在性，我们注意到差商 $\left( W_{\Phi , \varepsilon} ( t ) - \ddot{W} _{\Phi , \varepsilon} ( s ) \right) \ddot{( t - s )} ^{- 1}$ 是 H-有界的。据此，我们计算

C_{\Phi ,\varepsilon}(t) = \sum_{\substack{\kappa \in \mathbb{N}{0}^{d}\ 1\leqslant |\kappa |\leqslant N}}\left(\frac{(-1)^{|\kappa|}}{|\kappa|!}\frac{\mathrm{d}w{\kappa}^{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} (t)J_{\kappa}\frac{1}{H_{\Phi,\varepsilon}(t) - \xi}\right),

这立即允许我们用势系数的时间导数

g^{\prime (1)}(t):= c_{J}\sum_{\substack{\kappa \in \mathbb{N}{0}^{d}\ 1\leqslant |\kappa |\leqslant N}}\frac{1}{|\kappa|!}\left|\frac{\mathrm{d}w{\kappa}^{\varepsilon}}{\mathrm{d}t} (t)\right|.

来估计这个量。然后调整得出 (5.2.21) 的论证，得到

\begin{array}{c} \left| C_{\Phi , \varepsilon} (t) \right| \leqslant g^{\prime (1)} (t) c_{J} \Big (| \xi | c_{\xi} + \kappa_{\xi} + c_{J} g^{(1)} (t) \Big) \ \leqslant c g^{\prime (1)} (t) \big (1 + g^{(1)} (t) \big). \end{array}

最后，我们验证可积性条件 (5.2.11)：本质上，我们需要证明 $t \mapsto g^{\prime^{( 1 )}} ( t ) \in C^{1} ( \mathbb{R} )$ 以及两个 $C^{1}$ 函数的乘积 $t \mapsto g^{\prime ( 1 )} ( t ) \ \bar{g} ^{( 1 )} ( t ) \in C^{1} ( \mathbb{R} )$ 在 $t \to - \infty$ 时衰减得足够快。

在代入 (2.2.5) 和 (2.1.5) 后，这个估计可以更明确地表示为：

\left| C_{\Phi , \varepsilon} (t) \right| \leqslant s_{\varepsilon} (t) \sum_{j = 1} ^{d} | \Phi_{j} | \left| f_{j} (t) \right| h_{j} ^{\Phi} (t)\tag{5.2.22}

其中 $h_{i} ^{\Phi} \in C^{0} ( \mathbb{R} )$ 是适当的连续函数，满足 $h_{i} ^{\Phi} ( t ) \to 0$ 当 $t \to - \infty$。因此，$s_{\varepsilon} \left| f_{j} \right|$ 的可积性条件 (2.1.4) 也保证了定义 5.2.3 (iii) 所需的 $\| C_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \|$ 的可积性。证明完毕。

(1) 注意到

\begin{array}{r l} & H_{\Phi , \varepsilon} (t) = C_{\Phi , \varepsilon} (t, t_{0}) \left(H_{\Phi , \varepsilon} (t_{0}) - \xi\right) + H_{\Phi , \varepsilon} (t_{0}) \ & \qquad = \left(C_{\Phi , \varepsilon} (t, t_{0}) + 1\right) H_{\Phi , \varepsilon} (t_{0}) - \xi C_{\Phi , \varepsilon} (t, t_{0}). \end{array}

可以用 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t_{0} )$ 和定义 5.2.3 中的 $C_{\Phi , \varepsilon} ( t , t_{0} )$ 表示。由于 $C_{\Phi , \varepsilon} ( t , t_{0} )$ 从属于且是有界的，它也是 von Neumann 代数的元素。因此，${\mathfrak{L}} ^{r} ( A )$ 的 -双模性质意味着只要 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t_{0} ) A \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$，就有 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) A \in \mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$。

