第3章 · 数学框架 • Yuunagi Library

本章的目的是介绍所有必要的数学概念，使本书的其余部分自成体系。虽然这里涵盖的数学对象都不是新的，但我们的目标是让尽可能多的读者能够理解本书。此外，我们相信许多读者将从对中心问题（如可测性）的讨论中受益，这些问题将在第5章和第6章的证明中发挥关键作用。

3.1 可观测量代数#

为了发展线性响应理论的一般"算子理论"方法，我们首先需要确定可观测量（observable）的恰当定义。量子力学中的一个常见观点是，假设相关可观测量的集合构成了可分离Hilbert空间上有界算子的von Neumann代数。然而，许多常见的可观测量（如位置、动量和角动量）实际上是无界的，为了涵盖这些，我们需要引入隶属（affiliation）的概念。算子代数理论是一个成熟的学科，有许多专著论述：其中我们将主要参考[Dix77; Dix81; KR97a; KR97b; BR02; Tak02; Tak03]。

3.1.1 可观测量的von Neumann代数#

在整本专著中，符号将系统地表示一个复Hilbert空间，配备了一个半双线性内积$\langle \cdot , \cdot \rangle_{;}$；不一定可分。有界算子的(C∗)-代数将记为( )。该代数可以赋予多种拓扑。一致算子拓扑（UOT）是由算子范数诱导的度量拓扑

$$ \| A \| ^{2} := \sup_{\psi \in \mathcal{H} \setminus \{0 \}} \frac{\left\langle \psi , A^{*} A \psi \right\rangle}{\left\langle \psi , \psi \right\rangle} = \sup_{\psi \in \mathcal{H} \setminus \{0 \}} \frac{\left\| A \psi \right\| _{\mathcal{H}} ^{2}}{\left\| \psi \right\| _{\mathcal{H}} ^{2}}, \qquad A \in \mathcal{B} (\mathcal{H}). $$

强算子拓扑（SOT）是由半范数$A \mapsto s_{\psi} ( A ) : = \left\| A \psi \right\| _{\mathcal{H}} ,$（$\psi$在${\mathcal{H}} ;$中变化）诱导的局部凸拓扑；弱算子拓扑（WOT）是由半范数$A \mapsto \mathsf{w} _{\psi} ( A ) : =$ $\left| \left. \psi , A \psi \right. \right|$（$\psi$在$\mathcal{H}$中变化）诱导的局部凸拓扑。其他拓扑由具有$\dot{\ell} ^{2}$性质$\begin{array} {r} {\sum_{n \in \mathbb{N}} \lVert \psi_{n} \rVert_{\mathcal{H}} ^{2} < + \infty \colon} \end{array}$的序列$\{\psi_{n} \} _{n \in \mathbb{N}}$标记：超强算子拓扑（uSOT）和超弱算子拓扑（uWOT）分别由半范数族$\begin{array} {r} {A \longmapsto \mathsf{u s} _{\{\psi_{n} \} _{n \in \mathbb{N}}} ( A ) : = ( \sum_{n \in \mathbb{N}} \left\| A \psi_{n} \right\| _{\mathcal{H}} ^{2} ) ^{1 / 2}} \end{array}$和$A \mapsto \mathsf{u w} _{\{\psi_{n} \} , \{\phi_{n} \}} ( A ) : =$ $\textstyle \left| \sum_{n \in \mathbb{Z}} \left. \psi_{n} , A \phi_{n} \right. \right|$诱导的局部凸拓扑。网（或序列）$\left\{A_{\alpha} \right\} _{\alpha \in I} \subset{\mathcal{B}} ( {\mathcal{H}} )$在上述各种拓扑中的收敛概念总结如下：

$$ \begin{array}{r l r l r l} \underset{\alpha} {\lim} A_{\alpha} = A & & \Longleftrightarrow & & \underset{\alpha} {\lim} \left\| A_{\alpha} - A \right\| = 0 \\ s - \underset{\alpha} {\lim} A_{\alpha} = A & & \Longleftrightarrow & & \underset{\alpha} {\lim} \left\| (A_{\alpha} - A) \psi \right\| _{\mathcal{H}} = 0 & & \forall \psi \in \mathcal{H} \\ w - \underset{\alpha} {\lim} A_{\alpha} = A & & \Longleftrightarrow & & \underset{\alpha} {\lim} \left| \left\langle \phi , (A_{\alpha} - A) \psi \right\rangle \right| = 0 & & \forall \phi , \psi \in \mathcal{H} \end{array} $$

超强极限和超弱极限的定义类似。我们有

$$ \begin{array}{c c c c c} \text{UOT} & \Rightarrow & \text{uSOT} & \Rightarrow & \text{uWOT} \\ & & \Downarrow & & \Downarrow \\ & & \text{SOT} & \Rightarrow & \text{WOT} \end{array}\tag{3.1.1} $$

其中$X \Rightarrow Y$表示在拓扑X中收敛的网在拓扑$Y$中也收敛。让我们回顾一些重要事实[Dix81, Part $^{\mathrm{I ,}}$ Chapter $^{3 ,}$ Section 1]：在$\mathcal{B} ( \mathcal{H} )$的范数有界子集上，有uSOT = SOT和uWOT = WOT。算子乘积$( A , B ) \mapsto A B$作为从$\mathcal{B} ( \mathcal{H} ) \times \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$到$\mathcal{B} ( \mathcal{H} )$的映射在这些拓扑下不是连续的。然而，如果A在$\mathcal{B} ( \mathcal{H} )$的有界子集中变化，则$( A , B ) \mapsto A B$关于uSOT是连续的。最后，对每个固定的$B \in \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$，映射$A \mapsto B A$和$A \mapsto A B$关于uWOT是连续的。

给定一个子集$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$，我们用$\mathcal{A} ^{\prime}$表示它的交换子（commutant），即$\mathcal{H}$上与$\mathcal{A}$中每个算子都可交换的所有有界算子的集合。显然$\mathcal{A} ^{\prime}$是一个包含单位元的Banach算子代数¹。

定义定义 3.1.1 (Von Neumann algebra)

$\mathcal{H}$上的von Neumann代数是$\mathcal{H}$上的一个含单位元的∗-子代数$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$，满足

$$ (\mathcal{A} ^{\prime}) ^{\prime} = \mathcal{A}. $$

von Neumann代数的中心定义为$\mathcal{Z} ( \mathcal{A} ) : = \mathcal{A} \cap \mathcal{A} ^{\prime}$。如果它具有平凡中心，即$\mathcal{Z} ( \mathcal{A} ) = \{c \mathbb{1} \mid c \in \mathbb{C} \}$，则称$\mathcal{A}$为因子（factor）。

von Neumann代数的主要刻画可以用上述拓扑来表述。事实上，著名的双交换子定理（Bicommutant Theorem）[BR02, Theorem 2.4.11]断言：$\mathcal{A}$是von Neumann代数当且仅当它关于uWOT、WOT、uSOT或SOT中的任何一种（从而关于所有）算子拓扑是闭的。

让我们回忆一下，正交投影（orthogonal projection）$P \in \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$满足$P^{*} = P = P^{2}$。von Neumann代数$\mathcal{A}$中包含的所有正交投影的集合将记为Proj( )。以下有用的事实是定义3.1.1的直接推论。

命题命题 3.1.2

设$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$为von Neumann代数。

(1) 如果$A \in{\mathcal{A}}$是自伴算子，则$\mathcal{A}$包含A的所有谱投影。

(2) 集合Proj( )在SOT下在中稠密。

(3) 算子$A \in{\mathcal{B}} ( {\mathcal{H}} )$属于$\mathcal{A}$当且仅当对所有幺正元$V \in \mathcal{A} ^{\prime}$有$V A V^{*} = A$。

(4) 设$A = U \left| A \right|$为$A \in{\mathcal{A}}$的极分解，则U和$| A |$都属于$\mathcal{A}$。

3.1.2 隶属算子代数#

虽然von Neumann代数仅由有界算子组成，但隶属（affiliation）的概念允许我们将无界算子与von Neumann代数关联起来。这种隶属原理可以看作是命题3.1.2中性质(3)的推广。

定义定义 3.1.3 (Affiliation)

设$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$为von Neumann代数，A为具有稠密定义域$\mathcal{D} ( A ) \subset \mathcal{H}$的闭（不一定有界）算子。如果对每个幺正元$V \in \mathcal{A} ^{\prime}$有

$$ V \left[ \mathcal{D} (A) \right] = \mathcal{D} (A) \qquad a n d \qquad V A V^{*} = A, $$

则称A隶属于$\mathcal{A}$。所有与$\mathcal{A}$隶属的闭稠定算子的集合记为$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$。

根据定义，$A \in{\mathcal{A}}$当且仅当A有界且隶属于$\mathcal{A}$，即$\mathcal{A} = \mathrm{A f f} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$。下一个结果提供了命题3.1.2的推广。

命题命题 3.1.4 ([BR02, Lemma 2.5.8])

设$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$为von Neumann代数，A为具有极分解$A = U | A |$的闭稠定算子。则$A \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$当且仅当$U \in{\mathcal{A}}$和$| A | \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$，且此时A的所有谱投影都位于${\mathcal{A}}$中。此外，如果$A = A^{*}$是自伴算子，则$A \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$当且仅当对所有$f \in L^{\infty} ( \mathbb{R} )$有$f ( A ) \in{\mathcal{A}}$。

备注 3.1.5 (关于$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$的代数运算) 让我们回顾一下，稠定无界算子A的伴随是算子$A^{*}$，其定义域$\mathcal{D} ( A^{*} )$由这样的$\psi \in \mathcal H$组成：存在一个（必然唯一的）$\phi : = A^{*} \psi$，使得对所有$\varphi \in{\mathcal{D}} ( A )$验证等式$\langle \phi , \varphi \rangle = \langle \psi , A \varphi \rangle$。算子$A^{*}$自动是闭稠定的（见[RS72, Theorem VIII.1]）。此外，从定义3.1.3出发可以验证$A \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$蕴涵$A^{*} \in \mathsf{A f f} ( {\mathcal{A}} )$。无界算子的和与积也可以定义，但需要一些技术性处理（见例如[KR97a, Section $2 . 7 ] )$。给定一对$A , B \in \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} )$，可以在$\mathcal{H}$上定义和算子$\stackrel{\circ} {A} + \stackrel{\circ} {B}$和积算子$\mathring{A} ^{\cdot} B$作为定义域为

$$ \begin{array}{l} \mathcal{D} \big (A^{\stackrel{{\circ}} {{+}}} B \big) := \mathcal{D} (A) \cap \mathcal{D} (B), \\ \mathcal{D} \big (A^{\stackrel{{\circ}} {{\cdot}}} B \big) := \big \{\psi \in \mathcal{D} (B) | B \psi \in \mathcal{D} (A) \big \}. \end{array} $$

的线性算子。这些运算是结合的，因此像$\stackrel{\circ} {A_{1} + A_{2}} {^ +} \ldots{+} A_{n}$和$A_{1} \cdot A_{2} \cdot^{\circ}$ $\cdots^{\circ} A_{n}$这样的表达式描述定义良好的算子。如果和$\stackrel{\circ} {A} + \stackrel{\circ} {B}$是可闭且稠定的，那么我们可以用$A + B$表示它的闭包（强和）。类似地，如果积$\mathring{A} ^{\cdot} B$是可闭且稠定的，那么我们用AB表示它的闭包（强积）。当一对$A , B \in \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} )$的强和$A + B$有定义时，则$A + B \in \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} )$。类似地，如果强积AB有定义，则$A B \in \mathsf{A f f} ( {\mathcal{A}} )$。不幸的是，如果没有对$\mathcal{A}$的额外假设（见第3.1.3节），整个集合$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$不构成∗-代数。事实上，可能发生定义域$\mathcal{D} \big ( A^{\mathrm{~ o ~}} + B \big ) = \{0 \}$或$\mathcal{D} \big ( A \boldsymbol{\cdot} B \big ) = \{0 \}$是平凡的，即使(A)和(B)是稠的；或者$A {\dot{+}} B$和$\mathring{A} ^{\cdot} B$可能是不可闭的，即使A和B是闭稠定的（见例如[KR97a, Exercise 2.8.43]）。然而，$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$的某些特定子集确实构成∗-代数；我们将在第3.2.2节讨论重要的例子。⋆

