我们在第2章和第3章中详述的框架仍然相当抽象，因此我们将花几页篇幅讨论一个更具体的框架，该框架直接适用于文献中处理的最常见例子。这包括有磁场和无磁场的量子系统，包括离散和连续情形，周期性的或随机的。在第7章中，我们将预告一个新的应用，即随机Maxwell算子，其中Hilbert结构由随机权重定义。
4.1 与遍历拓扑动力系统关联的von Neumann代数#
第一个成分是一个遍历拓扑动力系统（ergodic topological dynamical system） Ω, G, τ, P ，由一个交换群G通过作用τ作用于概率空间(Ω, P)上构成。
一个遍历拓扑动力系统是一个四元组$( \Omega , \mathbb{G} , \tau , \mathbb{P} )$，由以下组成：
(a) 一个可分的、可度量的、局部紧交换群$\mathbb{G}$，
(b) 一个标准概率空间$( \Omega , {\mathcal{F}} , \mathbb{P} )$，其中Ω是紧可度量（因而可分）空间，$\mathcal{F}$是Borel σ-代数，P是满足$\mathbb{P} ( \Omega ) = 1$的Borel测度，且
(c) 一个表示$\tau : \mathbb{G} \to$ Homeo(Ω)，通过Ω的同胚实现群G。
这些结构通过以下假设相互关联：
(i) 群作用$\tau : \mathbb{G} \times \Omega \to \Omega$由$( g , \omega ) \mapsto \tau_{g} ( \omega )$给出，是联合连续的。
(ii) 测度P是τ-不变的，即对所有$g \in \mathbb{G}$和$\mathsf{B} \in \mathcal{F}$有$\mathbb{P} ( \tau_{g} ( \mathsf{B} ) ) = \mathbb{P} ( \mathsf{B} )$。
(iii) 测度是遍历的，即如果$\mathsf{B} \in \mathcal{F}$满足对所有$g \in \mathbb{G}$有$\tau_{g} ( {\mathsf{B}} ) = {\mathsf{B}}$，则$\mathbb{P} ( {\mathsf{B}} ) = 1$或$\mathbb{P} ( {\mathsf{B}} ) = 0$。
从物理角度来说，概率空间$( \Omega , \mathbb{P} )$描述了物理系统以何种方式依赖于随机变量$\omega \in \Omega$，以及不同构型如何分布。群$\mathbb{G}$既是构型空间，也是一个作用于概率空间的平移群，以及相关的向量空间
$$ \mathcal{H} _{*} := L^{2} (\mathbb{G}) \otimes \mathbb{C} ^{N}. $$此处，$L^{2} ( \mathbb G )$和其他$L^{P} ( \mathbb{G} )$空间是根据（在尺度因子意义下唯一的）Haar测度$\mu_{\mathbb{G}}$定义的，我们添加了$\mathbb{C} ^{N}$以考虑例如自旋类型的自由度。在施加于$\mathbb{G}$和$( \Omega , \mathbb{P} )$的条件下，$L^{2} ( \mathbb G )$和$L^{2} ( \Omega )$（根据P定义）都是可分的[de 93, Theoreme 3-4]。最常见的例子是$\mathbb{G} = \mathbb{R} ^{d} , \mathbb{Z} ^{d} , \mathbb{T} ^{d}$，尽管这一方法也可以适应更一般的情况，例如$\mathbb{G}$被一个描述准晶的群胚替换[LS03; LPV07]。
4.1.1 G的投影表示#
影响具体物理设置的另一个选择是我们在$\mathcal{H} _{*}$上选择的G的表示类型。例如，对于非磁性量子系统，平移的生成元彼此交换，因此选择G的标准表示$\varphi ( h ) \mapsto \varphi \left( h g^{- 1} \right)$是合适的。按照惯例，我们用乘法表示群律。
然而，对于许多有趣的应用，我们必须改为选择一个投影表示（projective representation）
$$ (S_{g} \varphi) (h) := \Theta (g, h g^{- 1}) \varphi (h g^{- 1})\tag{4.1.1} $$现在其中包含一个额外的乘法因子$\Theta \big ( g , h g^{- 1} \big ) \in \mathbb{U} ( 1 )$。换句话说，两个平移的乘积
$$ S_{g_{1}} S_{g_{2}} = \Theta (g_{1}, g_{2}) S_{g_{1} g_{2}} $$表示为相位因子乘以平移。这个相位因子可以看作是指数上i乘以横向规范中的磁环量$\int_{[ x , x - y ]} A$的抽象版本；我们将在第7.2.1节讨论磁性量子系统时明确这一联系。
受磁性系统以及扭曲交叉积[EL69; Pac89; MPR05; BC09]的启发，用上同调理论的语言来表述讨论是自然的。
一个扭曲群2-上循环（twisting group 2-cocycle）是一个映射$\Theta$：$\mathbb{G} \times \mathbb{G} \longrightarrow \mathbb{U} ( 1 )$，满足以下条件：
(i) 设$e \in \mathbb{G}$为单位元，则对所有$g \in \mathbb{G}$有$\Theta ( e , g ) = 1 = \Theta ( g , e )$（恒等性质）。
(ii) 对所有$g , g_{1} , g_{2} , g_{3} \in \mathbb{G}$有$\Theta ( g_{1} , g_{2} ) \Theta ( g_{1} g_{2} , g_{3} ) = \Theta ( g_{2} , g_{3} ) \Theta ( g_{1} , g_{2} g_{3} )$（上循环性质）。
(iii) 对所有$g \in \mathbb{G}$有$\Theta ( g^{- 1} , g ) = 1$（规范化性质）。
注意，规范化性质严格来说并非必要，尽管它确实简化了许多后续方程。逆的以下公式
$$ \Theta (g_{1}, g_{2}) ^{- 1} = \Theta (g_{1} g_{2}, g_{2} ^{- 1}) = \Theta (g_{1} ^{- 1}, g_{1} g_{2}) $$在计算中非常有用。
原则上，我们可以改进论证以包含广义投影表示，其中Θ取值于某个交换Polish群而不仅仅是U(1)。在这种表述中，上循环性质蕴涵$\Theta = \delta^{1} ( \Lambda )$是某个1-上链的边界，并且某些方面（如"规范变换"）有自然的解释。但为简洁起见，我们不进行这一尝试；在$C^{*}$-代数语境中有一个非常优雅的阐述，见[MPR05, Section 2.3]。
4.1.2 随机加权Hilbert空间#
与大多数文献相比，一个复杂之处在于当我们想要处理随机Maxwell算子$M_{\omega} = W_{\omega} ^{- 1} D$时，即标量积
$$ \langle \phi , \psi \rangle_{\omega} := \left\langle \phi , W_{\omega} \psi \right\rangle_{\mathscr{H} _{*}}\tag{4.1.2} $$包含随机权重$\omega \mapsto W_{\omega}$。我们始终施加以下条件：
一个权重场（field of weights）是一个映射$\Omega \ni \omega \mapsto W_{\omega} \in$ $L^{\infty} ( \mathbb{G} ) \otimes \mathrm{M a t} _{\mathbb{C}} ( N ) ^{1}$，满足
(i) 存在矩阵值可测函数w：$\Omega \to \mathbf{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$，使得对$\mu_{\mathbb{G}}$−几乎所有$g \in \mathbb{G}$和P-几乎所有$\omega \in \Omega$有$W_{\omega} ( g ) : =$ w$\left( \tau_{g^{- 1}} ( \omega ) \right)$，且
(ii) 对所有$\omega \in \Omega$，$W_{\omega}$是von Neumann代数$L^{\infty} ( \mathbb{G} ) \otimes$ Mat$_{\mathbb{C}} ( N )$中的正可逆元。
第一个条件表明矩阵值函数满足协变关系
$$ W_{\omega} \big (h g^{- 1} \big) = W_{\tau_{g} (\omega)} (h),\tag{4.1.3} $$这对几乎所有$g , h \in \mathbb{G}$和$\omega \in \Omega$成立。有时条件(i)被更强的要求替换：$\omega \mapsto W_{\omega}$是连续的，其中$L^{\infty} ( \Omega ) \otimes \mathrm{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$（视为$L^{1} ( \Omega ) \otimes \mathrm{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$的对偶）被赋予∗-弱拓扑。
