本书的总体目标是提出一个解析-代数框架，使线性响应理论（Linear Response Theory, LRT）能够在一大类系统中严格成立。本章的目的是解释设定、列举数学假设并陈述主要结果。

2.1 抽象设定的描述#

构建通用且相当抽象的 LRT 设定的第一步是引入主要成分。

理论的基本要素：#

(H1) 一个 von Neumann 代数 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} ( \mathcal{H} )$，作用于（未必可分的）Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的有界算子代数，包含关于所研究系统的相关信息。该 von Neumann 代数配有一个迹 $\mathcal{T}$，使我们能够计算与系统相关的可观测量（observables）的期望值。

(H2) 一个（可能无界的）自伴 Hamiltonian H，从属于（affiliated to）$\mathcal{A}$，它规定了系统的未受微扰动力学（unperturbed dynamics）。

(H3) 一组 $\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$ 个（可能无界的）自伴算子，一个向量 $\Phi \in \mathbb{R} ^{d}$（记其长度为 $\Phi := | \Phi |$）和一个正参数 $\varepsilon > 0$，它们进入酉值映射 $\mathbb{R} \ni t \mapsto G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的定义。

(H4) 后者通过用 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 共轭 Hamiltonian H 来定义含时的绝热等谱微扰（adiabatic isospectral perturbation）：

(H5) 一个由含时（可能无界）算子 $\mathbb{R} \ni t \mapsto J ( t )$ 描述的瞬时可观测量（instantaneous observable），它模拟系统在时刻 t 的某个相关物理性质。

(H6) 一个正算子 $\rho \in \mathcal{A} ^{+}$，称为（初始）平衡态（equilibrium state），它编码了系统在 $t = -\infty$ 时的状态。

上述各要素之间的"相容性"和"相互作用"由一组六个假设来保证，每个假设对应上述一个条目。

注 2.1.1（本书的假设） 在本书中，每当提到"在假设下"时，我们指的是下文中的假设 1-6。每个假设列举了与基本要素列表中相应条目相关的技术假定，例如假设 1 规定了 (H1) 的精确设定。⋆

我们认为，某些结果可以在更弱或完全不同的假设下得到证明，但由于本书的总体目标是提供一个广泛适用且稳健的 LRT 框架，我们并不追求最大程度的普遍性，而是刻意避免不必要的技术复杂性。

第一个假设描述了 (H1) 中 von Neumann 代数与迹之间的关系：

假设 1（von Neumann 代数与迹） von Neumann 代数是半有限的（semi-finite），迹 $\mathcal{T}$ 是忠实的（faithful）、正规的（normal）且半有限的（f.n.s.）。

关于 von Neumann 代数的基本事实（包括从属关系（affiliation）的概念）和 f.n.s. 迹将在第3.1节中回顾，而一些具体例子将在第4章和第7章中预先介绍。假设 1 保证了在 $\mathcal{A}$ 上发展"相干"（非交换）积分理论的可能性（见第3.2节）。这样的迹允许对所有 $1 \leqslant p < \infty$ 构造 Banach 空间 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$，这些空间是与 $\mathcal{A}$ 相关联的"$p$-Schatten 类"，并且这些 Banach 空间是经典 $L^{p}$ 空间的类比。特别地，$\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathcal{A} = \mathcal{A} _{\mathcal{T}}$ 是 $\mathcal{A}$ 中迹 $\mathcal{T}$ 定义良好的最大定义域（实际上是理想）。关于 $\mathcal{T}$ 的 Hilbert-Schmidt 元素自然构成 Hilbert 空间 $\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$，其内积为 $\langle \langle A , B \rangle \rangle_{\mathfrak{L} ^{2}} : = \mathcal{T} ( A^{\ast} B )$，其中 $A , B \in \mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$。我们指出，$\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 空间也可能包含无界算子，这里我们看到，如果要超越有界紧束缚算子（bounded tight-binding operators）（参见第2.6节和第7章），von Neumann 代数的框架是必要的。事实上，von Neumann 代数本身可以等同于 $\mathfrak{L} ^{\infty} ( \mathcal{A} ) = \mathcal{A}$，我们经常使用这一等同来简化记号。

由于我们允许多无界 Hamiltonian，H 不必是 $\mathcal{A}$ 的元素。取而代之，以下假设就足够了：

假设 2（未受微扰 Hamiltonian） $H \in \mathrm{Aff} ( \mathcal{A} )$ 是 $\mathcal{H}$ 上的自伴算子，从属于 $\mathcal{A}$（见定义 3.1.3），其中 $\mathrm{Aff} ( \mathcal{A} )$ 是从属于 $\mathcal{A}$ 的闭稠定算子（closed and densely defined operators）之集合。