最后，让我们回忆一下，$\mathcal{H}$的线性子空间$\mathcal{D} _{0}$称为闭算子H的核（core），如果H与限制$H \vert_{\mathcal{D} _{0}}$的闭包一致。

3.1.3 有限与半有限von Neumann代数#

区分von Neumann代数的一个重要轴是有限性（finiteness）与半有限性（semi-finiteness）的问题：von Neumann代数$\mathcal{A}$中的两个投影$P_{1}$和$P_{2}$称为等价的，记作$P_{1} \sim P_{2}$，如果存在$W \in \mathcal A$使得$P_{1} = W W^{*}$和$P_{2} = W^{*} W$。这个关系实际上是Proj( )上的一个等价关系[KR97b, Proposition $6 . 1 . 5 ]$。我们说$P_{1}$弱于$P_{2}$，记作$P_{1} \preceq$ $P_{2}$，如果存在投影$Q_{1} , Q_{2} \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$使得$P_{1} \sim Q_{1} , P_{2} \sim Q_{2}$且$Q_{2} -$ $Q_{1} \in \mathrm{{P r o j}} ( {\mathcal{A}} ) ~ ( {\mathrm{i . ~ e . ~}} , ~ Q_{1}$是$Q_{2}$的子投影）。该关系在Proj( )上确定了一个偏序[KR97b, Proposition 6.2.4 & Proposition 6.2.5]，关于这个偏序Proj( )是一个完备格。投影$P \in{\mathcal{A}}$称为无穷（infinite）的，如果它等价于自身的某个真子投影，即存在$Q \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$使得$P - Q \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$且$P \sim Q$。否则，P称为有限（finite）的。von Neumann代数$\mathcal{A}$称为有限的，如果单位元$\mathbb{1}$是有限投影（即$\mathcal{A}$中的每个等距算子是幺正的）；称为半有限的，如果存在递增的有限投影网$\{P_{\alpha} \} \subset{\mathcal{A}}$使得$P_{\alpha} \to \mathbb{1}$强收敛。虽然半有限von Neumann代数是本书关注的主要对象，但让我们回顾以下与备注3.1.5中的讨论直接相关的结果。

定理定理 3.1.6 ([Zhe11, Theorem 3.11])

如果$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$是有限von Neumann代数，则$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$关于伴随、强和与强积构成一个∗-代数。

3.2 非交换$\mathfrak{L} ^{p}$空间#

配备了忠实正规半有限（f.n.s.）迹的von Neumann代数为非交换版本的积分理论提供了背景。这一研究方向由Segal在[Seg53]中开创，随后由许多其他作者发展[Nel74; Ter81; Yea73; FK86]（也可参见[Tak03, Chapter IX]的详细阐述）。

3.2.1 F.n.s. 迹#

设$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$为von Neumann代数，$\mathcal{A} ^{+} \subset \mathcal{A}$为$\mathcal{A}$的正元素凸锥。让我们回忆一下，$\mathcal{A} ^{+}$带有一个自然序关系：称$A , B \in{\mathcal{A}} ^{+}$有关系$A \geqslant B$当且仅当$A - B \in \mathcal A^{+}$。该序允许我们考虑具有上确界的递增网。在$\mathcal{A}$上发展非交换$L^{p}$理论的类比的可能性基于以下类型对象的存在性[Tak03, Chapter VII, Definition 1.1]：

定义定义 3.2.1 (F.n.s. trace)

$\mathcal{A}$上的权（weight）是一个映射$\mathcal{T} : \mathcal{A} ^{+} \longrightarrow [ 0 , + \infty ]$满足

$$ \mathcal{T} (\lambda A + \mu B) = \lambda \mathcal{T} (A) + \mu \mathcal{T} (B), \qquad A, B \in \mathcal{A} ^{+}, \lambda , \mu \in \mathbb{R} _{+} $$

并约定$0 \cdot ( + \infty ) = 0$。

(f) 权$\mathcal{T}$称为忠实的（faithful），如果$\mathcal{T} ( A ) = 0$当且仅当$A = 0$。

(n) 权$\mathcal{T}$称为正规的（normal），如果对每个递增有界网$\{A_{\alpha} \} \subset{\mathcal{A}} ^{+}$使得$A : = \operatorname*{sup} _{\alpha} ( A_{\alpha} ) \in{\mathcal{A}} ^{+}$，有$\sup_{\alpha} \mathcal{T} ( A_{\alpha} ) = \mathcal{T} ( A )$。

(s) 权$\mathcal{T}$称为半有限的（semi-finite），如果

$$ \mathscr{A} _{\mathcal{T}} ^{+} := \left\{A \in \mathscr{A} ^{+} \mid \mathscr{T} (A) < + \infty \right\} $$

在uWOT下在中稠密（如果$\mathcal{A} _{\mathcal{T}} ^{+} = \mathcal{A} ^{+}$则称为有限的）。

满足上述条件的权称为忠实正规半有限权，简称f.n.s.权。当一个权还满足

(t) 对所有$A \in{\mathcal{A}}$有$\mathcal{T} ( A A^{*} ) = \mathcal{T} ( A^{*} A )$，

则称其为迹。

每个von Neumann代数都承认一个f.n.s.权[Tak03, Chapter VII, Theorem 2.7]，但只有半有限von Neumann代数才能承认f.n.s.迹[Dix81, Part I, Chapter $^{6 ,}$ Proposition 9]。换句话说，f.n.s.迹的存在性比f.n.s.权的存在性更具限制性。定义3.2.1中的正规性(n)可以被几个等价性质替代，例如列在[BR02, Theorem 2.7.11]或[Dix81, Part $^{\mathrm{I ,}}$ Chapter $^{4 ,}$ Theorem 1]中。特别重要的是，正规性等价于$\mathcal{T}$的超弱连续性，即

$$ \mathrm{uw} - \lim_{\alpha} A_{\alpha} = A \quad \Longrightarrow \quad \lim_{\alpha} \mathcal{T} (A_{\alpha}) = \mathcal{T} (A). $$

最后，让我们提及迹性质(t)可以等价地表述为：对每个$A \in{\mathcal{A}} ^{+}$和所有幺正算子$U \in \mathcal A$，有$\mathcal{T} ( A ) = \mathcal{T} {\bigl (} U A U^{*} {\bigr )}$ [Dix81, Part I, Chapter 6, Corollary 1]。

因此，我们假设$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$是一个（必然）半有限von Neumann代数，装备了一个f.n.s.迹。与$\mathcal{A} _{\mathcal{T}} ^{+}$一起，我们引入子集

$$ \mathcal{J} _{\mathcal{T}} := \left\{A \in \mathscr{A} \mid \mathcal{T} \left(A^{*} A\right) < + \infty \right\}. $$

我们回顾一些在后续中有用的标准事实：

(1) 集合$\mathcal{A} _{\mathcal{T}} ^{+}$是$\mathcal{A} ^{+}$的遗传凸子锥。

(2) 集合$\mathcal{J} _{\mathcal{T}}$是$\mathcal{A}$的双侧∗-理想。

(3) 设$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$为$\mathcal{A} _{\mathcal{T}} ^{+}$的复线性张成。则$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$是$\mathcal{A}$的双侧∗-理想，并且

$$ \mathcal{A} _{\mathcal{T}} = \left\{A = B^{*} C \mid B, C \in \mathcal{I} _{\mathcal{T}} \right\}, \qquad \mathcal{A} _{\mathcal{T}} \cap \mathcal{A} ^{+} = \mathcal{A} _{\mathcal{T}} ^{+}. $$

(4) $\mathcal{T}$延拓为$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$上的线性泛函，因此$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$被称为迹$\mathcal{T}$的定义域。此外，对所有$A \in{\mathcal{A}} _{\mathcal{T}}$和$B \in{\mathcal{A}}$有$\mathcal{T} ( A B ) = \mathcal{T} ( B A )$。

这些事实的证明请读者参考[Tak03, Chapter $\operatorname{W I} ,$ Lemma 1.2]和[Dix81, Part $^{\mathrm{I ,}}$ Chapter $^{6 ,}$ Proposition 1]。

3.2.2 测度收敛与可测算子#

对每个$P \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$，我们用$P^{\perp} : = \mathbb{1} - P \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$表示其正交补。

定义定义 3.2.2 (T-可测算子 [Nel74; Ter81])

设$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$为装备了f.n.s.迹的von Neumann代数。具有定义域${\mathcal{D}} ( A )$的元素$A \in \mathrm{A f f} ( {\mathcal{A}} )$称为$\mathcal{T}$-可测（$\mathcal{T}$-measurable）的，如果对每个$\delta > 0$存在投影$P \in$Proj( )使得

$$ P [ \mathscr{H} ] \subseteq \mathscr{D} (A) \quad a n d \quad \mathscr{T} (P^{\perp}) \leqslant \delta .\tag{3.2.1} $$

我们用${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$表示$\mathcal{T}$-可测算子的集合。满足条件(3.2.1)的定义域$\mathcal{D} ( A ) \subset \mathcal{H}$称为$\mathcal{T}$-稠密的。

当$A \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$按定义3.2.2可测时，算子AP是处处定义且闭的，因此根据闭图像定理[RS72, Theorem III.12]是有界的。这反过来蕴涵$A P \in{\mathcal{A}}$。对$\epsilon , \delta > 0$，令

$$ N (\epsilon , \delta) := \left\{A \in \mathfrak{M} (\mathscr{A}) \mid \exists P \in \operatorname{Proj} (\mathscr{A}) \text{such that} \| A P \| \leqslant \epsilon \text{and} \mathcal{T} (P^{\perp}) \leqslant \delta \right\}. $$

子集$\mathfrak{M} ( \mathcal{A} ) \subset \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} )$（$\mathcal{T}$-可测算子）最重要的刻画由以下定理给出。

定理定理 3.2.3 ([Nel74; Ter81])

$\mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$关于通常的伴随、强和与无界算子的强积构成一个∗-代数。由$\epsilon , \delta > 0$和$A \in{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$标记的集合

$$ \mathcal{N} _{\epsilon , \delta} (A) := \left\{A + B \mid B \in N (\epsilon , \delta) \right\} $$

构成${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$上一个拓扑（称为测度拓扑（measure topology））的基，该拓扑使${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$成为拓扑代数。关于该拓扑，${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$是一个完备的、第一可数的、Hausdorff的∗-代数，并且${\mathcal{A}} \subset{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$是稠密子代数。

让我们确立一些关于$\mathcal{T}$-稠密性概念的重要事实，这些事实将在本书中多次使用。首先，可以证明$\mathcal{T}$-稠密定义域特别地是稠密的[Ter81, Corollary 11]。其次，如果$\mathcal{D}$是一个$\mathcal{T}$-稠密定义域，U是一个幺正算子，使得$U \mathcal{A} U^{*} = \mathcal{A}$且对所有$A \in{\mathcal{A}}$有$\mathcal{T} ( U A U^{*} ) = \mathcal{T} ( A )$，则$U [ \mathcal{D} ]$也是$\mathcal{T}$-稠密的（要验证这一点，只需用U共轭定义3.2.2中涉及的投影）。最后一个极其重要的性质是两个$\mathcal{T}$-稠密定义域的交仍然是$\mathcal{T}$-稠密的。这一性质本质上在[Ter81, Proposition 5 (i)]中得到证明，是集合${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$对和封闭的基础。

根据[FK86, Definition 1.3]，对每个$A \in{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$，我们可以关联一个分布函数（distribution function）$\epsilon \mapsto \lambda_{\epsilon} ( A )$，定义为

$$ \lambda_{\epsilon} (A) := \mathcal{T} \big (\chi_{(\epsilon , + \infty)} (| A |) \big), $$$$ \epsilon \geqslant 0,\tag{3.2.2} $$