(2) 从恒等式

\begin{array}{c} \frac{\alpha_{(t , s + \delta)} ^{\Phi , \varepsilon} (A) - \alpha_{(t , s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A)}{\delta} = \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t , s + \delta) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} A U_{\Phi , \varepsilon} (s + \delta , t) + \ + U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \left(\frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t , s + \delta) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} A^{}\right) ^{} \end{array}\tag{5.2.26}

出发，并使用 (1)，这里的证明沿袭与命题 5.1.3 相同的思路。这里的关键要素是强极限

\mathrm{s} - \lim_{\delta \rightarrow 0} \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t , s + \delta) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} = \mathrm{i} U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \frac{H_{\Phi , \varepsilon} (s)}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi}

其中我们使用了 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$ 解 Schrödinger 方程 (5.2.14) 以及范数界

\begin{array}{r} \left| \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t , s + \delta) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \right| = \ = \left| \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (s , s + \delta) - 1}{\delta} \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \right| \leqslant C \end{array}\tag{5.2.27}

其中 $C > 0$ 是与 δ 无关的常数。界 (5.2.27) 可如下证明。对所有 $\psi \in \mathcal H$，以下等式成立

\begin{array}{r l} & {\frac{U_{\Phi , \varepsilon} (s , s + \delta) - 1}{\delta} \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \psi =} \ & {\qquad = \frac{1}{\delta} \left[ U_{\Phi , \varepsilon} (s, \tau) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \psi \right] {\tau = s} ^{\tau = s + \delta}} \ & {\qquad = \frac{1}{\delta} \int{s} ^{s + \delta} \mathrm{d} \tau \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} U_{\Phi , \varepsilon} (s, \tau) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \psi} \ & {\qquad = \frac{\mathrm{i}}{\delta} \int_{s} ^{s + \delta} \mathrm{d} \tau U_{\Phi , \varepsilon} (s, \tau) H_{\Phi , \varepsilon} (\tau) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \psi .} \end{array}

这导致估计

\begin{array}{r l} & {\left| \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (s , s + \delta) - 1}{\delta} \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \psi \right| {\mathcal{H}} \leqslant} \ & {\quad \leqslant \frac{1}{\delta} \int{s} ^{s + \delta} \mathrm{d} \tau \left| H_{\Phi , \varepsilon} (\tau) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \right| | \psi | {\mathcal{H}}} \ & {\quad \leqslant \underset{\tau \in [ s, s + \delta ]} {\sup} \left| H{\Phi , \varepsilon} (\tau) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \right| | \psi | _{\mathcal{H}}} \end{array}

其中右边可受控于

\begin{array}{l} \sup_{\tau \in [ s, s + \delta ]} \left| H_{\Phi , \varepsilon} (\tau) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \right| \leqslant \ \quad \leqslant \sup_{\tau \in [ s, s + \delta ]} \left(\left| \left(H_{\Phi , \varepsilon} (\tau) - H_{\Phi , \varepsilon} (s)\right) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \right| + \right. \ \quad \left. + \left| H_{\Phi , \varepsilon} (s) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} \right|\right) \ \leqslant \max_{\tau \in [ s, s + \delta ]} \left| C_{\Phi , \varepsilon} (\tau , s) \right| + \sup_{E \in \mathrm{Spec} (H)} \left| \frac{E}{E - \xi} \right|. \end{array}

换言之，我们刚刚证明了

\begin{array}{c} | \cdot | {p} - \lim{\delta \to 0} \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t , s + \delta) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} A U_{\Phi , \varepsilon} (s + \delta , t) = \ = \mathrm{i} U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) H_{\Phi , \varepsilon} (s) A U_{\Phi , \varepsilon} (s, t) \end{array}

和

| \cdot | {p} - \lim{\delta \to 0} \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t , s + \delta) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} A^{} = \mathrm{i} U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) H_{\Phi , \varepsilon} (s) A^{}

将最后两个极限与方程 (5.2.26) 结合，并利用对合映射 $B \mapsto B^{*}$ 是 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中的等距这一事实，即得 (5.2.24)。