遗憾的是，在所有 H 无界的物理相关情形中，Hamiltonian H 不属于任何 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 空间（见注 3.2.7），尽管 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 包含无界元素。然而，由于 H 从属于 $\mathcal{A}$，由 H 生成的时间演化

通常可以自然地延拓为每个 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 空间上的单参数等距群（R-流）$\mathbb{R} \ni t \mapsto \boldsymbol{\alpha} _{t} ^{0} \in \mathrm{Iso} \left( \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} ) \right)$。作为命题 3.2.16 的推论，该流在 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上是强连续的（strongly continuous），即

Banach 空间上 $C_{0}$-群理论的标准论证保证了 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上的动力学 $\boldsymbol{\alpha} _{t} ^{0}$ 是由一个稠定无穷小生成元 $\mathcal{L} _{H} ^{\left( p \right)}$ 诱导的，该生成元称为 p-Liouville 算符（见第5.1.1节）。

推论 2.1.2（未受微扰动力学） 假设假设 1 和 2 成立。则 Hamiltonian H 在 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上诱导强连续的单参数等距群（R-流），

对每个 $1 \leqslant p < \infty$ 成立，称为未受微扰动力学。其生成元 $\mathcal{L} _{H} ^{\left( p \right)}$（即 p-Liouville 算符）具有核 $\mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$（见方程 (3.3.4)），在其上它作为广义对易子（generalized commutator）作用：

我们将在第5.1节中研究 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上的未受微扰动力学及其生成元 $\mathcal{L} _{H} ^{\left( p \right)}$。广义对易子

和定义域 $\mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$ 的概念将在第3.3.2节中描述。

(H3) 中描述的算子集 $\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$ 要求与迹 $\mathcal{T}$ 在代数 $\mathcal{A}$ 上诱导的积分概念相容。这一事实由以下假设涵盖：

假设 3（$\mathcal{T}$-相容生成元） 自伴算子 $\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$ 是 $\mathcal{T}$-相容生成元，即对所有 $k = 1 , \ldots , d$ 和所有 $s \in \mathbb{R}$，它们满足

(i) $\mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s X_{k}} A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s X_{k}} \in \mathcal{A}$ 对所有 $A \in \mathcal{A}$ 成立，

(ii) $\mathcal{T} ( \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} s X_{k}} A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} s X_{k}} ) = \mathcal{T} ( A )$ 对所有位于迹理想 $\mathcal{A} _{\mathcal{T}} \subset \mathcal{A}$ 中的 A 成立，且

(iii) $\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$ 是强交换的（strongly commuting），即

我们将整数 d 称为维数，并将公共不变核 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ 称为局域化域（localizing domain）。

这一假设允许在 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上通过下式引入（$\mathcal{T}$-相容）空间导子（spatial derivations）：

至少在形式上，$\partial_{X_{k}} ( A )$ 可以视为对易子 $\mathrm{i} \left[ X_{k} , A \right]$。显然，它们在每个 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上是稠定的（见第3.4节），并且相关联的梯度 $\nabla : = \left( \partial_{X_{1}} , \ldots , \partial_{X_{d}} \right)$ 产生了（非交换）Sobolev 空间：

生成元的强交换性（假设 3 (iii)）有几个推论：首先，它保证了导子 $\partial_{X_{i}}$ 之间的交换性。其次，它保证了局域化域 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} \subset \mathcal{H}$ 的存在性 [Sch12, 推论 5.28]。因此，线性组合 $\lambda_{1} X_{1} + ... + \lambda_{d} X_{d}$（其中 $\lambda_{1} , \dots , \lambda_{d} \in \mathbb{R}$）在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ 上是本质自伴的，从而延拓为唯一确定的自伴算子。

假设 3 还在酉算子族 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的定义中起关键作用，后者通过方程 (2.1.1) 实现 Hamiltonian 的绝热等谱微扰。

假设 4（绝热等谱微扰） 令 $\boldsymbol{X} : = ( X_{1} , \ldots , X_{d} )$ 为以 $\mathcal{T}$-相容生成元为分量的算子值向量，具有局域化域 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$（参见假设 3）。定义开关函数（switch function）