其中$\chi_{( \epsilon , + \infty )}$是开区间$( \epsilon , + \infty )$上的特征函数。算子A是$\mathcal{T}$-可测的，因此对于足够大的ε有$\lambda_{\epsilon} ( A ) < + \infty$，且$\lim_{\epsilon \to +\infty} \lambda_{\epsilon} ( A ) = 0$。此外，函数$\epsilon \mapsto \lambda_{\epsilon} ( A )$是右连续的且非增的。分布函数为测度拓扑的基提供了一个有用的描述[Ter81, Lemma 7]：

$$ \mathcal{N} _{\epsilon , \delta} (A) = \left\{B \in \mathfrak{M} (\mathscr{A}) \mid \lambda_{\epsilon} (B - A) \leqslant \delta \right\}.\tag{3.2.3} $$

最后，分布函数可用于定义$\mathcal{T}$-可测算子$A \in{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$的（广义）δ-奇异数（singular numbers）[FK86, Proposition 2.2 & Remark 2.3]：

$$ \mu_{\delta}(A):= \inf_{\epsilon \geqslant 0}\bigl \{\lambda_{\epsilon}(A)\leqslant \delta \bigr \} = \inf_{\substack{P\in \operatorname{Proj}(\mathcal{A})\\ \mathcal{T}(P^{\perp})\leqslant \delta}}\bigl \{\| AP\| \bigr \} . $$

函数$\delta \mapsto \mu_{\delta} ( A )$通常称为递减重排（decreasing rearrangement）[DDd93]。

备注 3.2.4 众所周知$\mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$上的测度拓扑是可度量的[Yea73]，因此作为定理3.2.3的推论，${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$是一个Fréchet ∗-代数。度量的一个例子由Fréchet范数

$$ \rho_{\mathcal{T}}(A):= \inf_{\substack{P\in \operatorname{Proj}(\mathcal{A})\\ AP\in \mathcal{A}}}\max \bigl \{\| AP\| , \mathcal{T}(P^{\perp})\bigr \} . $$

提供。以下结果将被多次使用：

命题命题 3.2.5 ([Ter81, Proposition 12])

设$A_{1} , A_{2} \in \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} )$使得存在一个$\mathcal{T}$-稠密集$\mathcal{E} \subset \mathcal{D} ( A_{1} ) \cap \mathcal{D} ( A_{2} )$。假设这两个算子限制在${\mathcal{E}}$上一致，即$A_{1} | _{\mathcal{E}} = A_{2} | _{\mathcal{E}}$。则$A_{1} , A_{2} \in \mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$且$A_{1} = A_{2}$。

例 3.2.6 以下是一些$\mathcal{T}$-可测算子∗-代数的重要例子：

(1) 交换情形。设$( \Omega , \mu )$为测度空间，考虑交换von Neumann代数$L^{\infty} ( \Omega , \mu )$，装备迹$f \mapsto \int_{\Omega} f$ dµ。函数$f : \Omega \longrightarrow \mathbb{C}$属于${\mathfrak{M}} {\big (} L^{\infty} ( \Omega , \mu ) {\big )}$当且仅当它是µ-可测函数，且除了在一个有限测度集上以外是有界的。因此，${\mathfrak{M}} {\big (} L^{\infty} ( \Omega , \mu ) {\big )}$足够大，能够包含所有$0 < p \leqslant \infty$的经典$L^{p}$空间。此外，$\mathfrak{M} \left( L^{\infty} ( \Omega , \mu ) \right)$是$L^{\infty} ( \Omega , \mu )$关于测度拓扑的闭包[Hal74, Section 22]或[Fol99, Section 2.4]。

(2) 全代数。如果$\mathcal{A}$是全von Neumann代数$\mathcal{B} ( \mathcal{H} )$且$\mathcal{T}$是通常的迹$\operatorname{Tr}_{\mathcal{H}}$，则$\mathfrak{M} \big ( \mathcal{B} ( \mathcal{H} ) \big ) = \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$。这是[Ter81, Proposition 21 (iv)]的推论，并且$\operatorname{T r} _{\mathcal{H}} ( P ) < 1$蕴涵$P = 0$（如果P是投影）。

(3) 有限迹。如果迹$\mathcal{T}$是有限的，即$\mathcal{T} ( \mathbb{1} ) < + \infty$，则${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} ) = {\mathrm{A f f}} ( {\mathcal{A}} )$（也可参见[Ter81, Proposition 21 (vi)]）。这一结果与以下事实相关：$\mathcal{A}$上有限迹的存在性蕴涵$\mathcal{A}$是有限的[Dix81, Part I, Chapter $^{6 ,}$ Proposition $9 ]$，并且对于有限von Neumann代数，定理3.1.6成立。

(4) 第4章中描述的框架。这里，从一个遍历拓扑动力系统（ergodic topological dynamical system）和扭曲2-上循环（twisting 2-cocycle）构造了von Neumann代数和单位体积迹（trace per unit volume）。这涵盖了标准情形，其中Hilbert空间是$\ell^{2} ( \mathbb{Z} ^{d} ) \otimes \mathbb{C} ^{N}$或$L^{2} ( \mathbb{R} ^{d} ) \otimes \mathbb{C} ^{N}$。⋆

备注 3.2.7 (非$\mathcal{T}$-可测Hamilton量) 在许多物理相关情形中，迹$\mathcal{T}$只是半有限的，并且∗-代数$\mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$严格小于$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$。另一方面，系统的动力学性质通常由$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$中的算子描述，而${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$对于发展动力学理论来说太小了。一个典型的例子是von Neumann代数$\mathcal{A} _{\mathrm{per}} \subset \mathcal{B} \left( L^{2} ( \mathbb{R} ^{d} ) \right)$，它由在$\mathbb{Z} ^{d}$晶格平移下不变的算子组成。此时积分由单位体积迹$\mathcal{T}$提供，它只是半有限的但不是有限的。通常，系统的动力学由无界Hamilton量描述，形式为$H : = - \Delta + V_{\mathrm{per}}$，其中$\Delta$是Laplace算子，$V_{\mathrm{per}}$是$\mathbb{Z} ^{d}$-周期乘法算子。在势能的温和技术假设下，$H \in \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} _{\mathrm{per}} )$是隶属的，因为谱投影是$\mathbb{Z} ^{d}$-周期的。然而，这样的H通常不是$\mathcal{T}$-可测的。让我们考虑自由Hamilton量$H_{0} : = - \Delta$。这个算子是非负的，因此$H_{0} = | H_{0} |$。Fermi投影$P_{E} : = \chi_{( 0 , E )} ( H_{0} ) = \chi_{( 0 , E )} ( | H_{0} | )$的单位体积迹正好提供了

状态的积分密度（integrated density of states）

$$ \mathcal{N} (E) = \mathcal{T} \left(\chi_{(0, E)} (| H_{0} |)\right) = C_{d} E^{d / 2}, \quad E \in [ 0, \infty). $$

最后一个方程表明$H_{0}$的分布函数(3.2.2)总是发散的，即$\epsilon \mapsto \lambda_{\epsilon} ( H_{0} ) = + \infty$，这证明了$H_{0} \notin \mathfrak{M} ( \mathcal{A} _{\mathrm{per}} )$。对于$V \in L^{\infty} ( {\mathbb{R}} ^{d} )$的扰动算子$H = - \Delta + V$也得出了相同的结论（只需应用minimax原理）。⋆

3.2.3 积分与$\mathfrak{L} ^{p}$空间#

非交换$\mathfrak{L} ^{p}$空间的定义类似于泛函分析中的$p$-Schatten类算子：给定正自伴算子$A \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$，我们定义

$$ \mathcal{T} (A) := \sup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{T} \left(\int_{0} ^{n} \lambda \mathrm{d} \mathbb{E} (\lambda)\right) = \int_{0} ^{\infty} \lambda \mathcal{T} \bigl (\mathrm{d} \mathbb{E} (\lambda) \bigr)\tag{3.2.4} $$

其中$A = \int_{0} ^{\infty} \lambda \mathrm{d} \mathbb{E} ( \lambda )$是A的谱表示。对每个$0 < p < \infty$，我们可以定义

$$ \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}) := \left\{A \in \operatorname{Aff} (\mathscr{A}) \mid \| A \| _{p} := \mathscr{T} \left(| A | ^{p}\right) ^{1 / p} < + \infty \right\}. $$

交集$\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A} = \mathcal{A} _{\mathcal{T}}$与第3.2.1节中引入的双侧理想$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$一致。此外，由于$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$是一个理想，对所有$1 \leqslant p < \infty$有$\mathcal{A} _{\mathcal{T}} \subseteq \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A}$。最后，通常将von Neumann代数$\mathcal{A}$等同于$\mathfrak{L} ^{\infty} ( \mathcal{A} )$。

关于空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$结构的最重要的事实总结如下。

定理定理 3.2.8 ([Nel74; Ter81; Tak03])

设$1 \leqslant p \leqslant \infty$。每个装备了范数$\left\| \cdot \right\| _{p}$的$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$是一个Banach空间，连续嵌入${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$中。因此$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$可以等同于

$$ \mathfrak{L} ^{p} (\mathcal{A}) = \left\{A \in \mathfrak{M} (\mathcal{A}) \mid \| A \| _{p} < + \infty \right\}. $$

每个$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$是一个自伴（弱Fréchet）$\mathcal{A}$-双模，具有结合积

$$ B_{1} A B_{2} := B_{1} (A B_{2}) = (B_{1} A) B_{2}, \quad A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}), B_{1}, B_{2} \in \mathscr{A}, $$

与伴随运算兼容

$$ \left(B_{1} A B_{2}\right) ^{*} = B_{2} ^{*} A^{*} B_{1} ^{*}. $$

伴随运算是等距的：$\left\| A^{*} \right\| _{p} = \left\| A \right\| _{p}$，并且范数界

$$ \left\| B_{1} A B_{2} \right\| _{p} \leqslant \| B_{1} \| \| B_{2} \| \| A \| _{p}, \quad A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}), B_{1}, B_{2} \in \mathscr{A}\tag{3.2.5} $$

成立。最后，理想$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$在每个$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中稠密。

备注 3.2.9 ($\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$上的Hilbert空间结构) 我们指出半双线性形式

$$ \langle \langle A, B \rangle \rangle_{\mathfrak{L} ^{2}} := \mathcal{T} (A^{*} B), \quad A, B \in \mathfrak{L} ^{2} (\mathscr{A}) $$

在$\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$上定义了一个Hilbert空间结构。因此，$\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$中的元素可称为$\mathcal{T}$-Hilbert-Schmidt算子。⋆

备注 3.2.10 (对称算子空间) 空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) , 1 \leqslant p \leqslant \infty$提供了[DDd89; dS07]意义上的非交换（完全）对称Banach函数空间的特例。这些空间通过递减重排函数$\delta \mapsto \mu_{\delta}$与经典空间$L^{p} ( 0 , + \infty )$相关联，后者是可交换的对称（或重排不变）Banach函数空间[KJE82]。特别地，空间$L^{p} ( 0 , + \infty )$是可分的（见例如[Bre11, Theorem 4.13]），这一事实允许我们在接下来的章节中应用[dS07]的结果。最后让我们指出，交集$L^{p} ( 0 , + \infty ) \cap L^{q} ( 0 , + \infty ) \left( p < q \right)$关于max-范数$\| \cdot \| _{p \cap q} : = \operatorname*{max} \{\| \cdot \| _{p} , \| \cdot \| _{q} \}$也是对称Banach空间[KJE82, Part II, Lemma 4.5]。这一事实和[DDd89, Theorem 4.5]蕴涵$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$关于相关的max-范数$\left\| \cdot \right\| _{p \cap q}$也是非交换Banach函数空间。⋆