条件(ii)蕴涵$W_{\omega}$及其逆$W_{\omega} ^{- 1}$与0和$\infty$有界，因此范数$\left\| \psi \right\| _{\omega} : = \langle \bar{\psi} , \psi \rangle_{\omega} ^{1 / 2}$等价于$\lVert \cdot \rVert_{\mathcal{H} _{*}}$范数。因此，我们定义
$$ \mathcal{H} _{\omega} := L_{W_{\omega}} ^{2} (\mathbb{G}, \mathbb{C} ^{N}) $$为Banach空间$\mathcal{H} _{*}$赋予ω依赖的标量积(4.1.2)。如果我们选择G在$\mathcal{H} _{*}$上的表示为(4.1.1)，则可以将(4.1.3)重写为$S_{g} W_{\omega} S_{g} ^{- 1} = W_{\tau_{g} ( \omega )}$。当然，这里关键的是2-上循环可以视为$\mathbb{U} ( 1 )$值的乘法算子，因此与所有权重$W_{\omega}$交换。得益于协变条件，算子$S_{g}$定义了一个由$\omega \in \Omega$索引的幺正算子族
$$ U_{g, \tau_{g} (\omega)}: \mathcal{H} _{\omega} \longrightarrow \mathcal{H} _{\tau_{g} (\omega)}, \psi_{\omega} \mapsto S_{g} \psi_{\omega},\tag{4.1.4} $$但注意，一般来说，如果视$S_{g}$为从$\mathcal{H} _{\omega}$到自身的映射，则它并不酉作用。
4.1.3 Hilbert空间的直积分#
我们现在将展示这些$\mathcal{H} _{\omega}$如何以Hilbert空间直积分的形式"粘合在一起"
$$ \mathcal{H} := \int_{\Omega} ^{\oplus} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \mathcal{H} _{\omega}, $$这可以看作是张量积空间$L^{2} ( \Omega ) \otimes \mathcal{H} _{*}$的推广。我们概述两个相关关键思想，即可测性（measurability）和协变性（covariance）的概念；有兴趣的读者可以在[Dix81, Part II, Chapters 1–5]中找到详细说明。为了确定Hilbert空间场
$$ \mathcal{F} := \prod_{\omega \in \Omega} \mathcal{H} _{\omega}, $$的可测向量场的子集，需要选取一个基本的基向量序列。在我们的情形中，所有$\mathcal{H} _{\omega}$彼此同构，因此可测性问题本身是平凡的[Dix81, p. 167, Proposition 3]。然而，先验不清楚的是可测结构是否与协变关系(4.1.3)兼容，因为后者在"纤维空间"$\mathcal{H} _{\omega}$和${\mathcal{H}} _{\tau_{g} ( \omega )}$之间引入了一种关系。$\mathcal{F}$的元素仅仅是映射$\widehat{\varphi} : \omega \mapsto \varphi_{\omega} \in \mathcal{H} _{\omega}$；尽管我们也将写作$\boldsymbol{\widehat{\varphi}} = \{\varphi_{\omega} \} _{\omega \in \Omega}$。现在我们选取$\mathcal{H} _{*}$的任意基$\{\eta_{\alpha} \} _{\alpha \in \mathcal{S}}$，其中${\mathcal{S}} \subseteq \mathbb{N}$是有限的或可数无穷的（取决于$\mathbb{G}$是否有限），并根据固定的基$\eta_{\alpha}$定义$\widehat{\varphi} _{\alpha} : = \left\{\varphi_{\alpha , \omega} \right\} _{\omega \in \Omega} , \varphi_{\alpha , \omega} : = \eta_{\alpha}$。注意这些向量实际上与ω无关，并且仍然构成$\mathcal{H} _{\omega}$的一组基，因为后者作为向量空间与$\mathcal{H} _{*}$一致。根据[Dix81, p. 167, Proposition 4]，对所有指标$\alpha , \beta \in \mathcal{S}$，
$$ \omega \mapsto \left\langle \varphi_{\alpha , \omega}, \varphi_{\beta , \omega} \right\rangle_{\omega} = \left\langle \eta_{\alpha}, W_{\omega} \eta_{\beta} \right\rangle_{\mathcal{H} _{*}} $$的可测性足以唯一确定一个可测结构。但上述表达式的可测性是我们对$W_{\omega}$的可测性假设（定义4.1.3）和Fubini定理的直接推论。可测向量的集合现在构成了$\mathcal{F}$的一个子空间，它恰好由那些向量$\widehat{\psi} = \{\psi_{\omega} \} _{\omega \in \Omega}$组成，使得对所有$\alpha \in \mathcal{S}$，$\omega \mapsto \langle \varphi_{\alpha , \omega} , \psi_{\omega} \rangle_{\omega}$是可测的。
我们对基本基向量序列的特定选择也与协变关系兼容，后者转化为(4.1.4)。为此，我们设$\widehat{U} _{g} : = \{U_{g , \tau_{g} ( \omega )} \} _{\omega \in \Omega}$为来自方程(4.1.4)的幺正算子的集合。给定一个可测向量场$\widehat{\psi}$，$\widehat{U} _{g}$作用于它按照
$$ \left(\widehat{U} _{g} \widehat{\psi}\right) _{\tau_{g} (\omega)} (h) = \Theta (g, h g^{- 1}) \psi_{\omega} \left(h g^{- 1}\right) \in \mathcal{H} _{\tau_{g} (\omega)} $$从这个公式可以推断，$\widehat{U} _{g} \widehat{\varphi} _{\alpha}$的集合也由可测向量场组成，这些向量场张成$\mathcal{H} _{\omega}$，因此它们给出了一个等价的基本基向量序列。
为了得到Hilbert空间的直积分，我们只需将几乎处处（关于P）相等的可测向量场等同，并要求它们的范数
$$ \left\| \widehat{\psi} \right\| _{\widehat{\mathcal{H}}} := \sqrt{\int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \left\| \psi_{\omega} \right\| _{\omega} ^{2}} < \infty $$有限。赋予标量积
$$ \left\langle \widehat{\varphi}, \widehat{\psi} \right\rangle_{\widehat{\mathcal{H}}} := \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \left\langle \varphi_{\omega}, \psi_{\omega} \right\rangle_{\omega}, $$我们用
$$ \widehat{\mathcal{H}} := \int_{\Omega} ^{\oplus} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \mathcal{H} _{\omega}. $$表示最终的Hilbert空间，即直积分。直接验证可知算子$\widehat{U} _{g}$是等距且可逆的，因此关于${\widehat{\mathcal{H}}}$的Hilbert结构是幺正的，这在很大程度上归功于测度$\mathbb{P}$的不变性。如果权重场是常数，例如对所有$\omega$有$W_{\omega} = \mathbb{1} _{\mathcal{H} _{\ast}}$，则我们刚构造的直积分可以典范地等同于$L^{2} ( \Omega ) \otimes \mathcal{H} _{*}$ [Dix81, p. 174, Proposition 11]。即使权重场是非平凡的，两个Hilbert空间$\widehat{\mathcal{H}} \simeq L^{2} ( \Omega ) \otimes \mathcal{H} _{*}$仍然同构，尽管不再是典范同构。