其中绝热速率 $\varepsilon > 0$。考虑一个实值连续调制函数（modulation functions）系统 $f_{k} \in C ( \mathbb{R} )$，$k = 1 , \ldots , d$，满足如下可积性条件

对一切 $t \in \mathbb{R}$ 和 $\varepsilon > 0$ 成立。给定场 $\boldsymbol{\Phi} : = \left( \Phi_{1} , \ldots , \Phi_{d} \right) \in \mathbb{R} ^{d}$，定义向量值函数 $\boldsymbol{f} ^{\Phi} ( t ) : = \left( \Phi_{1} f_{1} ( t ) , \ldots , \Phi_{d} f_{d} ( t ) \right)$ 和 $\boldsymbol{\Phi} ^{\varepsilon} ( t ) : = \left( \Phi_{1} ^{\varepsilon} ( t ) , \ldots , \Phi_{d} ^{\varepsilon} ( t ) \right)$，其中

(2.1.5) 意味着 $\Phi_{k} ^{\varepsilon} \in C^{1} ( \mathbb{R} )$ 且 $\begin{array} {r} {\displaystyle\lim_{t \to -\infty} \Phi_{k} ^{\varepsilon} ( t ) = 0} \end{array}$。模长 $\Phi : = | \Phi |$ 称为场强（field strength）。对每个 $t \in \mathbb{R}$，算子

在核 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ 上是本质自伴的，因此延拓为唯一确定的自伴算子。与生成元 $X_{k}$、场分量 $\Phi_{k}$ 和调制函数 $f_{k}$ 相关联的绝热等谱微扰由 $F_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的指数化给出：

我们将 $\varepsilon \to 0$ 称为绝热极限（adiabatic limit）。

注意，(2.1.7) 中的第二个等式仅仅是生成元强交换性和 Trotter 乘积公式 [RS72, 定理 VII.31] 的推论。假设 4 是 [BGK+05] 和 [KLM07] 中所用微扰的"抽象"版本。如果所有调制函数 $f_{k}$ 都支撑在 $[ t_{0} , + \infty )$ 中（$t_{0} > -\infty$），则可以将 $t_{0}$ 固定为有限初始时刻。此时对 $t \leqslant t_{0}$ 有 $\Phi_{k} ^{\varepsilon} ( t ) = 0$，从而 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t ) = \mathbb{1}$。对于本书的目标，两种情形特别重要：第一种涉及恒定场的绝热切换，由条件 $f_{1} ( t ) = \ldots = f_{d} ( t ) = 1$（对一切 $t \in \mathbb{R}$）描述。第二种假设开关函数

是光滑的，且微扰在 $t = + \infty$ 处再次关闭，即它是 $\hat{f} _{k} \in C_{\mathrm{c}} ( \mathbb{R} )$ 的 Fourier 变换，其中 $\hat{f} _{k}$ 具有紧支集并满足 $\overline{\hat{f} _{k} ( \omega )} = \hat{f} _{k} ( - \omega )$（从而 $f_{k}$ 是实值的）。具有 (2.1.8) 型频率展开的调制函数已在 [KLM07] 中于交流电导率（ac-conductivity）的 Mott 公式的推导背景下被研究。

在假设 4 下，由 (2.1.1) 定义的受微扰 Hamiltonian $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 具有两个重要性质（见第5.2.1节）：(1) 等谱性（isospectrality）$\mathrm{Spec} \bigl ( H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \bigr ) = \mathrm{Spec} ( H )$ 对一切 $t \in \mathbb{R}$ 成立，以及 (2) 从属性 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \in \mathrm{Aff} ( \mathcal{A} )$ 对一切 $t \in \mathbb{R}$ 成立。等谱微扰 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 还诱导 von Neumann 代数 $\mathcal{A}$ 上的自同构（automorphism）

此类作用延拓为每个 Banach 空间 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上的强连续等距映射（同样基于命题 3.2.16）。

推论 2.1.3（相互作用动力学的存在性） 假设假设 1-3 成立，且 $t \mapsto G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 是假设 4 意义下的绝热等谱微扰。则 (2.1.9) 的规则诱导一个强连续的等距映射

对每个 $1 \leqslant p < \infty$ 成立，称为相互作用动力学（interaction dynamics）。

$\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon}$ 的性质在第5.2.5节中研究。特别地，有

这意味着 $\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon}$ 在初始时刻 $t = - \infty$ 和微扰消失极限 $\Phi \to 0$ 下都强收敛到恒等映射 $\mathbb{1} _{\mathfrak{L} ^{p}}$。此外，对于正则元素 $A \in \mathfrak{W} ^{1 , p} ( \mathcal{A} )$，可以（强）对 t 微分 $\gamma_{t} ^{\Phi , \varepsilon}$ 得到