如[Tak03, Chapter IX, Lemma 2.12 (iii)]或[DDd93, Section 3]所述，迹$\mathcal{T}$可以自然地延拓到${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$的正锥上。这样，就得到了从定义理想$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$到$\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$的连续延拓，并且双线性形式$\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} ) \times \mathcal{A} \ni ( A , B ) \mapsto \mathcal{T} ( A B ) \in \mathbb{C}$将$\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$等同于$\mathcal{A}$的前对偶[Tak03, Chapter IX, Lemma 2.12 (iii)]。[Dix81, Part I, Chapter $^{6 ,}$ Corollary 1]的标准密度论证允许推导迹性质

$$ \mathcal{T} (A B) = \mathcal{T} (B A), $$$$ A \in \mathfrak{L} ^{1} (\mathcal{A}), B \in \mathcal{A}. $$

这类结果可以通过非交换版本的Hölder不等式推广到其他$p \neq 1$，该不等式指出[FK86, Theorem 4.2]

$$ \| A B \| _{r} \leqslant \| B \| _{q} \| A \| _{p}, \quad A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}), B \in \mathfrak{L} ^{q} (\mathscr{A}),\tag{3.2.6} $$

其中$p , q , r > 0$由$p^{- 1} + q^{- 1} = r^{- 1}$关联。这反过来蕴涵乘积$A B$是$\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$的元素。最有趣的情况是$r = 1$：

定理定理 3.2.11 ([Nel74; Ter81; Tak03])

设$1 \leqslant p , q \leqslant \infty$满足$p^{- 1} + q^{- 1} = 1$。迹$\mathcal{T}$定义双线性形式

$$ \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}) \times \mathfrak{L} ^{q} (\mathscr{A}) \ni (A, B) \longmapsto \mathscr{T} (A B) \in \mathbb{C} $$

这使得$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$和$\mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$互为对偶空间。此外，估计式

$$ \left| \mathcal{T} (A B) \right| \leqslant \| A B \| _{1} \leqslant \| B \| _{q} \| A \| _{p}, \quad A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}), B \in \mathfrak{L} ^{q} (\mathscr{A}),\tag{3.2.7} $$

和迹性质

$$ \mathcal{T} (A B) = \mathcal{T} (B A), $$$$ A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathcal{A}), B \in \mathfrak{L} ^{q} (\mathcal{A}),\tag{3.2.8} $$

成立。

迹性质(3.2.8)可以从$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$在每个空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的稠密性推导出来。回顾以下p-范数的表示是有用的[Ter81, Proposition 24]：

$$ \left\| A \right\| _{p} = \sup \Bigl \{\mathcal{T} (A B) \bigm | B \in \mathfrak{L} ^{q} (\mathscr{A}), \| B \| _{q} \leqslant 1, p^{- 1} + q^{- 1} = 1 \Bigr \}, $$

这立即蕴涵：

引理引理 3.2.12

设$A \in{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} )$，$1 \leqslant p \leqslant \infty$，并假设对所有$B \in \mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$（其中$p^{- 1} + q^{- 1} = 1$）有$\mathcal{T} ( A B ) = 0$。则必然有$A = 0$。

Hölder不等式(3.2.6)可用于证明$L^{p}$-范数的log-凸性的非交换版本。更精确地说，对任何$A \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$且$0 < p \leqslant q$，$r_{\theta}$范数可以通过插值估计：$\left\| A \right\| _{r_{\theta}} \leqslant \left\| A \right\| _{p} ^{1 - \theta} \left\| A \right\| _{q} ^{\theta}$，其中$0 \leqslant \theta \leqslant 1$且$r_{\theta} : = p q \left( \theta p + ( 1 - \theta ) q \right) ^{- 1}$。这特别蕴涵

$$ \mathfrak{L} ^{p} (\mathcal{A}) \cap \mathfrak{L} ^{q} (\mathcal{A}) \subset \mathfrak{L} ^{r} (\mathcal{A}) $$$$ \forall r \in [ p, q ].\tag{3.2.9} $$

本节最后一个结果涉及$\mathcal{T}$-可测投影的一个特殊收敛性质。首先，注意元素$P \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$属于$\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$当且仅当它对每个$r > 0$属于$\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$。这仅仅来自等式$P = | P | = | P | ^{r}$（可从泛函演算平凡推导），并对每个$r > 0$蕴涵$\| P \| _{1} = \| P \| _{r} ^{r}$。要判定投影序列是否收敛到投影，仅考虑单个$\mathfrak{L} ^{p}$空间是不够的：

引理引理 3.2.13

设$\left\{P_{\alpha} \right\} \subset \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$，$1 \leqslant p < 2p \leqslant q < \infty$，是一个投影网，在max-范数$\| \cdot \| _{p \cap q}$下收敛到P。假设对所有$\alpha$有$\left\| P_{\alpha} \right\| _{q} \leqslant K$。则$P \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$且对所有$r > 0$，网$\{P_{\alpha} \}$在$\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$中收敛到P。

证明由(3.2.9)可知，对所有$s \in [ p , q ]$，$P_{\alpha}$在$\mathfrak{L} ^{s} ( \mathcal{A} )$的拓扑中收敛到P。此外，由伴随运算的等距性（参见定理3.2.8）和极限的唯一性，我们从

$$ \left\| P^{*} - P_{\alpha} \right\| _{s} = \left\| P^{*} - P_{\alpha} ^{*} \right\| _{s} = \left\| P - P_{\alpha} \right\| _{s} \longrightarrow 0 \quad \forall s \in [ p, q ] $$

推断出P在所有空间$\mathfrak{L} ^{s} ( \mathcal{A} )$（$s \in [ p , q ]$）上自动是自伴的。应用Hölder不等式得到

$$ \begin{array}{r l} \left\| P^{2} - P_{\alpha} \right\| _{p} & \leqslant \left\| P (P - P_{\alpha}) \right\| _{p} + \left\| (P - P_{\alpha}) P_{\alpha} \right\| _{p} \\ & \leqslant (\left\| P \right\| _{2 p} + \left\| P_{\alpha} \right\| _{2 p}) \left\| P - P_{\alpha} \right\| _{2 p} \\ & \leqslant (\left\| P \right\| _{2 p} + K^{\frac{q}{2 p}}) \left\| P - P_{\alpha} \right\| _{2 p} \end{array}\tag{3.2.10} $$

其中我们使用了$\left\| P_{\alpha} \right\| _{2 p} ^{2 p} = \left\| P_{\alpha} \right\| _{q} ^{q} \leqslant K^{q}$。因此，$P_{\alpha}$在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中收敛到$P^{2}$，并且极限的唯一性保证了$P^{2} = P$（作为$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的元素，从而也是$\mathfrak{L} ^{s} ( \mathcal{A} )$中的元素）。任何满足$P^{2} = P = P^{*}$的$P \in \mathfrak{L} ^{s} ( \mathcal{A} )$必然是$\mathrm{P r o j} ( {\mathcal{A}} )$的元素：根据定义，P隶属于$\mathcal{A}$，是自伴且非负的。因此，泛函演算给出$\mathsf{Spec} ( P ) \subseteq \{0 , 1 \}$，故P确实是有界算子。以下不等式

$$ \begin{array}{r l} & {\left\| P - P_{\alpha} \right\| _{r} ^{r} = \mathcal{T} \Big (\left| P - P_{\alpha} \right| ^{r - p} \left| P - P_{\alpha} \right| ^{p} \Big)} \\ & {\qquad \leqslant \left\| P - P_{\alpha} \right\| ^{r - p} \left\| P - P_{\alpha} \right\| _{p} ^{p} \leqslant 2^{r - p} \left\| P - P_{\alpha} \right\| _{p} ^{p} \longrightarrow 0,} \end{array} $$

表明$P_{\alpha}$在每个$r \geqslant p$的空间$\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$中收敛到P。此外，通过将不等式(3.2.10)中的p替换为$p/2$，我们推断$P_{\alpha}$也在$\mathfrak{L} ^{p/2} ( \mathcal{A} )$的拓扑中收敛到P。插值(3.2.9)确保对所有中间$r \geqslant \frac{p}{2}$，$P_{\alpha}$收敛到P。迭代这一论证，最终证明对所有$r > 0$都收敛。□

3.2.4 等谱变换与诱导等距#

让我们从一个结果开始，该结果提供了$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的$\mathcal{A}$-双模结构关于$\mathcal{A}$中序列（或网）强收敛的连续性。这是经典Schatten理想的一个熟知结果的类比[Grü73]。

引理引理 3.2.14

设$\{B_{\alpha} \} _{\alpha \in I} , \{C_{\alpha} \} _{\alpha \in I} \subset \mathcal{A}$是两个网，使得$B_{\alpha} \to B$和$C_{\alpha} ^{*} \to C^{*}$关于$\mathcal{A}$的SOT，且$\sup_{\alpha} \{\bigl \| B_{\alpha} \bigr \| , \bigl \| C_{\alpha} \bigr \| \} = K < + \infty$。则对每个$A \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) , 1 \leqslant p < \infty$，有$B_{\alpha} A C_{\alpha} \to B A C$在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的拓扑中成立，从而$\left\| B_{\alpha} A C_{\alpha} \right\| _{p} \to \left\| B A C \right\| _{p}$。此外，对于$p = 1$，还有$\mathcal{T} \big ( B_{\alpha} A C_{\alpha} \big ) \to \mathcal{T} ( B A C )$。

证明从$A \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A} = \mathcal{A} _{\mathcal{T}}$开始。根据[Dix81, Part I, Chapter $^{6 ,}$ Proposition 1]和[Dix81, Part I, Chapter 3, Theorem 1]，$\mathcal{A}$上由$\mathcal{A} \ni T \mapsto \mathcal{T} ( A T ) = \mathcal{T} ( T A ) \in \mathbb{C}$定义的线性形式是超弱连续的，从而是超强连续的。此外，在$\mathcal{B} ( \mathcal{H} )$的每个闭球上，uWOT与WOT（以及uSOT与SOT）一致。网$T_{\alpha} : = \left( B_{\alpha} - B \right) ^{*} \left( B_{\alpha} - B \right)$是等度有界的（界为$4 K^{2}$），并且强收敛（从而超强收敛）到0，因为对所有$\psi \in \mathcal H$有

$$ \left\| T_{\alpha} \psi \right\| _{\mathcal{H}} \leqslant \left\| B_{\alpha} - B \right\| \left\| (B_{\alpha} - B) \psi \right\| _{\mathcal{H}} \leqslant 2 K \left\| (B_{\alpha} - B) \psi \right\| _{\mathcal{H}} . $$

只需假设$A > 0$。不等式(3.2.7)给出

$$ \begin{array}{c} \left\| (B_{\alpha} - B) A \right\| _{1} ^{2} \leqslant \left\| (B_{\alpha} - B) \sqrt{A} \right\| _{2} ^{2} \left\| \sqrt{A} \right\| _{2} ^{2} \\ = \mathcal{T} (A) \mathcal{T} \Big (\sqrt{A} T_{\alpha} \sqrt{A} \Big) = \mathcal{T} (A) \mathcal{T} \big (A T_{\alpha} \big), \end{array} $$

而$T_{\alpha}$的超强收敛蕴涵$\lim_{\alpha} \mathcal{T} ( A T_{\alpha} ) = 0$。这一事实加上$\mathcal{T}$的线性和$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$在$\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$中的稠密性确保对所有$A \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$有$\lim_{\alpha} \left\| ( B_{\alpha} - B ) A \right\| _{1} \to 0$。类似地，利用$C_{\alpha} ^{*} \to C^{*} \in{\mathcal{A}}$的强收敛以及对合是等距的事实$\left\| A ( C_{\alpha} - C ) \right\| _{1} = \left\| ( C_{\alpha} ^{*} - C ^{*} ) A^{*} \right\| _{1}$，我们可以证明对所有$A \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$有$\lim_{\alpha} \bigl \| A ( C_{\alpha} - C ) \bigr \| _{1} \to 0$。由不等式

$$ \begin{array}{c} \left\| B_{\alpha} A C_{\alpha} - B A C \right\| _{1} \leqslant \left\| B_{\alpha} A (C_{\alpha} - C) \right\| _{1} + \left\| (B_{\alpha} - B) A C \right\| _{1} \\ \leqslant K \left(\left\| A (C_{\alpha} - C) \right\| _{1} + \left\| (B_{\alpha} - B) A \right\| _{1}\right) \end{array}\tag{3.2.11} $$