4.1.4 协变随机算子的代数#
相关的von Neumann代数是$\mathcal{B} ( \widehat{\mathcal{H}} )$的一个由协变算子组成的子代数。我们这里的讨论与$\mathcal{\widehat H}$的构造相呼应，首先需要处理可测性问题，然后第二步处理协变性。
让我们从随机算子（random operator）的概念开始：这是一个有界算子值的映射$\omega \mapsto A_{\omega} \in \mathcal{B} ( \mathcal{H} _{\omega} )$，统称为$\widehat{A} = \{A_{\omega} \} _{\omega \in \Omega}$，使得
(i) 对所有$\alpha , \beta \in{\mathcal{S}}$，$\omega \mapsto \langle \eta_{\alpha} , A_{\omega} \eta_{\beta} \rangle_{\omega}$是可测的，其中$\eta_{\alpha}$是确定了可测向量场集的与ω无关的基向量；
(ii) 该族是本质有界的：$\operatorname{ess} \mathsf{s u p} _{\omega \in \Omega} \mathopen{} \mathclose \bgroup \left\| A_{\omega} \aftergroup \egroup \right\| _{\omega} < \infty$。
它们作用于$\widehat{\varphi} \in \widehat{\mathcal{H}}$为$\left( \widehat{A} \mathrm{~} \widehat{\varphi} \right) _{\omega} : = A_{\omega} \varphi_{\omega}$。显然，如果$A_{\omega} = B_{\omega}$对P-几乎所有ω成立，我们需要将$\widehat{A}$和$\widehat{B}$等同。我们将此类算子称为随机（random）或可分解有界算子（decomposable bounded operators），并将它们构成的集合记为Rand$( \widehat{\mathcal{H}} ) \subseteq \mathcal{B} ( \widehat{\mathcal{H}} )$。$\widehat{A} \in \mathrm{R a n d} ( \widehat{\mathcal{H}} )$的$\mathcal{B} ( \widehat{\mathcal{H}} )$-范数等于其本质确界[Dix81, Part II, Chapter 2, Proposition 2]：
$$ \left\| \widehat{A} \right\| := \operatorname{ess} \sup_{\omega \in \Omega} \left\| A_{\omega} \right\| _{\omega}. $$$\operatorname{R a n d} ( {\widehat{\mathcal{H}}} )$的一个重要子代数是通过等同$f \mapsto$ $\{f ( \omega ) \mathbb{1} _{\mathcal{H} _{\omega}} \} _{\omega \in \Omega}$得到的$L^{\infty} ( \Omega )$本身；通常被称为对角可分解算子（diagonal decomposable operators）。显然，$L^{\infty} ( \Omega ) \subset \mathrm{R a n d} ( \widehat{\mathcal{H}} )$是一个交换von Neumann代数，并且可以直截了当地证明$L^{\infty} ( \Omega ) ^{\prime} = \operatorname{R a n d} ( \widehat{\mathcal{H}} )$ [Dix81, p. 188, Corollary]。这就完成了可测性问题。
现在讨论协变性：这是用$\widehat{\mathcal{H}}$上的投影G-表示来表述的：给定$g \in \mathbb{G}$，我们通过(4.1.4)定义算子$\widehat{U} _{g} : = \left\{U_{g , \tau_{g} ( \omega )} \right\} _{\omega \in \Omega}$。
显然，这样的算子不能是Rand$( \widehat{\mathcal{H}} )$中的元素（除非$g = e$是G的单位元），因为$U_{g , \tau_{g} ( \omega )} : \mathcal{H} _{\omega} \longrightarrow \mathcal{H} _{\tau_{g} ( \omega )}$在不同Hilbert空间之间映射。尽管如此，我们容易验证$\widehat{U} _{g} ^{- 1} = \widehat{U} _{g} ^{*} = \widehat{U} _{g^{- 1}}$和$\widehat{U} _{e} = \mathbb{1} _{\widehat{\mathcal{H}}}$，因此$g \mapsto \widehat{U} _{g}$确实构成了G的投影幺正表示。协变算子现在是$\widehat{\mathcal{H}}$上那些与所有$\widehat{U} _{g}$可交换的可分解算子。
随机协变算子的集合
$$ \mathscr{A} (\Omega , \mathbb{P}, \mathbb{G}, \Theta) := \operatorname{Span} _{\mathbb{G}} \left\{\widehat{U} _{g} \right\} ^{\prime} \cap \operatorname{Rand} (\widehat{\mathscr{H}}) $$由那些关于投影幺正表示$\mathbb{G} \ni g \longmapsto \widehat{U} _{g} \in \mathcal{B} ( \widehat{\mathcal{H}} )$是协变的可分解算子组成，即满足
$$ U_{g, \tau_{g} (\omega)} A_{\omega} U_{g, \tau_{g} (\omega)} ^{- 1} = A_{\tau_{g} (\omega)}\tag{4.1.5} $$对所有$g \in \mathbb{G}$和P-几乎所有$\omega \in \Omega$成立。
证明 Rand$( \widehat{\mathcal{H}} ) = L^{\infty} ( \Omega ) ^{\prime}$和$\mathrm{S p a n} _{\mathbb{G}} \{\widehat{U} _{g} \} ^{\prime}$都是von Neumann代数，因为它们是$\mathcal{B} ( \widehat{\mathcal{H}} )$的∗-子代数的交换子。于是$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$是两个von Neumann代数的交集，因此其本身是一个von Neumann代数[Dix81, Part $^{\mathrm{I ,}}$ Chapter 1, Section 1, Proposition 1]。□
协变随机算子的一个重要例子是权重场$\widehat{W} : = \{W_{\omega} \} _{\omega \in \Omega} \in \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$，它首先定义了$\widehat{\mathcal{H}}$，以及其逆$\widehat{W} ^{- 1}$。第二个值得注意的例子是随机势$\widehat{V}$，即由满足可测性和协变条件的$\omega \mapsto V_{\omega} \in L^{\infty} ( \mathbb{G} ) \otimes \mathrm{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$组成的算子。最后一个重要的例子是与$\mathcal{H} _{*}$上满足对所有$g \in \mathbb{G}$有$S_{g} H S_{g} ^{*} = H$的自伴算子关联的常数场$\widehat{H} : = \{H \} _{\omega \in \Omega}$。由于权重$W_{\omega}$的存在，算子H在加权Hilbert空间$\mathcal{H} _{\omega}$上不再是自伴的，尽管其定义域$\mathcal{D} ( H ) \subseteq \mathcal{H} _{\omega}$仍然是稠密的。如果H（因此$\widehat{H}$）是有界的，则$\widehat{H}$是$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$的元素。即使H是无界的，$\widehat{H}$仍然与所有$\widehat{U} _{g}$以及对角算子（在$L^{\infty} ( \Omega ) \subseteq \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$中）可交换。因此，$\widehat{H}$在任何情况下都隶属于$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$。