2.2 受微扰动力学：通向分析的桥梁#

最终，LRT 的核心是比较由 H 的微扰生成的相互作用动力学与由 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 在小 $\varepsilon$ 极限下定义的受微扰动力学。证明实现由 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 生成的受微扰动力学的酉时间传播子 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$ 的存在性，不能仅基于纯代数考虑，而需要使用来自泛函分析的工具。为此，我们还需要一组关于 Hamiltonian H 与生成元 $X_{k}$ 之间相互作用的技术性假设。

为简化下一个假设的表述，我们引入

作为两个适当算子 $X_{j}$ 和 H 的对易子。通常，定义两个潜在无界算子的对易子充满了技术问题，但这正是我们下面要处理的问题。很自然地会尝试将 $\mathsf{ad} _{X_{i}} ( H )$ 等同于 $\partial_{X_{i}} ( H )$，虽然在某些情形下两者确实一致，但我们有意区分这两个概念，其原因将在第3.4.1节中阐述：一般而言，$\mathsf{ad} _{X_{i}} ( H )$ 需要作为泛函分析对象来定义，而我们将 $\partial_{X_{j}}$ 视为 Banach 空间 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上的代数导子——在许多感兴趣的情形中，H 实际上不在 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 中（参见例 3.2.7）。

$\kappa_{j}$ 重对易子的记号简化为紧凑表达式

其中按约定 $\mathrm{ad} _{X_{i}} ^{0} ( H ) : = H$。此外，$\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$ 的交换性导致 $\mathrm{ad} _{X_{i}} \circ \mathrm{ad} _{X_{k}} = \mathrm{ad} _{X_{k}} \circ \mathrm{ad} _{X_{i}}$，即它们彼此交换，因此我们可以使用多重指标记号来简化关于不同 $X_{j}$ 的连续对易子：

其中 $\kappa = ( \kappa_{1} , \ldots , \kappa_{d} ) \in \mathbb{N} _{0} ^{d}$，并记 $\begin{array} {r} {| \kappa | = \sum_{j = 1} ^{d} \kappa_{j}} \end{array}$。有了这些记号，我们可以规定关于电流算子的假设。

假设 5（电流展开） 自伴 Hamiltonian $H \in \operatorname{Aff} ( \mathcal{A} )$ 和 $\mathcal{T}$-相容生成元集合 $\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$（具有局域化域 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} \subset \mathcal{H}$）满足以下条件：

(i) 联合核（joint core）$\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) : = \mathcal{D} _{\mathrm{c}} \cap \mathcal{D} ( H )$ 是 H 的稠定核，且 $\begin{array} {r} {X_{k} [ \mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) ] \subset} \end{array}$ $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 对所有 $k = 1 , \ldots , d$ 成立。

(ii) $H [ \mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) ] \subset \mathcal{D} _{\mathrm{c}}$，且对易子

在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上是本质自伴的，从而唯一延拓为自伴算子（仍用同一符号 $J_{\kappa}$ 表示）。在滥用记号的情况下，对于一阶电流算子，我们也使用 $J_{k} : = - \mathsf{ad} _{X_{k}} ( H )$。

(iii) 假设存在 $N \in \mathbb{N} _{0}$ 使得

在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上成立。满足此条件的最小整数 N 称为 H 关于族 $\{X_{1} , \ldots , X_{d} \}$ 的阶（order）。

(iv) 所有 $J_{\kappa}$ 都是无穷小 H-有界的（infinitesimally H-bounded），即对任意 $\delta > 0$，存在正常数 $a > 0$ 和 $\delta > b > 0$，使得

对所有 $\kappa \in \mathbb{N} _{0} ^{d}$ 成立。

(v) Hamiltonian H 具有一个（可能无界的）谱隙（spectral gap），以实数 $\xi \in \operatorname{Res} ( H )$（在预解集中）标记。

假设 5 整体上相当强，因此具有多个推论。然而，许多感兴趣的物理系统确实满足上述条件（例如参见第7章）。假设 5 中的 (i) 保证了对于所有 $t \in \mathbb{R}$，受微扰 Hamiltonian $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 在公共核 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上是本质自伴的（见引理 5.2.1 (1)）。实际上，将 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 称为局域化域（localized 而非 localizing）更为恰当，但为更好地区分这两者，我们将其称为联合定义域（joint domain）。(ii) 是为了明确定义自伴算子值张量族：（未受微扰的）电流密度张量（current density tensor）