(3) 将乘积重写为

H_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} = M_{\Phi , \varepsilon} (t, s) + \xi U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi},

从而引入 (5.2.15) 中的有界算子 $M_{\Phi , \varepsilon} ( t , s ) \in \mathcal{A}$ 和另一个显然是 $\mathcal{A}$ 中元素的算子，这意味着左边也在 $\mathcal{A}$ 中。由 (1) 我们甚至知道 $\left( H_{\Phi , \varepsilon} ( s ) - \xi \right) A$ 实际上是 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中的元素，引理 3.3.7 让我们得出结论

\begin{array}{c} \left(H_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \frac{1}{H (s) - \xi}\right) \left(\left(H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi\right) A\right) = \ = H_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) A \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathscr{A}) \end{array}\tag{5.2.28}

实际上也在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中。再次利用 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 的右 ${\mathcal{A}}$-模结构的结合性（引理 3.3.7），立即得到

H_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A) = \left(H_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) A\right) U_{\Phi , \varepsilon} (s, t) \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathscr{A}).

当 A 替换为 $A^{*}$ 时同样结论成立。证明的最后部分通过考虑差商

\begin{array}{c} \frac{\alpha_{(t + \delta , s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A) - \alpha_{(t , s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A)}{\delta} = \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t + \delta , s) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} A U_{\Phi , \varepsilon} (s, t + \delta) + \ + U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \left(\frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t + \delta , s) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} A^{}\right) ^{}. \end{array}\tag{5.2.29}

来完成。我们调整证明 (2) 时的论证，得出结论

\begin{array}{l} | \cdot | {p} - \lim{\delta \to 0} \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t + \delta , s) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} A U_{\Phi , \varepsilon} (s, t + \delta) = \ \qquad = - \mathrm{i} \left(H_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) A\right) U_{\Phi , \varepsilon} (s, t) \ \qquad = - \mathrm{i} H_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A) \end{array}

以及类似地

| \cdot | {p} - \lim{\delta \rightarrow 0} \frac{U_{\Phi , \varepsilon} (t + \delta , s) - U_{\Phi , \varepsilon} (t , s)}{\delta} A^{} = - \mathrm{i} H_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) A^{}

用于第二项。将这些结果代入 (5.2.29) 得到

\mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A) = H_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A) - U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \left(H_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) A^{}\right) ^{}.

证明的最后一步是观察到

\begin{array}{c} U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \left(H_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) A^{}\right) ^{} = \Big (\left(H_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) A^{}\right) U_{\Phi , \varepsilon} (s, t) \Big) ^{} \ = \left(H_{\Phi , \varepsilon} (t) \alpha_{(t, s)} ^{\Phi , \varepsilon} (A^{})\right) ^{} \end{array}

其中第一个等式由 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s ) A^{*}$ 在 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中这一事实保证，而第二个等式由 $\mathcal{\Sigma} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 的右 -模结构的结合性（引理 3.3.7）推出。证明完毕。

(1) 由在 SOT 下 $\lim_{t - \infty} G_{\Phi , \varepsilon} ( t ) = \mathbb{1}$ 以及引理 3.2.14 推出。

(2) 这仅依赖于以下观察：$G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 是一个关于 Φ 在 SOT 下连续的 d-参数酉算子群。于是命题 3.2.16 表明，对固定 t，相互作用演化 $\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon}$ 在每个 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上关于 Φ 强连续。因此，该断言只是 $s \mathrm{-} \mathrm{l i m} _{\Phi 0} G_{\Phi , \varepsilon} ( t ) = \mathbb{1}$ 的推论。