完成了$p = 1$情形的论证。此外，(3.2.7)中的第一个不等式给出

$$ \left| \mathcal{T} (B_{\alpha} A C_{\alpha}) - \mathcal{T} (B A C) \right| = \left| \mathcal{T} (B_{\alpha} A C_{\alpha} - B A C) \right| \leqslant \left\| B_{\alpha} A C_{\alpha} - B A C \right\| _{1} $$

这确保了$\mathcal{T} ( B_{\alpha} A C_{\alpha} )$的连续性。

这些论证通过(3.2.7)从$p = 1$推广到$p > 1$的情形，从而得到

$$ \begin{array}{r l} & {\left\| (B_{\alpha} - B) A \right\| _{p} ^{p} = \mathcal{T} \big (\left| (B_{\alpha} - B) A \right| ^{p - 1} \left| (B_{\alpha} - B) A \right| \big)} \\ & {\qquad \leqslant \left\| \left| (B_{\alpha} - B) A \right| ^{p - 1} \right\| \left\| (B_{\alpha} - B) A \right\| _{1}} \end{array} $$

如果$A \in{\mathcal{A}} _{\mathcal{T}}$。网$B_{\alpha} - B$的有界性和$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的稠密性蕴涵对所有$A \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$有$\lim_{\alpha} \bigl \| ( B_{\alpha} - B ) A \bigr \| _{p} = 0$。同上，我们也得到对所有$A \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$有$\lim_{\alpha} \bigl \| A ( C_{\alpha} - C ) \bigr \| _{p} = 0$。最后，不等式(3.2.11)在将范数$\lVert \cdot \rVert_{1}$替换为$\left\| \cdot \right\| _{p}$后也成立。□

下一个概念将在本书中发挥关键作用。

定义定义 3.2.15 (等谱变换)

设$I \subseteq \mathbb{R}$为开区间。映射$I \ni t \mapsto G ( t ) \in{\mathcal{B}} ( {\mathcal{H}} )$满足

(i) $t \mapsto G ( t )$和$t \mapsto G ( t ) ^{*}$关于SOT都是连续的，

(ii) 对每个$t \in I$，$G ( t ) ^{*} = G ( t ) ^{- 1}$是幺正的，

(iii) 对所有$A \in \mathcal{A}$和$t \in I$有$G ( t ) A G ( t ) ^{*} \in \mathcal{A}$，且

(iv) 对所有$A \in{\mathcal{A}} ^{+}$和$t \in I$有$\mathcal{T} \bigl ( G ( t ) A G ( t ) ^{*} \bigr ) = \mathcal{T} ( A )$，

称为对偶$( {\mathcal{A}} , {\mathcal{T}} )$的等谱变换（isospectral transformation）。

条件(i)处理了伴随运算通常在SOT中不连续的事实（见例如[BR02, Proposition 2.4.1]中的例子）。注意，在特殊情况$G ( t ) \in \mathcal{A}$下，条件(iii)和(iv)自动由(ii)蕴涵。

命题命题 3.2.16 (等谱动力学)

设$I \ni t \mapsto G ( t ) \in{\mathcal{B}} ( {\mathcal{H}} )$是对$( {\mathcal{A}} , {\mathcal{T}} )$的等谱变换。对每个$t \in I$考虑$\mathcal{A}$上由下式定义的迹保持的等距∗-自同构

$$ \gamma_{t} (A) := G (t) A G (t) ^{*}, $$$$ A \in \mathcal{A}. $$

映射$I \ni t \mapsto \gamma_{t} ( A )$对所有$A \in{\mathcal{A}}$是超弱连续的。此外，每个$\gamma_{t}$唯一地延拓为${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$上的∗-自同构（仍用同一符号表示），该延拓关于测度拓扑是连续的。此外：

(1) 如果$f \in L_{\mathrm{l o c}} ^{\infty} ( \mathbb{R} )$且$A \in{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$是自伴元$A = A^{*}$，则$\gamma_{t} \left( f ( A ) \right) = f \left( \gamma_{t} ( A ) \right)$。

(2) $\gamma_{t}$是保迹的，即对所有$A \in \mathfrak{M} ( \mathcal{A} ) , A \geqslant 0$有$\mathcal{T} \left( \gamma_{t} ( A ) \right) = \mathcal{T} ( A )$。

(3) 特别地，如果$A \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$则$\gamma_{t} ( A ) \in{\mathfrak{L}} ^{1} ( {\mathcal{A}} )$且$\mathcal{T} ( \gamma_{t} ( A ) ) = \mathcal{T} ( A )$。

(4) 对所有$1 \leqslant p < \infty$，映射$\gamma_{t} : \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \longrightarrow \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$是一个∗-等距，即$\left\| \gamma_{t} ( A ) \right\| _{p} = \left\| A \right\| _{p}$。此外，映射$I \ni t \mapsto \gamma_{t} \in \operatorname{Iso} ( \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) )$关于$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的拓扑是强连续的，即

$$ \lim_{t \to t_{0}} \left\| \gamma_{t} (A) - \gamma_{t_{0}} (A) \right\| _{p} = 0 \quad \forall A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}). $$

对于$p = 2$，等距$\gamma_{t}$关于$\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$的Hilbert结构是特别幺正的。

证明等谱变换$t \mapsto G ( t )$的性质以及$\mathcal{B} ( \mathcal{H} )$的范数有界子集上的乘法是强连续的这一事实蕴涵对所有$A \in{\mathcal{A}}$，$t \mapsto \gamma_{t} ( A )$在SOT中连续。此外，在范数有界子集上，有SOT = uSOT，而关于uSOT的连续性蕴涵uWOT中的连续性。关于将$\gamma_{t}$典范延拓到$\mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$的断言，以及性质(1)、(2)和(3)在[dS07, Proposition 3.3]中证明。(4)是(1)的推论，它蕴涵$\gamma_{t} ( | A | ^{p} ) = \left| \gamma_{t} ( A ) \right| ^{p}$，以及(3)保证了$\mathcal{T} \left( \gamma_{t} ( | A | ^{p} ) \right) = \mathcal{T} \left( | A | ^{p} \right)$。$t \mapsto \gamma_{t}$在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的强连续现在是引理3.2.14的推论。□

3.3 广义对易子#

第5章和第6章证明中的一个关键技术问题是如何正确定义可测算子与不一定可测算子的乘积和对易子（commutator），而可测性是它们成为$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$元素的先决条件。例如，$\mathcal{T} ( J \rho )$出现在净电流的定义中，而这个表达式只有在乘积$J \rho$属于$\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$时才有意义。类似地，可观测量的动力学是用广义对易子定义的，因此我们需要引入各种对易子的概念，它们在本质上都归结为$[ A , B ] = A B - B A$，但在数学上是不同的。

3.3.1 $\mathcal{T}$-可测算子之间的对易子#

${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$的∗-代数结构和空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的非交换Hölder不等式(3.2.6)允许我们定义代数对易子

$$ [ A, B ] _{(0)} := A B - B A \in \mathfrak{M} (\mathscr{A}), \quad A, B \in \mathfrak{M} (\mathscr{A}), $$

类似地在$\mathfrak{L} ^{p}$空间上

$$ [ A, B ] _{(r)} := A B - B A \in \mathfrak{L} ^{r} (\mathscr{A}), \qquad \qquad A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}), B \in \mathfrak{L} ^{q} (\mathscr{A}), $$

其中指数$p , q , r > 0$需要满足$p^{- 1} + q^{- 1} = r^{- 1}$。此外，迹性质(3.2.8)导致

$$ \mathcal{T} \big (A [ B, C ] _{(1)} \big) = \mathcal{T} \big ([ A, B ] _{(p)} C \big), \quad A \in \mathscr{A}, B \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}), C \in \mathfrak{L} ^{q} (\mathscr{A}),\tag{3.3.1} $$

其中我们需要施加$1 \leqslant p , q \leqslant \infty$和$p^{- 1} + q^{- 1} = 1$以确保左右两边都是有定义的。

现在考虑投影$P \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$及其正交补$P^{\perp} : = \mathbb{1} - P \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$。由于$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的$\mathcal{A}$-双模结构，

$$ [ P, A ] _{(p)} := P A - A P \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}) $$

对每个$A \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$是良好定义的，并且

$$ [ P^{\perp}, A ] _{(p)} = - [ P, A ] _{(p)} $$

成立。正交关系$P \left( \mathbb{1} - P \right) = 0 = \left( \mathbb{1} - P \right) P$和∗-双模结构的分配律产生对易子恒等式

$$ \left[ P, \left[ P, A \right] _{(p)} \right] _{(p)} = P A P^{\perp} + P^{\perp} A P\tag{3.3.2} $$

这对任何$A \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$成立。恒等式(3.3.2)将在第6.3节中发挥作用。

3.3.2 $\mathcal{T}$-可测算子与隶属算子之间的对易子#

不幸的是，当迹$\mathcal{T}$只是半有限而非有限时（参见例3.2.6(3)），${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$内部的对易子不足以满足我们的目的。事实上，在这种情况下，我们还需要处理$\mathcal{T}$-可测算子和（自伴）算子$H \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$之间的对易子，而后者不是$\mathcal{T}$-可测的（参见例3.2.7）。以下结果表明，在一定条件下，可以在$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$和${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$中的$\mathcal{T}$-可测算子之间定义一个"好的"（左）乘法。

命题命题 3.3.1 (左乘法)

假设$A \in{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$且$H \in \mathrm{A f f} ( {\mathcal{A}} )$具有稠密定义域$\mathcal{D} ( H ) \subset \mathcal{H}$，使得$H \not \in \mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$（这只有在$\mathcal{T}$是半有限而非有限时才可能）。定义乘积的初始域

$$ \mathscr{D} \big (H^{\circ} \cdot A \big) := \big \{\varphi \in \mathscr{D} (A) \mid A \varphi \in \mathscr{D} (H) \big \} \subseteq \mathscr{D} (A), $$

并且假设

(i) $\mathcal{D} ( H^{\cdot} A )$是$\mathcal{T}$-稠密的，且

(ii) $\overset{\circ} {H} \overset{\circ} {\cdot} A$在$\mathcal{D} \left( \boldsymbol{H} ^{\circ} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{A} \right)$上是可闭的。

则闭包（强积）$H A$是$\mathcal{T}$-可测的，即$H A \in{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$。

证明乘积H A在$\mathcal{D} \left( \boldsymbol{H} ^{\circ} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{A} \right)$上良好定义，并定义一个隶属于$\mathcal{A}$的元素（参见例如[Ter81, Remark 2]）。此外，$\mathcal{D} ( H^{\cdot} A )$是$\mathcal{T}$-稠密的，因而是稠密的。$H A$的闭包是具有$\mathcal{T}$-稠密定义域的$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$中的元素，因此是$\mathcal{T}$-可测算子。□

为了简化表述，让我们对每个$H \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$关联定义域

\mathfrak{L e f t} _{H} ^{p} := \left{A \in \mathfrak{M} (\mathscr{A}) \mid H A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}) \text{在命题 3.3.1 的意义下} \right}

即取值在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的左H-乘法的定义域。通过扩展这一记法，我们可以使用$\mathfrak{L} \mathfrak{e f t} _{H} ^{0}$表示使得左H-乘法仅取值于$\mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$的$\mathcal{T}$-可测算子的集合。然后我们可以引入

定义定义 3.3.2 (广义对易子)

设$H \in \mathsf{A f f} ( {\mathcal{A}} )$（不一定是$\mathcal{T}$-可测的）且$A \in{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$，使得$A \in \mathfrak{L e f t} _{H} ^{0}$且$A^{*} \in \mathfrak{L} \mathfrak{e} \mathfrak{f} \mathfrak{t} _{H^{*}} ^{0}$。则我们定义广义对易子为

$$ [ H, A ] _{\ddagger} := H A - \left(H^{*} A^{*}\right) ^{*} \in \mathfrak{M} (\mathscr{A}).\tag{3.3.3} $$