在$\mathcal{H} _{\omega}$的定义中包含权重的原因是为了建立形如
$$ \widehat{H} _{W, V} := \widehat{W} ^{- 1} \widehat{H} + \widehat{V}\tag{4.1.6} $$算子的隶属原理（参见定义3.1.3），其中$\widehat{W} ^{- 1} \in \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$是权重场的逆，$\widehat{V} \in \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$是随机势，而$\widehat{H} : = \{H \} _{\omega \in \Omega}$是如上所述的常数场。因此，这涵盖了随机Schrodinger算子${\widehat{H}} + {\widehat{V}}$和随机Maxwell算子$\widehat{W} ^{- 1} \widehat{H}$，其中分别有$\widehat{W} = \mathbb{1} _{\widehat{\mathcal{H}}}$和$\widehat V = 0$。
证明 由于$\widehat{H}$隶属于$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$且$\widehat{W}$是$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$中的有界可逆元，可知乘积$\widehat{W} ^{- 1} \widehat{H}$是稠定且可闭的，因此定义了一个隶属于$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$的闭稠定算子，即$\widehat{W} ^{- 1} \widehat{H} \in \operatorname{A f f} \big ( \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta ) \big )$。在纤维上直接验证可知$W_{\omega} ^{- 1} H$是$\mathcal{H} _{\omega}$中的自伴元，因此$\widehat{W} ^{- 1} \widehat{H}$在直积分$\widehat{\mathcal{H}}$上是自伴的。对易关系$[ \widehat{W} , \widehat{V} ] = 0$确保$\widehat{V}$是$\operatorname{A f f} \big ( \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta ) \big )$中H-有界的自伴元1。则和$\widehat{W} ^{- 1} \widehat{H} + \widehat{V}$显然隶属于$\operatorname{A f f} \big ( \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta ) \big )$。要证明它是自伴的（因此稠定且闭的），只需在纤维上应用Kato-Rellich定理。□
最后让我们提及另一个有趣的子代数：对任何$f \in C_{\mathrm{c}} ( \Omega \times \mathbb{G} ) {\otimes} \mathrm{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$，即f连续且具有紧支集，我们可以在${\widehat{\mathcal{H}}}$上关联一个扭曲卷积算子（twisted convolution operator）
$$ \left(\widehat{K} _{f} \widehat{\varphi}\right) _{\omega} (h) := \int_{\mathbb{G}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (g) f \left(\tau_{h^{- 1}} (\omega), g h^{- 1}\right) \Theta (g, h g^{- 1}) \varphi_{\omega} (g)\tag{4.1.7} $$容易看出这定义了一个与$\widehat{U} _{g}$可交换的有界可分解算子，即$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$的一个元素（参见[Len99, Proposition 1.2.1]）。事实上，映射$f \mapsto \widehat{K} _{f} \in \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$是一个忠实（faithful）的态射，即$\widehat{K} _{f} = 0$当且仅当$f = 0$（这一事实本质上归因于交换群G的可均性（amenability）[Ped79, Section 7.7]），我们将其像记为$\mathcal{A} _{0} \subseteq \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$。集合$\mathcal{A} _{0}$具有pre-$C^{*}$-代数的结构，其在$\widehat{\mathcal{H}}$上算子范数的闭包定义了文献中通常称为（扭曲）交叉积（crossed product）的$C^{*}$-代数（的忠实表示）[Ped79; MPR05; Wil07]。标准逼近论证表明$\mathcal{A} _{0} ^{\prime \prime} = \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$，即由$\mathcal{A} _{0}$生成的von Neumann代数等于全代数$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$（参见[BES94, Theorem 6]及其中的参考文献）。
$\widehat{K} _{f}$的趣味在于它与伪微分理论的联系：方程(4.1.7)导致了一个可以视为Wigner-Weyl微积分的抽象版本的演算[MPR05; LMR10; BLM13]，它连接了代数和泛函分析。由于$f \mapsto \widehat{K} _{f}$是忠实的，von Neumann代数上的乘积和对合可以被拉回到$\Omega \times \mathbb{G}$上的合适函数领域。这允许我们从"符号"（symbol）$f$的性质推断"量子化"$\widehat{K} _{f}$的性质。
4.2 单位体积迹#
前述代数也在典范f.n.s.迹的定义中发挥作用，即所谓的单位体积迹（trace per unit volume）$\mathcal{T} _{\mathbb{P}}$。我们遵循并推广[Len99]中的构造。在我们的具体情况中，新的困难来自随机权重$W_{\omega}$的存在以及用与$\mathbb{C} ^{N}$的张量积描述的额外自由度。由于篇幅原因，我们在此仅概述构造的主要要点，将更详细的分析推迟到未来的工作[DL17]。
事实证明，上一节中的∗-子代数$\mathcal{A} _{0}$可以赋予一个标量积
$$ \left\langle \widehat{K} _{f_{1}}, \widehat{K} _{f_{2}} \right\rangle_{\mathscr{A} _{0}} := \int_{\Omega \times \mathbb{G}} d \mathbb{P} (\omega) d \mu_{\mathbb{G}} (g) \operatorname{Tr} _{\mathbb{C} ^{N}} \left(f_{1} (\omega , g) ^{*} W_{\omega} (e) f_{2} (\omega , g) W_{\omega} (g)\right),\tag{4.2.1} $$这使$\mathcal{A} _{0}$成为[Dix81, Part I, Chapter 5]意义上的（拟）Hilbert代数。要使这一断言严格成立，我们需要假设权重$W_{\omega}$不仅是自伴的，而且是实值的，即对所有$g \in \mathbb{G}$和$\omega \in \Omega$有$W_{\omega} ( g ) ^{*} = W_{\omega} ( g ) = \overline{{W_{\omega} ( g )}}$。显然，Hilbert代数$\mathcal{A} _{0}$关于其Hilbert结构的完备化定义了一个Hilbert空间，在算子与符号的等同下，该空间（至少作为Banach空间）同构于$L^{2} ( \Omega \times \mathbb{G} ) \otimes \mathrm{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$。相关的事实是，与$\mathcal{A} _{0}$关联的左标准von Neumann代数（在空间上）同构于$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$（这是由于2-上循环Θ的存在而对[Len99, Theorem 2.1.4]的轻微修改）。