(3) 我们首先证明 (5.2.32) 中的第二个等式。考虑 R-流 $\eta_{s} ^{X_{j}} ( A ) : = \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s X_{j}} A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s X_{j}}$，它定义了导数 $\partial_{X_{j}}$。由于对所有 $( t , s ) \in \mathbb{R} ^{2}$ 有 $\eta_{s} ^{X_{j}} \circ \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \circ \eta_{s} ^{X_{j}}$，我们得出结论：对所有 $j = 1 , \dotsc , d$，$\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} ( A ) \in{\mathfrak{D}} _{X_{j} , p}$ 当且仅当 $A \in \mathfrak{D} _{X_{j} , p}$。因此，对所有 $t \in \mathbb R$，$\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} : \mathfrak{V} ^{1 , p} ( \mathcal{A} ) \longrightarrow \mathfrak{V} ^{1 , p} ( \mathcal{A} )$ 是良定义的，且 $\partial_{X_{i}} \left( \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} ( A ) \right) = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \left( \partial_{X_{i}} ( A ) \right)$。至此，(5.2.32) 中的第二个等式由线性性得到。对于第一个等式，注意到 $( \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} ) ^{- 1} ( A ) = G_{\Phi , \varepsilon} ( t ) ^{*} A G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$，因此

\gamma_{t + \delta} ^{\Phi , \varepsilon} (A) - \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} (A) = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \left(\left(\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon}\right) ^{- 1} \circ \gamma_{t + \delta} ^{\Phi , \varepsilon} (A) - A\right).

但由于 $\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon}$ 是 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 中的等距，只需证明

| \cdot | {p} - \lim{\delta \rightarrow 0} \frac{\left(\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon}\right) ^{- 1} \circ \gamma_{t + \delta} ^{\Phi , \varepsilon} (A) - A}{\delta} = \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \left(\sum_{j = 1} ^{d} \Phi_{j} s_{\varepsilon} (t) f_{j} (\varepsilon t) \partial_{X_{j}} (A)\right).

映射 $\left( \gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} \right) ^{- 1} \circ \gamma_{t + \delta} ^{\Phi , \varepsilon}$ 通过与酉算子

\widetilde{G} {\Phi , \varepsilon , \delta} (t) := \prod{j = 1} ^{d} \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} \Phi_{j} \left(\int_{t} ^{t + \delta} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{j} (\tau)\right) X_{j}}.

共轭作用于 A。显然，该算子在 SOT 下连续依赖于 δ，且在极限 $\widetilde{G} _{\Phi , \varepsilon , \delta = 0} ( t ) = \mathbb{1}$ 下退化为恒等。因此两个导数

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \delta} \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \Phi_{j} \left(\int_{t} ^{t + \delta} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{j} (\tau)\right) X_{j}} \psi = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \delta} \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \delta \Phi_{j} s_{\varepsilon} (t) f_{j} (t) X_{j}} \psi

对所有 $\psi \in{\mathcal{D}} _{\mathrm{c}}$ 一致。因此，我们可以调用引理 3.2.14，并且由于可观测量 $A \in \mathfrak{W} ^{1 , p} ( \mathcal{A} )$ 处于适当的 Sobolev 空间中，我们可以在

\begin{array}{l} | \cdot | {p} - \lim{\delta \to 0} \frac{\mathrm{e} ^{\mathrm{i} \Phi_{j} \left(\int_{t} ^{t + \delta} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f (\tau)\right) X_{j}} A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \Phi_{j} \left(\int_{t} ^{t + \delta} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) f_{j} (\tau)\right) X_{j}} - A}{\delta} \ = | \cdot | {p} - \lim{\delta \to 0} \frac{\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} \delta \Phi_{j} s_{\varepsilon} (t) f_{j} (t) X_{j}} A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \delta \Phi_{j} s_{\varepsilon} (t) f_{j} (t) X_{j}} - A}{\delta} \ = \Phi_{j} s_{\varepsilon} (t) f_{j} (t) \partial_{j} (A), \end{array}

中用 $\mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \delta \Phi_{j} s_{\varepsilon} ( t ) f_{j} ( t ) X_{j}}$ 替换更复杂的指数，并获得自同构导数的显式表达式。由于 $X_{j}$ 彼此交换，沿任意方向的导数可以分量方式计算。