是所有形如

的 r 阶张量的集合，其中

是适当重复的指标。条件 $H [ \mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) ] \subset \mathcal{D} _{\mathrm{c}}$ 对于将这些算子定义为定义 3.3.2 意义下的广义对易子是必要的。(i) 和 (ii) 中表述的条件也足以将 Baker-Campbell-Hausdorff 公式（在 [Sch96, 第 II.11.B 节] 的广义框架下）应用于受微扰 Hamiltonian $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$。

直接计算得到相关公式

它将 H 的等谱微扰与加性微扰 $W_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 联系起来。后者可以根据密度电流 (2.2.1) 展开为

其中含时系数 $w_{\kappa} ^{\varepsilon}$ 由 (2.1.5) 通过下式给出：

公式 (2.2.3)——提供等谱微扰的电流展开——在引理 5.2.1 (2) 中证明。在此需要指出，在没有进一步假设的情况下，等式 (2.2.3) 仅在稠密集 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上有意义。为了以适当且有用的方式延拓该等式，需要 (2.2.3) 的右端也在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上是本质自伴的。这正是假设 5 中 (iii) 的作用，它允许应用 Kato-Rellich 定理（详见引理 5.2.1 (3)）。其结果是，(2.2.3) 的两边在 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H )$ 上都是本质自伴的，因此闭包后定义了相同的自伴算子。此外，(2.2.3) 的定义域（因此 (2.1.1) 的定义域）与时间无关：

最后，(iv) 和由 (2.1.1) 给出的 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的定义保证了

即 $\xi$ 位于 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的谱隙中。性质 (2.2.6) 和 (2.2.7) 连同 (2.2.5) 中函数 $w_{\kappa} ^{\varepsilon}$ 的正则性，保证了存在酉时间传播子 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$ 来实现由 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 生成的受微扰动力学（见定理 5.2.5）。在某种意义上，传播子 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$ 是 LRT 的主要对象，而假设 5 的主要目的是确保存在一个"足够正则"（在命题 5.2.5 的意义下）的 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$。事实上，$U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s )$ 的存在性本身可以在比假设 5 更弱的条件下推导出来。然而，假设 5，尤其是电流展开 (2.2.3)，是使 LRT 严格化的关键要素。

由构造可知 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s ) \in \mathcal{A}$，因此可以用于在 $\mathcal{A}$ 上定义动力学：

根据标准论证（命题 3.2.16），这一映射延拓为每个 Banach 空间 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上的连续等距族。

推论 2.2.1（受微扰动力学的存在性） 假设假设 1-5 成立。令 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , s ) \in \mathcal{A}$ 是由等谱受微扰 Hamiltonian $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 生成的酉传播子。则对每个 $1 \leqslant p < \infty$，规则 (2.2.8) 诱导一个等距映射

关于 t 和 s 是联合强连续的（jointly strongly continuous）。我们将映射 $( t , s ) \mapsto \alpha_{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon}$ 称为受微扰动力学。

受微扰动力学 $\boldsymbol{\alpha} _{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon}$ 的联合强连续性意味着

对所有 $A \in \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 和 $r \in \mathbb{R}$ 成立。此外，该映射也是由 H 诱导的未受微扰动力学 $\boldsymbol{\alpha} _{t} ^{0}$ 的一个"微扰"，即

与 $\varepsilon > 0$ 无关。最后这一事实仅仅是 Duhamel 公式的推论（详见命题 5.3.4）。受微扰动力学 $\alpha_{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon}$ 的性质在第5.2.4节中全面研究。

到目前为止，我们描述了 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 空间上三种不同类型的动力学：未受微扰动力学、相互作用动力学和受微扰动力学。所有这些映射都可用来定义 (H5) 中列举的（初始）平衡态 $\rho$ 的不同时间演化。我们现在可以恰当地陈述"平衡"的含义。

定义 2.2.2（初始平衡态） 令 $H \in \mathrm{Aff} ( \mathcal{A} )$ 为自伴 Hamiltonian。H 的初始平衡态是任何满足 $\alpha_{t} ^{0} ( \rho ) = \rho$ 的正元素 $\rho \in \mathcal{A} ^{+}$，其中 $\boldsymbol{\alpha} _{t} ^{0}$ 是由 H 生成的未受微扰动力学。