我们可以将标量积(4.2.1)和表示(4.1.7)都进行延拓。然而，虽然标量积(4.2.1)对$f \in L^{2} ( \Omega \times \mathbb{G} ) \otimes \mathbf{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$仍有意义，但我们不能再保证关联的$\widehat{K} _{f}$实际定义了$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$的元素。不过，如果我们施加后者作为附加条件，我们就得到自伴理想
$$ \begin{array}{l} \mathcal{A} _{L^{2}} := \Big \{\widehat{K} _{f} \big | f \in L^{2} (\Omega \times \mathbb{G}) \otimes \mathrm{Mat} _{\mathbb{C}} (N), \widehat{K} _{f} \in \mathcal{A} (\Omega , \mathbb{P}, \mathbb{G}, \Theta) \Big \} \\ \qquad \subset \mathcal{A} (\Omega , \mathbb{P}, \mathbb{G}, \Theta), \end{array} $$它包含$\mathcal{A} _{0} \subset \mathcal{A} _{L^{2}}$ [Len99, Proposition $2 . 1 . 6 ]$，因此$\mathcal{A} _{L^{2}}$也在$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$中关于SOT稠密。任何$\widehat{K} _{f} \in \mathcal A_{L^{2}}$在纤维上作用于$\mathcal{H} _{\omega}$，作为一个积分Carleman算子$K_{f , \omega}$，其核为
$$ f_{\omega} (h, g) := f \left(\tau_{h^{- 1}} (\omega), g h^{- 1}\right) \Theta (g, h g^{- 1}).\tag{4.2.2} $$显然，通过$\mathcal{H} _{\omega} \otimes \mathcal{H} _{\omega} \simeq \left( L^{2} ( \mathbb{G} ) \otimes L^{2} ( \mathbb{G} ) \right) \otimes \mathsf{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$（这本质上是因为$\mathbb{C} ^{N} \otimes \mathbb{C} ^{N} \simeq \mathrm{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$），核$f_{\omega}$可以被视为$\mathcal{H} _{\omega} \otimes \mathcal{H} _{\omega}$的元素。更精确地说，以下表达式
$$ f_{\omega} (h, g) _{j, k} := \sum_{\alpha , \beta \in \mathscr{I}} F_{\alpha , \beta} (\omega) \varphi_{\alpha , \omega} ^{j} (h) \otimes \overline{{\varphi_{\beta , \omega} ^{k} (g)}}, \qquad j, k = 1, \ldots , N, $$通过$\mathcal{H} _{\omega}$的标准正交基（由$\varphi_{\alpha , \omega} : = \big ( \varphi_{\alpha , \omega} ^{1} , \dots , \varphi_{\alpha , \omega} ^{N} \big )$给出，其中$\alpha \in \mathcal{S}$，${\mathcal{S}} \subseteq \mathbb{N}$是有限的或可数的，取决于G是否有限）将$f_{\omega}$的矩阵元与"双"特征向量展开联系起来。标准的Hilbert-Schmidt论证（参见[RS72, Theorem VI.23]）给出
$$ \mathrm{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \big (K_{f, \omega} ^{*} K_{f, \omega} \big) = \sum_{\alpha , \beta \in \mathcal{I}} \left| F_{\alpha , \beta} (\omega) \right| ^{2} = \| f_{\omega} \| _{\mathcal{H} _{\omega} \otimes \mathcal{H} _{\omega}} ^{2}.\tag{4.2.3} $$注意到上面方程中出现的空间$\mathcal{H} _{\omega} \otimes \mathcal{H} _{\omega}$中的范数可以根据矩阵记法重写为
$$ \| f_{\omega} \| _{\mathcal{H} _{\omega} \otimes \mathcal{H} _{\omega}} ^{2} = \int_{\mathbb{G} \times \mathbb{G}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (h) \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (g) \operatorname{Tr} _{\mathbb{C} ^{N}} \left(f_{\omega} (h, g) ^{*} W_{\omega} (h) f_{\omega} (h, g) W_{\omega} (g)\right). $$现在，这一构造的关键方面是，与Hilbert代数关联的左标准von Neumann代数承认一个唯一的（在同构意义下）自然的f.n.s.迹[Dix81, Part I, Chapter $^{6 ,}$ Section 2]。该迹可以通过前述同构搬运到$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$上，从而在$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$上得到一个f.n.s.迹$\mathcal{T} _{\mathbb{P}}$，其特征是性质
$$ \mathcal{T} _{\mathbb{P}} \big (\widehat{K} _{f} ^{*} \widehat{K} _{f} \big) := \| f \| _{\mathscr{A} _{0}} ^{2}, $$$$ \forall \widehat{K} _{f} \in \mathcal{A} _{L^{2}}.\tag{4.2.4} $$此处范数$\lVert \cdot \rVert_{\mathcal{A} _{0}}$由标量积(4.2.1)得到。关于平凡权重场情形下(4.2.4)的详细证明，可以遵循[Len99, Proposition 2.1.6 and Theorem 2.2.2]的策略。有一个计算该迹的有用公式。
设$\lambda \in L^{\infty} ( \mathbb{G} )$为任何正的归一化函数，$\begin{array} {r} {\int_{\mathbb{G}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} ( g ) \lambda ( g ) ^{2} = 1} \end{array}$。设$\widehat{M} _{\lambda} \in \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$为常数算子，在直积分$\widehat{\mathcal{H}}$的每个纤维上作为乘法算子$M_{\lambda} : = \lambda \otimes \mathbb{1} _{\mathbb{C} ^{N}}$作用。则公式
$$ \mathcal{T} _{\mathbb{P}} (\widehat{A}) := \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \big (M_{\lambda} A_{\omega} M_{\lambda} \big), \qquad \widehat{A} \in \mathcal{A} (\Omega , \mathbb{P}, \mathbb{G}, \Theta) ^{+},\tag{4.2.5} $$与在$\mathcal{A} _{L^{2}}$上由(4.2.4)定义的$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$上的f.n.s.迹一致。