此外，我们设$[ A , H ] _{\ast} : = - [ H , A ] _{\ast}$。如果对某个$1 \leqslant p < \infty$有$A \in{\mathfrak{L}} \mathfrak{e f t} _{H} ^{p}$且$A^{*} \in \mathfrak{L e f t} _{H^{*}} ^{p}$，则称H与A之间的对易子是p-可测的，并且$[ H , A ] _{\ast} \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$。

显然，当H是自伴时，有

$$ \mathfrak{D} _{H, p} ^{00} := \left\{A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}) \biggm | A, A^{*} \in \mathfrak{L e f t} _{H} ^{p} \right\}\tag{3.3.4} $$

是$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中可以在定义3.3.2的意义下定义与H的广义对易子的最大定义域。

在以下两个备注中，我们讨论与定义$\mathcal{T}$-可测右乘法的困难以及广义对易子与通常对易子之间的关联相关的一些方面。

备注 3.3.3 (右乘法) 右积$A^{\circ} \cdot H$的定义域为$\mathcal{D} ( A^{\cdot} H ) \subset{\mathcal{D}} ( H )$。如果$H \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$但$H \not \in{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$，则$\mathcal{D} ( A^{\cdot} H )$不可能是$\mathcal{T}$-稠密的（否则H会有$\mathcal{T}$-稠密定义域）。因此右乘法的定义比左乘法困难得多。实际上，即使$\overset{\circ} {A} \overset{\circ} {\cdot} \overset{} {H}$是可闭的，也不能保证强积（闭包）$H A$具有$\mathcal{T}$-稠密定义域。另一方面，这并不意味着右乘法总是病态的。例如，如果H是自伴的且$f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$是足够快衰减的函数，则$f ( H ) \in{\mathcal{A}}$且$f ( H ) H = H f ( H ) \in{\mathcal{A}} \subset{\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$。总之，命题3.3.1只建立了与H的左乘法存在的充分条件。特别地，这并不排除在命题3.3.1未涵盖的特殊情况下也可以定义左乘法和右乘法的可能性。最后，让我们注意当$H \in \mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$时，${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$的∗-代数结构蕴涵$\left( H^{*} A^{*} \right) ^{*} = \left( ( A H ) ^{*} \right) ^{*} = A H$，且(3.3.3)退化为$\mathfrak{M} ( \mathcal{A} )$中的通常对易子。⋆

备注 3.3.4 (从广义对易子到通常对易子) 让我们刻画广义对易子（定义3.3.2）与通常对易子一致的定义域。设$H \in \mathsf{A f f} ( {\mathcal{A}} )$（不一定$\mathcal{T}$-可测）且$A \in \mathfrak{L} \mathfrak{e} \mathfrak{f} \mathfrak{t} _{H} ^{0} , A^{*} \in \mathfrak{L} \mathfrak{e} \mathfrak{f} \mathfrak{t} _{H^{*}} ^{0}$。这意味着$\mathcal{D} ( H^{\cdot} A )$和$\mathcal{D} ( H^{\ast} \cdot A^{\ast} )$都是$\mathcal{T}$-稠密的，因而是稠密定义域。考虑定义域$\mathcal{D} ( A^{\circ} \cdot H ) : = \{\psi \in \mathcal{D} ( H ) | H \psi \in \mathcal{D} ( A ) \}$。如果H不是$\mathcal{T}$-可测的，则$\mathcal{D} ( A^{\circ} H )$肯定不是$\mathcal{T}$-稠密的（参见备注3.3.3），事实上它甚至不一定稠密。鉴于$\mathcal{D} \big ( H^{*} \cdot A^{*} \big )$在$\mathcal{D} ( H^{*} A^{*} )$中稠密，我们推断对所有$\varphi \in{\mathcal{D}} \left( H^{*} \cdot A^{*} \right)$和$\psi \in{\mathcal{D}} {\big (} A^{\cdot} H {\big )}$有

$$ \left\langle \psi , \left(H^{*} A^{*}\right) \varphi \right\rangle = \left\langle H \psi , A^{*} \varphi \right\rangle = \left\langle (A H) \psi , \varphi \right\rangle . $$

这蕴涵$\mathcal{D} \big ( A^{\circ} \cdot H \big ) \subseteq \mathcal{D} \big ( ( H^{*} A^{*} ) ^{*} \big ) \cap \mathcal{D} ( H )$，因此在$\mathcal{D} ( H A ) \cap \mathcal{D} \left( A \cdot H \right)$上，广义对易子的作用与通常对易子一致：

$$ [ H, A ] _{\ddagger} \psi = (H A - A H) \psi , \quad \psi \in \mathscr{D} (H A) \cap \mathscr{D} (A^{\circ} \cdot H). $$

然而，即使$\mathcal{D} ( H A )$是$\mathcal{T}$-稠密的（因而是稠密的），交集$\mathcal{D} ( H A ) \cap \mathcal{D} ( A^{\cdot} H )$也不一定是稠密的——在没有额外假设的情况下，它甚至可能是$\{0\}$。⋆

接下来的两个结果断言，命题3.3.1中描述的左乘法对每个$H \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$和每个空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$都是良好定义的。

引理引理 3.3.5

设$H \in \mathrm{A f f} ( {\mathcal{A}} )$。对每个$B \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A} , 1 \leqslant p < \infty$，存在序列$\{B_{n} \} _{n \in \mathbb{N}} \subset \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A}$使得：

(1) $B_{n} \to B$在SOT中且$\| B_{n} \| < K$，并且左乘法$H B_{n} \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$是良好定义的。

(2) $B_{n} \to B$在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的拓扑中。

(3) H的左乘法定义在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的一个稠密定义域上。

证明 (1) 选取$B \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A}$。此外，设$H = U \left| H \right|$为H的极分解，$P_{n} ( H ) \in{\mathcal{A}}$为H在区间$[ 0 , + n ] \subset \mathbb{R}$上的谱投影。定义$B_{n} : = P_{n} ( H ) B P_{n} ( H ) \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A}$；这利用了$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$是$\mathcal{A}$-模的事实。显然，$\left\| B_{n} \right\| \leqslant \left\| B \right\|$且$B_{n} \to B$在SOT中。此外，等式$H B_{n} = U \left( P_{n} ( H ) \left| H \right| P_{n} ( H ) \right) B_{n} \in{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathrm{\mathcal{A}}} ) \cap \mathcal{A}$表明左乘法是良好定义的。

(2) 根据引理3.2.14，我们知道$P_{n} ( H ) B \to B$和$B P_{n} ( H ) \to B$在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的拓扑中收敛。然后直接估计

$$ \left\| B_{n} - B \right\| _{p} \leqslant \left\| P_{n} (H) \right\| \left\| B P_{n} (H) - B \right\| _{p} + \left\| P_{n} (H) B - B \right\| _{p} $$

以及$\| P_{n} ( H ) \| = 1$蕴涵当$n \to \infty$时$\left\| B_{n} - B \right\| _{p} \to 0$。(3) 项(2)表明H的左乘法定义在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A}$中$\left\| \cdot \right\| _{p}$-稠密的一个定义域上。然而，后者在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中又是稠密的，因为$\mathcal{A} _{\mathcal{T}} \subseteq \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A}$且根据定理3.2.8，$\mathcal{A} _{\mathcal{T}}$在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中稠密。□

推论推论 3.3.6

设$H \in \mathrm{A f f} ( {\mathcal{A}} )$是自伴的。对每个$1 \leqslant p < \infty$，定义在(3.3.4)中的定义域$\mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中稠密。

证明只需在引理3.3.5的证明中补充以下观察：$B_{n} ^{*} = P_{n} ( H ) B^{*} P_{n} ( H )$和$H B_{n} ^{*} = U \left( P_{n} ( H ) \left| H \right| P_{n} ( H ) \right) B_{n} ^{*}$也在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A}$中。这蕴涵$\{B_{n} \} _{n \in \mathbb{N}} \subset \mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$，并且我们从引理3.3.5(3)的相同论证得到稠密性。□

命题3.3.1提供了将空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的模结构通过$\operatorname{A f f} ( \mathcal{A} )$的左乘法进行扩展的方法。结果表明，这一扩展保持了标准左模结构的许多性质。以下引理将多次使用，对此进行了精确阐述。

引理引理 3.3.7 (扩展的左模结构)

假设给定$A \in{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} )$，且$H \in \operatorname{A f f} ( {\mathcal{A}} )$使得$A \in \mathfrak{L e f t} _{H} ^{p}$。则以下事实成立：

(1) 设$B \in{\mathcal{A}}$使得$\mathcal{D} _{H , A} ( B ) : = \{\varphi \in \mathcal{H} \mid B \varphi \in \mathcal{D} \big ( H \cdot A \big ) \}$是$\mathcal{T}$-稠密的。则左乘法$H \left( A B \right)$是良好定义且结合的，使得

$$ H A B := (H A) B = H (A B), $$

作为$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的元素成立。此外，如果$B \in \mathcal{A}$在$\mathcal{A}$中可逆，则结合性自动成立。

(2) 额外假设$H^{- 1} \in{\mathcal{A}}$，并设$J \in \mathrm{A f f} ( \mathcal{A} )$使得${\mathcal{D}} ( H ) \subseteq{\mathcal{D}} ( J )$且$A \in \mathfrak{L e f t} _{J} ^{p}$成立。则$J H^{- 1} \in \mathcal{A}$，并且两个乘积

$$ J A = \left(J H^{- 1}\right) (H A) \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}) $$

一致。特别地，这适用于$J \in{\mathcal{A}}$本身在代数中的情况。

证明 (1) 由于包含关系$\mathcal{D} \big ( H^{\circ} \cdot A \big ) \subseteq \mathcal{D} ( H A )$蕴涵$\mathcal{D} _{H , A} ( B ) \subseteq \mathcal{D} \big ( H^{\circ} ( A B ) \big )$，我们知道定义域$\mathcal{D} \big ( \boldsymbol{H} \cdot ( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} ) \big )$必然是$\mathcal{T}$-稠密的。此外，可以验证

$$ (H A) (B \varphi) = H (A (B \varphi)) = H ((A B) \varphi), \quad \varphi \in \mathscr{D} _{H, A} (B)\tag{3.3.5} $$

其中第二个等式由$B \varphi \in{\mathcal{D}} ( A )$保证，这确保$( A B ) \varphi = A ( B \varphi )$。让我们回忆一下，算子$A B \in{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} )$由于空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的$\mathcal{A}$-双模结构而存在。方程(3.3.5)表明（未闭的）算子$( H A ) ^{\circ} \cdot B$和$\boldsymbol{H} \cdot ( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} )$在$\mathcal{T}$-稠密定义域$\mathcal{D} _{H , A} ( B )$上一致。$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的$\mathcal{A}$-双模结构蕴涵$( H A ) ^{^{\circ}} \cdot B$是可闭的（参见[Ter81, Proposition 24 (1)]）且$( H A ) B \in{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} )$。作为(3.3.5)的推论，$H \cdot ( A B )$也是可闭的，并且两个闭算子（强乘法）$( H A ) B = H ( A B )$根据命题3.2.5作为${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$中的元素相等，从而也作为$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的元素相等。如果B是可逆的，则$\mathcal{D} _{H , A} ( B ) = \boldsymbol{B} ^{- 1} [ \mathcal{D} ( \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{A} ) ]$，并且检查定义3.2.2可知$B^{- 1}$的左乘法保持变换后的定义域的$\mathcal{T}$-稠密性。