根据假设，$A \in \mathfrak{L e f t} _{H} ^{p}$ 意味着定义域

\mathcal{D} (H^{\circ} \cdot A) = \left{\psi \in \mathcal{H} \mid A \psi \in \mathcal{D} (H) \right} \subseteq \mathcal{H}

是 -稠密的，$H A \in{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} )$，因此对所有 $t \in \mathbb R$ 有 $\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon} ( H A ) \in{\mathcal{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} )$。此外，等式 (5.2.33) 在定义域 $G_{\Phi , \varepsilon} ^{*} ( t ) \big [ \mathcal{D} ( H^{\cdot} A ) \big ]$ 上成立，该定义域仍是 ${\mathcal{T}}$-稠密的，因此作为命题 3.2.5 的推论，它在 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上成立。

（证明概要）Duhamel 公式是恒等式

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} U_{0} (s - \tau) U (\tau , s) \psi = \mathrm{i} U_{0} (s - \tau) H U (\tau , s) \psi - \mathrm{i} U_{0} (s - \tau) H (\tau) U (\tau , s) \psi

的推论，该恒等式由 (5.2.14) 推出，且对所有 $\psi \in{\mathcal{D}} ( A )$ 有效。对两边在 s 和 t 之间积分得到

U_{0} (s - t) U (t, s) \psi - \psi = \mathrm{i} \int_{s} ^{t} \mathrm{d} \tau U_{0} (s - \tau) (H - H (\tau)) U (\tau , s) \psi ,

公式 (5.3.1a) 只需两边乘以 $U_{0} ( t - s )$ 即可得到。公式 (5.3.1b) 可用类似方法从

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} U (s, \tau) U_{0} (\tau - s) \psi = \mathrm{i} U (s, \tau) H (\tau) U_{0} (\tau - s) \psi - \mathrm{i} U (s, \tau) H U_{0} (\tau - s) \psi .

出发证明。当 $H - H ( t )$ 是有界算子时，(5.3.1a) 和 (5.3.1b) 是在稠密定义域上成立的有界算子之间的等式，因此可通过连续性延拓到整个 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$。

注意 (5.3.2) 右边的传播子 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$ 由构造保持定义域 $\mathcal{D} ( H )$ 不变，且 $W_{\Phi , \varepsilon} ( \tau )$ 对所有 $\tau$ 在 (H) 上有良好定义。(5.3.2) 左边的范数可估计如下

\begin{array}{l}\left| \big(U_{\Phi ,\varepsilon}(t,s) - U_{0}(t - s)\big)\psi \right| \leqslant (t - s)\sup_{\min {s,t} \leqslant \tau \leqslant \max {s,t}}\Big| W_{\Phi ,\varepsilon}(\tau)U_{0}(\tau -s)\psi \Big| \ \ \leqslant (t - s)\sum_{\substack{\kappa \in \mathbb{N}{0}^{d}\ 1\leqslant |\kappa |\leqslant N}}\frac{1}{|\kappa|!}\left(\prod{j = 1}^{d}| \Phi_{j}|^{\kappa_{j}}\right)C_{\kappa}K_{\kappa}^{\psi} \end{array}

其中量

\begin{array}{l} C_{\kappa} := C_{\kappa} (t, s) = \prod_{j = 1} ^{d} \left(\int_{- \infty} ^{\max {s, t }} \mathrm{d} \tau s_{\varepsilon} (\tau) | f_{j} (\tau) |\right) ^{\kappa_{j}} \ K_{\kappa} ^{\psi} := K_{\kappa} ^{\psi} (t, s) \sup_{\min {s, t } \leqslant \tau \leqslant \max {s, t }} \left| J_{\kappa} U_{0} (\tau - s) \psi \right| \end{array}

是良定义的且与 Φ 的分量无关。这证明

\lim_{\Phi \rightarrow 0} \left|\left(U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) - U_{0} (t - s)\right) \psi \right| = 0, \quad \forall \psi \in \mathscr{D} (H),