证明 这一结果可以通过推广[Len99, Lemma 2.2.6 and Theorem $2 . 2 . 7 ]$证明中的论证得到。首先，我们注意到乘法算子$M_{\lambda}$在每个空间$\mathcal{H} _{\omega}$上是自伴的，因为它与$W_{\omega}$交换。设$\chi_{\tt B}$为Borel集B$\subset \mathbb{G}$的特征函数，$\widehat{A} : = \lbrace A_{\omega} \rbrace_{\omega \in \Omega}$为正元素，满足$A_{\omega} = C_{\omega} ^{*} C_{\omega}$。则我们有
$$ \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \left(M_{\chi_{\mathrm{B}}} A_{\omega} M_{\chi_{\mathrm{B}}}\right) = \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \left(C_{\omega} M_{\chi_{\mathrm{B}}} C_{\omega} ^{*}\right) =: \nu_{\hat{A}} (B) $$其中我们使用了迹的循环性。映射$\mathsf{B} \mapsto \nu_{\hat{A}} ( \mathsf{B} )$定义了一个测度，简单的单调收敛论证表明
$$ \int_{\mathbb{G}} \mathrm{d} \nu_{\tilde{A}} (g) \lambda (g) ^{2} = \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \left(C_{\omega} M_{\lambda^{2}} C_{\omega} ^{*}\right) = \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \left(M_{\lambda} A_{\omega} M_{\lambda}\right). $$[Len99, Lemma 2.2.6]中的论证确保测度$\nu_{\hat{A}}$是G-不变的：协变性告诉我们$M_{\chi_{g 8}} = U_{g , \tau_{g} ( \omega )} ^{- 1} M_{\chi_{8}} U_{g , \tau_{g} ( \omega )}$，因此平移集合的测度
$$ \begin{array}{l} \nu_{\hat{A}} (g B) = \int_{\Omega} d \mathbb{P} (\omega) \mathrm{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \Big (U_{g, \tau_{g} (\omega)} ^{- 1} C_{\tau_{g} (\omega)} M_{\chi_{B}} C_{\tau_{g} (\omega)} ^{*} U_{g, \tau_{g} (\omega)} \Big) \\ = \int_{\Omega} d \mathbb{P} (\omega) \mathrm{Tr} _{\mathcal{H} _{\tau_{g} (\omega)}} \big (C_{\tau_{g} (\omega)} M_{\chi_{B}} C_{\tau_{g} (\omega)} ^{*} \big) = \nu_{\hat{A}} (B), \end{array} $$与$\nu_{\hat{A}} ( \mathsf{B} )$一致。最后一个等式由测度P的G-不变性保证。此时Haar测度在G上的唯一性蕴涵
$$ \int_{\mathbb{G}} \mathrm{d} \nu_{\hat{A}} (g) \lambda (g) ^{2} = \Lambda_{\mathbb{P}} (\hat{A}) \int_{\mathbb{G}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (g) \lambda (g) ^{2} = \Lambda_{\mathbb{P}} (\hat{A}) $$对某个唯一的$\Lambda_{\mathbb{P}} ( \hat{A} ) \in [ 0 , + \infty ]$成立。
要证明$\Lambda_{\mathbb{P}}$与$\mathcal{T} _{\mathbb{P}}$等价，只需证明对一般元素$\widehat{K} _{f} \in \mathcal A_{L^{2}}$有$\Lambda_{\mathbb{P}} \big ( \widehat{K} _{f} ^{*} \widehat{K} _{f} \big ) = \mathcal{T} _{\mathbb{P}} \big ( \widehat{K} _{f} ^{*} \widehat{K} _{f} \big )$，并利用$\mathcal{A} _{L^{2}}$在$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$中的SOT稠密性。这遵循[Len99, Theorem 2.2.7]并做了必要的修改以包含权重场。中心等式是
$$ \begin{array}{l} \Lambda_{\mathbb{P}} \big (\widehat{K} _{f} ^{*} \widehat{K} _{f} \big) = \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \big (M_{\lambda} K_{f, \omega} ^{*} K_{f, \omega} M_{\lambda} \big) \\ = \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \int_{\mathbb{G} \times \mathbb{G}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (h) \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (g) \lambda (g) ^{2} \cdot \\ \qquad \qquad \qquad \cdot \operatorname{Tr} _{\mathbb{C} ^{N}} \Big (f_{\omega} (h, g) ^{*} W_{\omega} (h) f_{\omega} (h, g) W_{\omega} (g) \Big) \end{array} $$其中我们使用了$K_{f , \omega} M_{\lambda}$的核是$f_{\omega} ( h , g ) \lambda ( g )$（$\lambda ( g )$是标量），以及方程(4.2.3)将$\mathrm{T r} _{\mathcal{H} _{\alpha}}$与$\mathcal{H} _{\omega} \otimes \mathcal{H} _{\omega}$上的范数联系起来。Fubini定理允许将最后一个等式重写为
$$ \Lambda_{\mathbb{P}} \big (\widehat{K} _{f} ^{*} \widehat{K} _{f} \big) = \int_{\mathbb{G}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (g) \lambda (g) ^{2} T (g) = T $$其中函数$T ( g ) = T$实际上与$g$无关：
$$ \begin{array}{l} T (g) := \int_{\mathbb{G} \times \Omega} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (h) \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \mathrm{Tr} _{\mathbb{C} ^{N}} \Big (f_{\omega} (h, g) ^{*} W_{\omega} (h) f_{\omega} (h, g) W_{\omega} (g) \Big) \\ = \int_{\mathbb{G} \times \Omega} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (h) \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \mathrm{Tr} _{\mathbb{C} ^{N}} \Big (f (\omega , h) ^{*} W_{\omega} (e) f (\omega , h) W_{\omega} (h) \Big) = T. \end{array} $$从第一行到第二行，我们使用了核$f_{\omega} ( h , g )$的显式表达式(4.2.2)、协变关系$W_{\omega} ( h ) = W_{\tau_{h^{- 1}} ( \omega )} ( e )$、$W_{\omega} ( g ) = W_{\tau_{h^{- 1}} ( \omega )} \big ( g h^{- 1} \big )$以及测度P和$\mu_{\mathbb{G}}$的不变性。与(4.2.1)比较表明$T = \| f \| _{\mathcal{A} _{0}} ^{2}$，证明了等式(4.2.5)对$\widehat{K} _{f} ^{*} \widehat{K} _{f}$类型元素成立。至此，可以通过密度论证完成证明。□