首先观察到，初始平衡态完全不受未受微扰动力学的影响。因此，人们最感兴趣的是 $\rho$ 在相互作用或受微扰动力学下的行为。然而，对初始平衡态时间演化的仔细分析需要对 $\rho$ 施加额外的正则性假设。

假设 6（p-正则初始平衡态） 令 $\rho$ 为定义 2.2.2 意义下的初始平衡态。我们假设 $\rho$ 是 p-正则的，即满足

(i) $\rho \in \mathcal{A} ^{+} \cap \mathfrak{W} ^{1 , 1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{W} ^{1 , p} ( \mathcal{A} )$（正则性）以及

(ii) $\rho \in \mathfrak{D} _{H , 1} ^{00} \cap \mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$（见方程 (3.3.4)）且 $H \rho \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$（H-正则性）。

(iii) $\partial_{X_{k}} ( \rho ) \in \mathfrak{D} _{H , 1} ^{00} \cap \mathfrak{D} _{H , p} ^{00}$ 对所有 $k = 1 , \ldots , d$ 成立。

(i) 还包含 $\rho \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$，平衡条件立即意味着 $\rho \in \ker \bigl ( \mathcal{L} _{H} ^{( 1 )} \bigr ) \cap \ker \bigl ( \mathcal{L} _{H} ^{( p )} \bigr )$，其中 $\mathcal{L} _{H} ^{( p )}$ 是 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 中 $\boldsymbol{\alpha} _{t} ^{0}$ 的生成元。(ii) 保证了 $H \rho \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$。作为命题 5.1.3 的推论，我们立即得到等式

在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 和 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 中成立。方程 (2.2.9) 是 $\rho$ 和 H 之间的一种广义对易规则。为了获得真正的对易关系，我们需要更强的假设，但目前尚无此必要。根据关于 Hamiltonian $H$、生成元 $X_{k}$ 和初始平衡态的所有上述假设，可以证明 $J_{k} \rho \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 且

对所有 $k = 1 , \ldots , d$ 成立。(2.2.10) 在引理 6.1.1 中证明，它将在分析 $\rho$ 的受微扰动力学中起关键作用。特别地，(2.2.10) 保证了 $H \partial_{X_{k}} ( \rho ) \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} ) \cap \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 对所有 $k = 1 , \ldots , d$ 成立。需要指出的是，尽管上面列出的 $\rho$ 的条件看似相当强，但对于在 LRT 背景下推导 Kubo 公式而言，它们是必要且自然的。例如，[BGK+05] 中的假设 5.1 等价于（通过 [BGK+05, 命题 4.2]）$\rho$ 必须是 2-正则的这一事实。另外值得一提的是，$\rho \in \mathfrak{W} ^{1 , 2} ( \mathcal{A} )$ 的条件最初在 [BES94]（另见 [BS98]）中被确定为推导 Kubo 公式的主要要求。我们指出，构造平衡态的一个充分条件是定义 $\rho : = f ( H )$，其中 $f$ 是 $L^{\infty} ( \mathbb{R} )$ 中的任意正函数。这样，平衡条件 $\alpha_{t} ^{0} ( \rho ) = \rho$ 和正性条件 $\rho \in \mathcal{A} ^{+}$ 自动满足。然而，使得 $\rho$ 满足假设 6 的正函数类 $\mathcal{S} _{\mathcal{T} , X} ^{1 , p} ( \mathbb{R} ) \subset L^{\infty} ( \mathbb{R} )$ 强烈依赖于迹 $\mathcal{T}$ 和生成元 $X_{k}$ 的具体性质。在许多物理感兴趣的情形中，类 $\mathcal{S} _{\mathcal{T} , X} ^{1 , p} ( \mathbb{R} )$ 由在无穷远处具有足够快衰减的函数组成（例如，类似于 [BGK+05] 中的 Schwartz 函数）。这一方面将在第6.1.1节中简要讨论。

初始平衡态 $\rho$ 根据定义在未受微扰动力学 $\boldsymbol{\alpha} _{t} ^{0}$ 下保持不变，但可以按相互作用动力学演化：

状态 $\rho$ 也可以通过受微扰动力学 $\boldsymbol{\alpha} _{( t , s )} ^{\Phi , \varepsilon}$ 按如下规则演化：

该极限在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 和 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 中取（取决于 $\rho$ 的正则性）。我们将 (2.2.12) 称为初始态 $\rho$ 的完全演化（full evolution）。尽管先验地完全不清楚该极限是否存在，但在所有这些假设下，我们可以证明完全时间演化态 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 确实是良定义的，并且可以与 $\rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 进行比较。