(2) 条件${\mathcal{D}} ( H ) \subseteq{\mathcal{D}} ( J )$和$J \in \mathrm{A f f} ( {\mathcal{A}} )$确保强积$\boldsymbol{J} ^{\circ} \cdot \boldsymbol{H} ^{- 1}$在$\mathcal{H}$上整体定义且可闭。因此，强积定义了一个元素$J H^{- 1} \in \mathsf{A f f} ( \mathcal{A} )$（参见备注3.1.5），而根据闭图像定理它是有界的。于是，有$J H^{- 1} \in {\mathcal{A}}$。关于定义域的条件还蕴涵$\mathcal{D} ( H \cdot A ) \subseteq \mathcal{D} ( J A )$，这确保了对任何$\varphi \in{\mathcal{D}} ( H^{\cdot} A )$有

$$ \left(J H^{- 1}\right) (H A) \varphi = J \left(H^{- 1} (H (A \varphi))\right) = J (A \varphi) = (J A) \varphi . $$

因此，两个算子$\left( J H^{- 1} \right) ^{\circ} \cdot ( H A )$和$\overset{\circ} {J} \cdot \overset{} {A}$在$\mathcal{T}$-稠密定义域$\mathcal{D} ( H^{\cdot} A )$上一致，并且都是可闭的。于是，$J A = \left( J H^{- 1} \right) \left( H A \right)$首先作为${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$中的元素（命题3.2.5），从而也作为$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的元素成立。□

这些结果扩展到有限和与积分。

推论推论 3.3.8 (左乘法的线性性)

假设给定一族$\left\{A_{1} , \ldots , A_{n} \right\} \subset{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} )$，且$J , H \in \mathsf{A f f} ( {\mathcal{A}} )$使得$\mathcal{D} ( H ) \subseteq \mathcal{D} ( J ) , H^{- 1} \in \mathcal{A}$，且$A_{1} , \dotsc , A_{n} \in{\mathfrak{L e f t}} _{J} ^{p} \cap{\mathfrak{L e f t}} _{H} ^{p}$。则扩展的左乘法是分配的，即方程

$$ J \left(A_{1} + \ldots + A_{n}\right) = J A_{1} + \ldots + J A_{n} $$

的两边作为$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的元素一致。

证明强和$J A_{1} + \ldots + J A_{n}$在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中良好定义，并且利用引理3.3.7(2)和$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的$\mathcal{A}$-双模结构，我们有

$$ \begin{array}{c} J A_{1} + \ldots + J A_{n} = (J H^{- 1}) (H A_{1}) + \ldots + (J H^{- 1}) (H A_{n}) \\ = (J H^{- 1}) (H A_{1} + \ldots + H A_{n}). \end{array} $$

定义域$\mathcal{D} \big ( H A_{1} + . . . + H A_{n} \big )$包含有限多个$\mathcal{T}$-稠密定义域$\mathcal{D} \big ( \boldsymbol{H} ^{\circ} \cdot \boldsymbol{A} _{k} \big )$的交，因此仍然是$\mathcal{T}$-稠密的（参见[Ter81, Proposition 5 (ii)]中的论证）。以下等式

$$ J A_{1} + \dots + J A_{n} = J \left(H^{- 1} \left(H A_{1} + \dots + H A_{n}\right)\right) $$

首先在$\mathcal{D} \big ( \boldsymbol{H} ^{\circ} \cdot \boldsymbol{A} _{k} \big )$的$\mathcal{T}$-稠密交上得到证明，然后通过命题3.2.5延拓到强积。最后，$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的$\mathcal{A}$-双模结构提供了所需的等式。□

上述论证可以逐字重复，当和替换为收敛级数或Bochner积分时同样适用。特别地，我们将使用以下结果：

推论推论 3.3.9

假设$t \mapsto A ( t ) \in L^{1} \big ( \mathbb{R} , \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \big )$是Bochner可积函数，且$J , H \in \mathrm{A f f} ( {\mathcal{A}} )$使得$\mathcal{D} ( H ) \subseteq \mathcal{D} ( J ) , H^{- 1} \in \mathcal{A}$，对几乎所有$t \in \mathbb{R}$有$A ( t ) \in \mathfrak{L} \mathfrak{e f f} _{J} ^{p} \cap \mathfrak{L} \mathfrak{e f f} _{H} ^{p}$，且$t \mapsto H A ( t ) \in L^{1} \big ( \mathbb{R} , \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \big )$。则我们可以将J移入积分内部，即

$$ J \int_{\mathbb{R}} \mathrm{d} t A (t) = \int_{\mathbb{R}} \mathrm{d} t J A (t) $$

作为$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的元素成立。

3.3.3 无界算子之间的对易子#

还有第三种类型的对易子必须为本书的目的考虑，其中两个算子都不是可测的。例如，假设5中的电流算子就属于这种形式。假设：

(i) H是自伴的，并且存在稠密定义域$\mathcal{D} _{\mathrm{c}} \subset \mathcal{H}$（称为局部化定义域（localizing domain）），使得$\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) : = \mathcal{D} _{\mathrm{c}} \cap \mathcal{D} ( H )$是H的核。

(ii) X是具有稠密定义域${\mathcal{D}} ( X ) \supseteq \mathcal{D} _{\mathrm{c}}$的闭算子，使得$X [ \mathcal{D} _{\mathrm{c}} ] \subseteq \mathcal{D} ( H )$。

(iii) $H [ \mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) ] \subseteq \mathcal{D} _{\mathrm{c}}$。

在这些条件下，$\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$同时包含在$\mathcal{D} ( H X )$和${\mathcal{D}} ( X H )$中，因此

$$ [ X, H ] \psi := (X H - H X) \psi , $$$$ \psi \in \mathcal{D} _{\mathrm{c}} (H),\tag{3.3.6} $$

在这个公共核$\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) \subset \mathcal{H}$上是良好定义的。如果表达式(3.3.6)在$\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$上是可闭的，我们用其闭包的i倍记为

$$ \operatorname{ad} _{X} (H) := \mathrm{i} \overline{{[ X , H ]}}. $$

如果X也是自伴的，则$\operatorname{a d} _{X} ( H )$也是自伴的。

3.4 非交换Sobolev空间#

就像在通常的$L^{p}$理论中一样，存在非交换版本的Sobolev空间，其元素具有额外的正则性性质。这里，"导数"与一组生成元$\left\{X_{1} , \ldots , X_{d} \right\}$相关联（例如假设3）。形式上说，这些导数是交换子$\mathrm{i} [ X_{k} , \cdot ]$，尽管正如我们在上一小节中看到的，这种朴素的定义会导致可测性问题。

3.4.1 $\mathcal{T}$-相容空间导数#

相反，我们选择一种不同的方法：设$\mathbb{R} \ni t \mapsto G ( t ) \in{\mathcal{B}} ( {\mathcal{H}} )$是根据定义3.2.15的等谱变换。额外假设$t \mapsto G ( t )$是单参数幺正群。那么，根据Stone定理[RS72, Theorem VIII.8]，该群允许一个指数表示$G ( t ) = \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X}$，其中X是定义域${\mathcal{D}} ( X ) \subset{\mathcal{H}}$上的（可能无界的）自伴算子。与假设3比较，我们可以说X是与等谱变换$G ( t )$关联的$\mathcal{T}$-相容生成元。此外，命题3.2.16的第一部分确保X生成一个$\mathcal{A}$的∗-自同构的单参数群$\mathbb{R} \ni t \mapsto \boldsymbol{\eta} _{t} ^{X} \in \mathrm{Aut} ( \mathcal{A} )$，定义为

$$ \eta_{t} ^{X} (A) := \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X} A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X}, $$$$ A \in \mathcal{A}, t \in \mathbb{R}\tag{3.4.1} $$

使得对所有$A \in{\mathcal{A}}$，$t \mapsto \eta_{t} ^{X} ( A )$在uWOT（以及SOT）中连续。于是，映射$t \mapsto \eta_{t} ^{X}$在[dS07, Section 4 & 6]引入的术语意义上定义了$\mathcal{A}$上的一个$\mathbb{R}$-流²。规定

$$ \partial_{X} (A) := \lim_{t \to 0} \frac{\eta_{t} ^{X} (A) - A}{t}, $$$$ A \in \mathfrak{D} _{X, \infty} \subset \mathcal{A},\tag{3.4.2} $$

视为uWOT中的极限，定义了$\mathcal{A}$上的一个无界导数（derivation），定义域为${\mathfrak{D}} _{X , \infty}$ [BR02, Definition 3.1.5]。众所周知，元素$A \in{\mathfrak{D}} _{X , \infty}$由条件$A [ {\mathcal{D}} ( X ) ] \subseteq{\mathcal{D}} ( X )$和作为对易子的表示所刻画：

$$ \partial_{X} (A) = \mathrm{i} [ X, A ] = \mathrm{ad} _{X} (A) \in \mathcal{A},\tag{3.4.3} $$

其中$[ X , A ] : = X A - A X$在$\mathcal{D} ( X )$上是可闭的，且其闭包属于${\mathcal{A}}$。通常将算子$\partial_{X} : \mathfrak{D} _{X , \infty} \longrightarrow \mathcal{A}$（在(3.4.2)或等价地(3.4.3)中给出）称为$\mathcal{A}$的空间导数（spatial derivation）[BR02, Section 3.2.5]。显然，$\partial_{X}$是线性算子，此外还满足Leibniz法则

$$ \partial_{X} (A B) = \partial_{X} (A) B + A \partial_{X} (B) \quad \forall A, B \in \mathfrak{D} _{X, \infty} $$

并且是对称的，即

$$ \partial_{X} (A^{*}) = \partial_{X} (A) ^{*} $$$$ \forall A \in \mathfrak{D} _{X, \infty}. $$

因此，定义域${\mathfrak{D}} _{X , \infty}$是$\mathcal{A}$的一个∗-子代数。可以证明空间导数满足$\left\| A - \lambda \partial_{X} ( A ) \right\| \geqslant \|A\|$对所有$A \in{\mathfrak{D}} _{X , \infty}$和$\lambda \in \mathbb{R}$成立[BR02, Corollary 3.2.56]。在${\mathfrak{D}} _{X , \infty} = {\mathcal{A}}$的情况下，称$\partial_{X}$为有界空间导数，这当且仅当$\left\| X \right\| < + \infty$时是可能的。

空间导数的概念可以从$\mathcal{A}$延拓到Banach空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$。命题3.2.16确保规定(3.4.1)首先典范延拓到${\mathfrak{M}} ( {\mathcal{A}} )$上的∗-自同构单参数群，然后对每个$1 \leqslant p < \infty$定义$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$上的∗-等距的强连续单参数群$\mathbb{R} \ni t \mapsto \eta_{t} ^{X} \in \operatorname{I s o} ( \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) )$。这允许我们利用Banach空间上的$C_{0}$-半群理论[BR02; EN00]在$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$上定义空间导数。

定义定义 3.4.1 (T-相容空间导数)

一个$\mathcal{T}$-相容生成元X在每个Banach空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) , 1 \leqslant p < \infty$上根据以下公式定义一个$\mathcal{T}$-相容空间导数

$$ \partial_{X} (A) := \lim_{t \to 0} \frac{\eta_{t} ^{X} (A) - A}{t}, \qquad \qquad \qquad A \in \mathfrak{D} _{X, p} \subset \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}), $$

其中极限关于范数$\left\| \cdot \right\| _{p}$的一致拓扑取。定义域由${\mathfrak{D}} _{X , p} : = \{A \in{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} ) ~ | ~ \partial_{X} ( A ) \in{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} ) \}$给出。

我们注意到$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$上的$\mathcal{T}$-相容空间导数$\partial_{X}$自动具有范数稠密定义域${\mathfrak{D}} _{X , p}$并且是闭的（参见例如[EN00, Corollary 7.3]）。由于$\eta_{t} ^{X}$是有界群作用，生成元的谱$\mathsf{Spec} ( \partial_{X} )$包含在$\mathrm{i} \mathbb{R}$中。对$\lambda \in \mathbb{C}$且$\mathrm{Re} ( \lambda ) > 0$，$\partial_{X}$的预解式由Laplace变换给出（参见例如[EN00, Theorem 1.10]）：

$$ \frac{1}{\partial_{X} \pm \lambda} (A) = \pm \int_{0} ^{+ \infty} d t e^{- \lambda t} \eta_{\mp t} ^{X} (A), \quad A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathscr{A}),\tag{3.4.4} $$