根据假设，G是局部紧交换群，因而是可均群（amenable group）。这意味着$\mathbb{G}$对von Neumann代数$L^{\infty} ( \mathbb{G} )$承认一个左不变平均，等价地G承认至少一个Følner穷竭序列$\Lambda_{n} \nearrow \mathbb{G}$（参见[Gre69]了解更多细节）。特别地，这适用于物理上有趣的情形$\mathbb{G} = \mathbb{R} ^{d}$和$\mathbb{G} = \mathbb{Z} ^{d}$。因此，在定义4.1.1所规定的条件下，均值遍历定理（Mean Ergodic Theorem）[Gre73, Corollary 3.5]成立：
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{| \Lambda_{n} |} \int_{\Lambda_{n}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (h) f (\tau_{h^{- 1}} (\omega)) = \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega^{\prime}) f (\omega^{\prime}), \quad f \in L^{1} (\Omega), $$其中$| \Lambda_{n} | : = \mu_{\mathbb{G}} ( \Lambda_{n} )$且ω是某个满测度集$\Omega_{f} \subseteq \Omega$中的任意点。当$\widehat{K} _{f} \in \mathcal A_{L^{2}}$时，函数
$$ Z (\omega) := \int_{\mathbb{G}} d \mu_{\mathbb{G}} (g) \operatorname{Tr} _{\mathbb{C} ^{N}} \left(f (\omega , g) ^{*} W_{\omega} (e) f (\omega , g) W_{\omega} (g)\right) $$定义了$L^{1} ( \Omega )$中的一个元素，并且上述公式适用：
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{| \Lambda_{n} |} \int_{\Lambda_{n}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (h) Z (\tau_{h^{- 1}} (\omega)) = \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega^{\prime}) Z (\omega^{\prime}) = \mathcal{T} _{\mathbb{P}} \left(\widehat{K} _{f} ^{*} \widehat{K} _{f}\right). $$另一方面，我们可以直接从(4.2.3)验证
$$ \int_{\Lambda_{n}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} (g) Z \left(\tau_{h^{- 1}} (\omega)\right) = \operatorname{Tr} _{\mathscr{H} _{\omega}} \left(P_{\Lambda_{n}} K_{f, \omega} ^{*} K_{f, \omega} P_{\Lambda_{n}}\right) $$其中$P_{\Lambda_{n}}$是乘以$\Lambda_{n}$的特征函数的乘法算子（实际上是一个投影）。综合所有部分，我们得到
$$ \begin{array}{c} \mathcal{T} _{\mathbb{P}} (\widehat{A}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{| \Lambda_{n} |} \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \big (P_{\Lambda_{n}} A_{\omega} P_{\Lambda_{n}} \big) \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{| \Lambda_{n} |} \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \big (P_{\Lambda_{n}} A_{\omega} P_{\Lambda_{n}} \big) \end{array}\tag{4.2.6} $$其中第一个等式是精确的，第二个等式P-几乎必然成立。方程(4.2.6)证明了迹$\mathcal{T} _{\mathbb{P}}$的"单位体积迹"之名。更多细节我们参考[Len99, pp. 208-209]及其中的参考文献。
4.3 与单位体积迹相容的生成元#
让我们构造假设3意义上的$\mathcal{T} _{\mathbb{P}}$-相容生成元的具体例子。假设$x : \mathbb{G} \longrightarrow \mathbb{R}$是一个可测函数，提供了$\mathbb{G}$的加法表示，即
$$ x (g_{1} g_{2}) = x (g_{1}) + x (g_{2}) $$$$ \forall g_{1}, g_{2} \in \mathbb{G}. $$该函数在$L^{2} ( \mathbb G )$上定义了一个自伴乘法算子，由$( X \varphi ) ( g ) : = x ( g ) \varphi ( g )$给出（对所有$g \in \mathbb{G}$），且紧支函数构成一个核。然而，X在$S_{g}$的作用下不是左不变的；确实，简单计算表明
$$ S_{g} X S_{g} ^{*} = X - x (g) \mathbb{1} $$$$ \forall g \in \mathbb{G}. $$这给出了定义在直积分${\widehat{\mathcal{H}}}$上的常数算子场$\widehat{X} : = \{X_{\omega} \equiv X \} _{\omega \in \Omega}$。X的可测性来自函数x的可测性；此外，由于X与每个$W_{\omega}$交换，X是自伴的，尽管不一定有界。关联的演化群$\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}}$对所有$s \in \mathbb{R}$是Rand$( \widehat{\mathcal{H}} )$中的元素，但不是von Neumann代数$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$的元素，因为
$$ \widehat{U} _{g} \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}} \widehat{U} _{g} ^{*} = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s x (g)} \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}} $$$$ \forall g \in \mathbb{G}, t \in \mathbb{R}. $$然而，用$\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}}$共轭保持$\mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$不变：快速计算表明