定理 2.2.3（两种动力学的比较） 假设假设 1-6 成立，令 $r = 1 , p$，其中 $p$ 是假设 6 中 $\rho$ 的正则度。

(1) 定义完全演化 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 的极限 (2.2.12) 在 $\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中存在，并且可以按 $\rho_{\mathrm{int}} ( t )$、$\Phi$ 和算子值向量

展开，使得

(2) 完全演化 $t \mapsto \rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 是如下问题的唯一解：

其中极限和导数在 $\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$ 中取，广义对易子 $[ \cdot , \cdot ] _{\ddagger}$ 在 (2.1.3) 中定义。

该定理的证明推迟到第6.1.2节。需要指出的是，定理 2.2.3 不过是 [BGK+05, 定理 1.1] 的"抽象"推广。

2.3 线性响应与 Kubo 公式#

为了完整地说明 LRT 的背景并呈现 Kubo 公式的不同表现形式，我们需要讨论最初列表中 (H4) 的作用，即瞬时可观测量 $t \mapsto J ( t )$。LRT 中涉及的典型可观测物理量是 (2.2.2) 中给出的电流密度张量 $\mathbf{J} ^{( r )}$。正如 $\mathbf{J} ^{( r )}$ 是由未受微扰 Hamiltonian H 通过迭代对易子生成的一样，类似地可以考虑由受微扰 Hamiltonian $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 生成的瞬时受微扰电流密度张量。这导致一族算子值张量

它们在假设 3 和假设 5 成立时是良定义的；参见第6.2.1节。这种相关类型的瞬时可观测量具有一些特殊性质（命题 6.2.4），足以推导 Kubo 公式。这促使我们推广适合 LRT 的瞬时可观测量族。

定义 2.3.1（电流型可观测量） 假设假设 1-6 成立。我们称含时可观测量 $\mathbb{R} \ni t \mapsto J_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 关于 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 和 $\rho$ 是电流型（current-type）的，如果满足以下条件：

(i) $J_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 是瞬时微扰（instantaneous perturbation），即存在自伴算子 $J \in \mathrm{Aff} ( \mathcal{A} )$，使得

(ii) $J_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \rho_{\mathrm{full}} ( t ) \in \mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 对所有 $t \in \mathbb{R}$ 成立，且

在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 的拓扑中成立。

(iii) $\mathcal{D} ( H ) \subseteq \mathcal{D} ( J )$，这保证了 $J \dfrac{1}{H - \xi} \in \mathcal{A}$（参见引理 3.3.7 (2)），且

对所有 $t \in \mathbb{R}$ 成立。

LRT 的核心量是宏观净电流（macroscopic net current）

它与初始平衡态 $\rho$、使用完全演化 (2.2.15) 演化后的状态以及电流型可观测量 J 相关联。作为期望值之差，该量衡量了完全演化态 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 与"拖曳"态 $\rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 之间的宏观电流净流量。由于我们以速率 $\varepsilon > 0$ 缓慢开启微扰场 $\Phi$，启发式地预期当 $\varepsilon$ 较小时 $\rho_{\mathrm{full}} ( t ) \approx \rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 成立。(2.3.1b) 中第二个等式的精确证明请参见第6.2.1节。定义 2.3.1 中的 (ii) 保证了平衡条件，即在遥远的过去净通量为零：

我们将在注 6.2.3 中进一步阐述这一点。此外，在上述所有假设下，我们将在引理 6.2.1 中证明在微扰消失的极限下净电流为零：

因此，$\mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 在 $\Phi = 0$ 附近的"Taylor"展开中的第一项为零，展开中的第一个非平凡项

描述了系统对微扰的线性响应。从数学上讲，我们的任务是确保 $\mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$ 关于场是足够正则的——仅连续性是不够的。这些一阶修正项统称为：

定义 2.3.2（电导率系数） 令 $\rho$ 是 Hamiltonian $H \in \mathrm{Aff} ( \mathcal{A} )$ 的初始平衡态，J 是电流型可观测量。通过以速率 $\varepsilon > 0$ 绝热地施加场 $\Phi$ 在初始时间和最终时间 t 之间扰动系统所产生的依赖于 $\varepsilon$ 的电导率系数（conductivity coefficients）是 d 维向量，其分量为