其中右边视为$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$中的范数收敛Bochner积分。集合${\mathfrak{D}} _{X , p} \cap \mathcal{A}$足够大，足以确定导数$\partial_{X}$。

命题命题 3.4.2

设X为$\mathcal{T}$-相容生成元，$\mathbb{R} \ni t \mapsto \eta_{t} ^{X} \in \mathrm{Iso} ( \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) )$（$1 \leqslant p < \infty$）为关联的单参数群，$\partial_{X}$为相关的导数。则：

(1) 集合

$$ \mathfrak{D} _{X, p} ^{0} := \left\{A \in \mathfrak{D} _{X, p} \cap \mathscr{A} \mid \partial_{X} (A) \in \mathscr{A} \right\} $$

是$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$上$\partial_{X}$的一个核，可刻画为

$$ \mathfrak{D} _{X, p} ^{0} = \left\{A \in \mathfrak{D} _{X, p} \cap \mathcal{A} \bigm | A [ \mathcal{D} (X) ] \subset \mathcal{D} (X), [ X, A ] \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathcal{A}) \cap \mathcal{A} \right\}\tag{3.4.5} $$

其中对所有$A \in \mathfrak{D} _{X , p} ^{0}$有$\partial_{X} ( A ) = \operatorname{i} \left[ X , A \right]$。

(2) 设$C^{1 + \delta} ( \mathbb{R} )$（$\delta > 0$）为$\mathbb{R}$上连续可微函数的空间，具有有界导数$f^{\prime}$，且对所有$x , y \in \mathbb{R}$和$C \geqslant 0$满足$\left| f^{\prime} ( x ) - f^{\prime} ( y ) \right| \leqslant C | x - y | ^{\delta}$。则如果$A = A^{*} \in \mathfrak{D} _{X , p}$且$f \in C^{1 + \delta} ( \dot{\mathbb{R}} )$满足$f ( 0 ) = 0$，那么$f ( A ) \in{\mathfrak{D}} _{X , p}$。

证明项(1)的第一部分在[dS07, Theorem 4.3]中证明，特别蕴涵${\mathfrak{D}} _{X , p} \cap{\mathcal{A}}$是$\partial_{X}$的核。刻画(3.4.5)和等式$\partial_{X} ( A ) = \operatorname{i} \left[ X , A \right]$在[dS07, Theorem 7.3]中得到证明，表明在核${\mathfrak{D}} _{X , p} ^{0}$上算子$\partial_{X}$起到空间导数的作用。项(2)在[dS07, Corollary $5 . 9 ]$中证明。□

$p = \infty$的情形略有不同，因为$\mathfrak{L} ^{\infty} ( \mathcal{A} ) = \mathcal{A}$包含单位元，并且$\mathbb{R}$-流$t \mapsto \eta_{t} ^{X}$只是超弱连续的。尽管如此，(1)和(2)的类比存在，并在[BR02, Proposition 3.1.6]和[Sak91, Theorem 3.3.7]中得到证明。

经典导数的许多通常性质在这个非交换框架中仍然有效。

命题命题 3.4.3

以下事实成立：

(1) 对所有$A \in \mathfrak{D} _{X , 1}$有$\mathcal{T} \left( \partial_{X} ( A ) \right) = 0$。

(2) 对所有$A \in{\mathfrak{D}} _{X , p}$和$B \in \mathfrak{D} _{X , q}$（其中$p^{- 1} + q^{- 1} = 1$），Leibniz法则

$$ \partial_{X} (A B) = \partial_{X} (A) B + A \partial_{X} (B),\tag{3.4.6} $$

成立，并且我们可以进行分部积分

$$ \mathcal{T} \big (A \partial_{X} (B) \big) = - \mathcal{T} \big (\partial_{X} (A) B \big).\tag{3.4.7} $$

证明 (1) 条件$A \in{\mathfrak{D}} _{X , 1}$意味着在极限中序列

$$ \Delta_{n} (A) := n \left(\eta_{1 / n} ^{X} (A) - A\right) \in \mathfrak{L} ^{1} (\mathscr{A}) $$

收敛到$\partial_{X} ( A ) \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$，因此估计式

$$ \left| \mathcal{T} \left(\Delta_{n} (A)\right) - \mathcal{T} \left(\partial_{X} (A)\right) \right| \leqslant \mathcal{T} \left(\left| \Delta_{n} (A) - \partial_{X} (A) \right|\right) = \left\| \Delta_{n} (A) - \partial_{X} (A) \right\| _{1} $$

表明也有$\lim_{n \to \infty} \mathcal{T} \big ( \Delta_{n} ( A ) \big ) = \mathcal{T} \big ( \partial_{X} ( A ) \big )$。然而，$\mathcal{T} ( \Delta_{n} ( A ) ) = 0$因为∗-同态$\eta_{t} ^{X}$是保迹的。这证明了$\mathcal{T} \big ( \partial_{X} ( A ) \big ) = 0$。

(2) 这是[dS07, Proposition 4.5]的一个小修改。关键点是$A B \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$（得益于非交换Hölder不等式），因此流$t \mapsto \eta_{t} ^{X} ( A B ) = \eta_{t} ^{X} ( A ) \eta_{t} ^{X} ( B )$在$\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$中良好定义。利用这一分解，并适当加减项，得到

$$ \frac{\eta_{t} ^{X} (A B) - A B}{t} = \left(\eta_{t} ^{X} (A) - A\right) \frac{\eta_{t} ^{X} (B) - B}{t} + A \frac{\eta_{t} ^{X} (B) - B}{t} + \frac{\eta_{t} ^{X} (A) - A}{t} B. $$

根据对A和B的假设，我们可以对和中的每一项应用Hölder不等式，因此只需分别估计每一项。差商分别收敛到$\partial_{X} ( A )$和$\partial_{X} ( B )$。因此，后两项组合起来给出了(3.4.6)的右边。第一项消失，因为$\mathbb{R}$-流是强连续的，即对所有$A \in{\mathfrak{L}} ^{p} ( {\mathcal{A}} )$有$\lim_{t \to 0} \| \eta_{t} ^{X} ( A ) - A \| _{p} = 0$。因此，乘积$A B \in \mathfrak{D} _{X , 1}$是可微的，并得到Leibniz法则(3.4.6)。公式(3.4.7)是(1)和Leibniz法则的直接推论。□

备注 3.4.4 [dS07, Proposition 4.5]中的原始结果建立了对$A , B \in \mathfrak{D} _{X , p} \cap \mathcal{A}$的Leibniz法则（这与我们的命题不同，该命题中A和B是共轭$\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$空间中的元素）。这蕴涵$\mathfrak{D} _{X , p} \cap \mathcal{A}$是$\mathcal{A}$的一个∗-子代数。我们指出，对于同一定义域${\mathfrak{D}} _{X , p}$内的一般算子对，Leibniz法则不能成立，因为$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$对算子乘积不封闭。最后，如果$A \in{\mathfrak{D}} _{X , \infty}$但$A \notin \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$，Leibniz法则可能不成立。实际上，$A \in{\mathfrak{D}} _{X , \infty}$意味着差商(3.4.2)关于uWOT收敛，而不是关于$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的范数拓扑收敛。⋆

作为Leibniz法则的一个应用，考虑投影$P \in \mathfrak{D} _{X , p} \cap \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$。利用$P^{2} = P$和$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$的$\mathcal{A}$-双模结构，得到

$$ \partial_{X} (P) = P \partial_{X} (P) + \partial_{X} (P) P \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathcal{A}).\tag{3.4.8} $$

从(3.4.8)和∗-双模结构的分配律，我们立即推导出$P \partial_{X} ( P ) P = 0 = P^{\perp} \partial_{X} ( P ) P^{\perp}$，其中$P^{\perp} = \mathbb{1} - P \in \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} )$是补投影。这意味着$\partial_{X} ( P )$纯粹是离对角（off-diagonal）的：

$$ \partial_{X} (P) = P \partial_{X} (P) P^{\perp} + P^{\perp} \partial_{X} (P) P.\tag{3.4.9} $$

(3.3.2)与(3.4.9)之间的比较提供了以下将在第6.3节中有用的结果。

引理引理 3.4.5

对所有$P \in \mathfrak{D} _{X , p} \cap \mathrm{P r o j} ( \mathcal{A} ) , 1 \leqslant p \leqslant \infty$，我们有以下恒等式

$$ \left[ P, \left[ P, \partial_{X} (P) \right] _{(p)} \right] _{(p)} = \partial_{X} (P) \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathcal{A}). $$

3.4.2 非交换梯度与Sobolev空间#

$\mathcal{T}$-相容空间导数的概念允许我们定义非交换版本的Sobolev空间。

定义定义 3.4.6 (梯度与Sobolev空间)

Banach空间$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) , 1 \leqslant p \leqslant \infty$中的非交换（d维）梯度是一族$\mathcal{T}$-相容空间导数$\nabla : = \left( \partial_{X_{1}} , \ldots , \partial_{X_{d}} \right)$，其（最大）公共定义域为

$$ \mathfrak{W} ^{1, p} (\mathcal{A}) := \bigcap_{j = 1} ^{d} \mathfrak{D} _{X_{j}, p} = \Big \{A \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathcal{A}) \big | \nabla (A) \in \mathfrak{L} ^{p} (\mathcal{A}) ^{\times d} \Big \}. $$

满足

$$ \partial_{X_{j}} \big (\partial_{X_{k}} (A) \big) = \partial_{X_{k}} \big (\partial_{X_{j}} (A) \big), \quad A \in \mathfrak{W} ^{1, p} (\mathscr{A}),\tag{3.4.10} $$

对所有$j , k \in \{1 , . . . , d \}$成立。定义域$\mathfrak{W} ^{1 , p} ( \mathcal{A} )$称为非交换Sobolev空间，并且在赋予范数

$$ \| A \| _{1, p} := \| A \| _{p} + \sum_{j = 1} ^{d} \left\| \partial_{X_{j}} (A) \right\| _{p}, \quad A \in \mathfrak{W} ^{1, p} (\mathscr{A}). $$

后是一个Banach空间。

备注 3.4.7 (强交换生成元) 关于导数交换性的性质(3.4.10)本质上是对生成导数的$\mathbb{R}$-流交换性的条件，即对每对生成元$X_{j}$和$X_{k}$以及时间$t , s \in \mathbb{R}$，有$\eta_{t} ^{X_{j}} \circ \eta_{s} ^{X_{k}} = \eta_{s} ^{X_{k}} \circ \eta_{t} ^{X_{j}}$。简单计算表明，该条件等价于要求形如$\mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{j}} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s X_{k}} \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{j}} \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s X_{k}}$的表达式必须位于交换子$\mathcal{A} ^{\prime}$中。当然，如果$\mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X_{j}} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s X_{k}} \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X_{j}} \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s X_{k}} = \mathbb{1}$，即生成元$X_{j}$和$X_{k}$强交换[RS72, Section VIII.5]或[Sch12, Section 5.6]，就是这种情况。在这种情况下，存在一个不变公共核$\mathcal{D} _{\mathrm{c}} \subset \mathcal{H}$，使得对所有$j = 1 , \ldots , d$有$\mathcal{D} _{\mathrm{c}} \subset \mathcal{D} ( X_{j} )$和$X_{j} [ \mathcal{D} _{\mathrm{c}} ] \subset \mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ [Sch12, Corollary 5.28]。更具体地说，$\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$是每个$X_{j}$的稠密解析向量集（在[RS75, Section X.6]的意义上），我们将$\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$称为d元组$\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$的局部化定义域（localizing domain）。强交换算子族存在联合谱分解（例如[Sch12, Theorem 5.23]）这一事实允许证明形如$\lambda_{1} X_{1} + . . . + \lambda_{d} X_{d}$（$\lambda_{1} , \ldots , \lambda_{d} \in \mathbb{R}$）的线性组合在$\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$上本质自伴，因此唯一地定义自伴算子（参见例如[Ara05, Lemma 2.13]了解更多细节）。⋆