结果由 $\mathcal{D} ( H )$ 的稠密性推出。

不等式 (5.2.22) 表明 $\| C_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \|$ 是场 Φ 的连续函数，且 $\begin{array} {r} {\operatorname* {l i m} _{\Phi \to 0} \Vert C_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \Vert = 0} \end{array}$（注意由构造 $h_{i} ^{\Phi} ( t ) \to 0$ 当 $\Phi 0$）。这意味着不等式 (5.2.16) 的左边也是场 Φ 的连续函数，当 $\Phi 0$ 时极限为 1。因此，通过连续性和紧性，在球 $\Phi \leqslant 1$ 内的场值下，范数 $\left\| M_{\Phi , \varepsilon} ( t , s ) \right\|$ 可由一个与 Φ 无关的常数界定。为证明极限，我们先注意到

s - \lim_{\Phi \to 0} U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} = U_{0} (t - s) \frac{1}{H - \xi} = \frac{1}{H - \xi} U_{0} (t - s).\tag{5.3.3}

这由 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$ 在 SOT 下收敛到 $U_{0} ( t - s )$（推论 5.3.2）以及 $\big ( H_{\Phi , \varepsilon} ( s ) - \xi \big ) ^{- 1}$ 在 SOT 下收敛到 $( H - \xi ) ^{- 1}$（因为 $s \mathrm{-} \mathrm{l i m} _{\Phi 0} G_{\Phi , \varepsilon} ( t ) = \mathbb{1}$）推出。交换强极限与乘积的顺序之所以可能，是因为两个序列一致有界。第二个等式只是自由传播子 $U_{0} ( t - s )$ 与 H 可交换性的推论。利用分解 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) = H + W_{\Phi , \varepsilon} ( t )$，我们可以将差值

\begin{array}{c} M_{\Phi , \varepsilon} (t, s) - U_{0} (t - s) = (H - \xi) \Delta U_{\Phi , \varepsilon , \xi} (t, s) + W_{\Phi , \varepsilon} (t) \Delta U_{\Phi , \varepsilon , \xi} (t, s) + \ + W_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{0} (t - s) \frac{1}{H - \xi} \end{array}\tag{5.3.4}

分为三项，其中

\Delta U_{\Phi , \varepsilon , \xi} (t, s) = U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} - U_{0} (t - s) \frac{1}{H - \xi}.

注意由于预解式的存在，这三项中的每一项都在 $\mathcal{H}$ 上整体定义，因此是有界的。取任意 $\psi \in \mathcal H$。注意到

\lim_{\Phi \to 0} (H - \xi) \Delta U_{\Phi , \varepsilon , \xi} (t, s) \psi = (H - \xi) \psi^{\Phi} (t, s) = 0

因为 H 是闭算子且

\psi^{\Phi} (t, s) := \left(U_{\Phi , \varepsilon} (t, s) \frac{1}{H_{\Phi , \varepsilon} (s) - \xi} - U_{0} (t - s) \frac{1}{H - \xi}\right) \psi

由于 (5.3.3) 而收敛到 0。另一方面

\lim_{\Phi \to 0} W_{\Phi , \varepsilon} (t) U_{0} (t - s) \frac{1}{H - \xi} \psi = W_{\Phi , \varepsilon} (t) \widetilde{\psi} (t - s) = 0

因为 $W_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 线性依赖于 Φ 的分量，且

\widetilde{\psi} (t - s) := U_{0} (t - s) \frac{1}{H - \xi} \psi

在 $W_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的定义域中。因此，结合这两个论证，我们可以得出结论 $\begin{array} {r} {\operatorname* {l i m} _{\Phi \to 0} W_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \Delta U_{\Phi , \varepsilon , \xi} ( t , s ) \psi = 0} \end{array}$。因此，(5.3.4) 右边的每一项都消失，证明了断言。