$$ \widehat{U} _{g} \left(\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}} \widehat{A} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s \widehat{X}}\right) \widehat{U} _{g} ^{*} = \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}} \left(\widehat{U} _{g} \widehat{A} \widehat{U} _{g} ^{*}\right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s \widehat{X}} = \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}} \widehat{A} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s \widehat{X}} $$这确保了如果$\widehat{A} \in \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$，则$\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}} \widehat{A} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s \widehat{X}} \in \mathcal{A} ( \Omega , \mathbb{P} , \mathbb{G} , \Theta )$。类似地，用$\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}}$共轭保持迹不变：利用方程(4.2.5)得到
$$ \begin{array}{r l} & {\mathcal{T} _{\mathbb{P}} (\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}} \widehat{A} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s \widehat{X}}) = \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \Big (M_{f} \left(\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s \widehat{X}} \widehat{A} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s \widehat{X}}\right) _{\omega} M_{f} \Big)} \\ & {\qquad = \int_{\Omega} \mathrm{d} \mathbb{P} (\omega) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{\omega}} \big (M_{f} A_{\omega} M_{f} \big) = \mathcal{T} _{\mathbb{P}} (\widehat{A}),} \end{array} $$其中我们使用了在每个$\mathcal{H} _{\omega}$上$\mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} s X}$与$M_{f}$交换以及迹的循环性。由于该等式在稠密集上成立，它对$\mathcal{T} _{\mathbb{P}}$有定义的最大理想中的每个元素都成立。总之，我们证明了以下
显然，可以考虑与保持群结构的可测函数$x_{j} : \mathbb{G} \longrightarrow \mathbb{R}$关联的有限族生成元$\widehat{X} _{1} , \ldots , \widehat{X} _{d}$。这当然保证了这些生成元的强交换性。
4.4 约化到非随机情形#
非随机情形对应于特殊情况：无序集$\Omega = \{\omega_{*} \}$坍缩为一个点，因此遍历测度$\mathbb{P} = \delta_{\omega_{*}}$约化为集中于$\omega_{*}$的Dirac测度。动力系统$\tau : \mathbb{G} \longrightarrow \mathbb{1} _{\Omega}$变得平凡，即对所有$g \in \mathbb{G}$有$\tau_{g} ( \omega_{*} ) = \omega_{*}$。此时，权重场约化为单个正元$W \in L^{\infty} ( \mathbb{G} ) \otimes \mathrm{M a t} _{\mathbb{C}} ( N )$，具有有界逆。G-协变条件简化为G-不变性，即对所有$g \in \mathbb{G}$有$W \left( h g^{- 1} \right) = W ( h )$。直积分只有一个纤维，因此约化为扭曲Hilbert空间$\mathcal{H} _{W}$（Banach空间$\mathcal{H} _{*}$赋予标量积$\langle \cdot , W \cdot \rangle_{\mathcal{H} _{*}})$）。可分解有界算子的集合与代数$\mathcal{B} ( \mathcal{H} _{W} )$一致。协变性质由投影表示$\mathbb{G} \ni g \mapsto S_{g} \in \mathcal{B} ( \mathcal{H} _{W} )$定义为
$$ S_{g} A S_{g} ^{*} = A $$$$ g \in \mathbb{G}.\tag{4.4.1} $$满足此条件的算子称为G-周期（G-periodic）的，它们构成了G-周期算子的von Neumann代数：
$$ \mathscr{A} _{\mathbb{G}} := \operatorname{Span} _{\mathbb{G}} \left\{S_{g} \right\} ^{\prime} \cap \mathscr{B} \left(\mathscr{H} _{W}\right). $$单位体积迹通过
$$ \mathcal{T} _{\mathbb{G}} (A) := \mathrm{Tr} _{\mathcal{H} _{W}} \left(M_{\lambda} A_{\omega} M_{\lambda}\right) $$实现，其中$\lambda \in L^{\infty} ( \mathbb{G} )$是任何正的归一化函数$\int_{\mathbb{T}} \mathrm{d} \mu_{\mathbb{G}} ( g ) \lambda ( g ) ^{2} = 1$（例如，子集$\Lambda \subset \mathbb{G}$的归一化特征函数）。最后，第4.3节开头描述的乘法算子$( X \varphi ) ( h ) = x ( h ) \varphi ( h )$提供了$\mathcal{T} _{\mathbb{G}}$-相容生成元的典型例子。
如果代数$\mathsf{S p a n} _{\mathbb{G}} \{S_{g} \}$包含一个（非平凡）交换$C^{*}$-代数$\mathcal{S} _{\mathbb{G}} \subseteq \operatorname{S p a n} _{\mathbb{G}} \{S_{g} \}$，我们可以援引von Neumann的完全谱定理[Dix81, Part II, Chapter 6, Theorem 1]：它断言存在一个直积分Hilbert空间
$$ \mathscr{H} _{\mathscr{S}} := \int_{\mathbb{B}} ^{\oplus} \mathrm{d} \mu (k) \mathscr{H} _{k} $$其中$\mathbb{B} = \mathbb{B} ( \mathcal{S} _{\mathbb{G}} )$是$\mathcal{S} _{\mathbb{G}}$的Gel'fand谱（也称为Brillouin区），$\mu$是一个基本谱测度，以及一个幺正映射
$$ \mathcal{F} _{\mathcal{S}}: \mathcal{H} _{W} \longrightarrow \mathcal{H} _{\mathcal{S}} $$称为Gel'fand-Fourier（Bloch-Floquet）变换，使得$\mathcal{F} _{\mathcal{S}} \mathcal{A} _{\mathbb{G}} \mathcal{F} _{\mathcal{S}} ^{- 1}$包含在$\mathcal{H} _{\mathcal{S}}$上的有界可分解算子中。或者换句话说，
$$ \mathcal{F} _{\mathcal{S}} A \mathcal{F} _{\mathcal{S}} ^{- 1} = \{A_{k} \} \equiv \int_{\mathbb{B}} ^{\oplus} \mathrm{d} \mu (k) A_{k}, $$在这个表示中，单位体积迹是Brillouin区平均
$$ \mathcal{T} _{\mathbb{G}} (A) = \frac{1}{\mu (\mathbb{B})} \int_{\mathbb{B}} \mathrm{d} \mu (k) \operatorname{Tr} _{\mathcal{H} _{k}} (A_{k}). $$最后，让我们注意到当$\Theta = 1$（扭曲是平凡的）时，我们可以选择$\mathcal{S} _{\mathbb{G}} = \mathsf{S p a n} _{\mathbb{G}} \{S_{g} \}$。