当这些导数存在时。它们的绝热极限

也存在时同样称为电导率系数。$\sigma^{k} [ J , \rho ]$ 常称为 Kubo 系数。

我们现在可以陈述 LRT 的主要结果。

定理 2.3.3（Kubo 公式） 假设在假设 1-6 之外，我们还给定一个定义 2.3.1 意义下的电流型可观测量 $J ( t )$。则依赖于 $\varepsilon$ 的电导率系数由 Kubo 公式给出：

对每个 $k = 1 , \ldots , d$ 成立。

该结果的证明推迟到第6.2.2节。将开关函数 $s_{\varepsilon}$ 的显式表达式代入 (2.3.3)，我们可以将电导率系数重写为

即两项之和：一个非平凡贡献项，

和一个在绝热极限下消失的余项（参见引理 6.3.1）：

考虑到我们关心的是绝热极限，最后的观察允许我们使用量 $\widetilde{\sigma} _{\varepsilon} ^{k} [ J , \rho ] ( t )$ 来代替 $\sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$。以下结果利用了 Laplace 变换将演化自同构 $\boldsymbol{\alpha} _{\tau} ^{0}$ 与 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上 Liouville 算符的预解式联系起来：

推论 2.3.4 对所有 $t \geq 0$，定理 2.3.3 中的电导率系数在以下两种 $f_{k}$ 选择下可以显式计算：

(1) 若 $f_{k} \equiv 1$，则

(2) 若 $f_{k}$ 由 (2.1.8) 给出，则

该结果也在第6.2.2节中证明。方程 (2.3.7) 最初在 [TKN+82, 方程 (41)] 和 [BS98, 定理 1] 中得到，使用的是有界紧束缚算子近似下的 $C^{*}$-代数（而非 von Neumann 代数）技术。连续介质中磁 Laplacian 的类比公式在 [BGK+05, 推论 5.10] 中推导得到。类似于方程 (2.3.8) 的公式出现在 [KLM07, 方程 (3.30)] 中。

2.4 绝热极限与 Kubo-Středa 公式#

在物理上，绝热极限 $\varepsilon \to 0$ 意味着开启外部宏观微扰的斜坡速度与微观动力学的时间尺度相比变得无穷小。此时预期 $\rho_{\mathrm{full}} ( t ) \to \rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 在某种意义下成立，因此我们预期微扰开启方式中的许多细节将被抹去。相比之下，电导率系数 $\sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J , \rho ] ( t )$（或等价地 $\widetilde{\sigma} _{\varepsilon} ^{k} [ J , \rho ] ( t )$）依赖于直到时刻 t 的整个系统历史。事实上，这正是绝热极限 $\varepsilon \to 0$ 的主要目的：它导致电导率系数的时间平均，从而平均掉微扰的许多细节。在我们的方法中，时间平均自然出现，而其他作者（例如 [TKN+82; BS98]）不得不以特设方式引入它以推导 Kubo 公式。他们的想法是利用众所周知的事实——Cesàro 可和性蕴含 Abel 可和性 [Wid71, 第8章, 定理 2.3]——即

将这一时间平均写为 Laplace 变换可以通过 (2.3.6) 将其与 Liouville 算符的预解式联系起来。在我们的推导中，(2.3.3) 中时间平均的出现可以追溯到方程 (2.2.14) 中的时间积分，该积分计算了 $\rho_{\mathrm{full}} ( t )$ 和 $\rho_{\mathrm{int}} ( t )$ 之间的瞬时差。

为了陈述关于绝热极限的主要结果，我们注意到 Liouville 算符 $\mathcal{L} _{H} ^{( q )}$ 是 Banach 空间 $\mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$ 上的线性算子，我们感兴趣的是在 $\mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$ 的强算子拓扑（strong operator topology）下，当 $\varepsilon \to 0^{+}$ 时 $\frac{\mathcal{L} _{H} ^{( q )}}{\mathcal{L} _{H} ^{( q )} - \varepsilon}$ 的极限的存在性。该极限的存在性在第5.1.2节中证明，结果为

其中 $\mathcal{P} _{H} ^{( q ) \perp}$ 是作用在 $\mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$ 上的一个合适的幂等元（Banach 空间投影）。在 $p = 2$ 的特殊情形下，幂等元 $\mathcal{P} _{H} ^{( 2 ) \perp}$ 是关于 $\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$ 的 Hilbert 结构的正交投影，并且有关系 $\mathcal{P} _{H} ^{( 2 ) \perp} : = \mathbb{1} _{\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )} - \mathcal{P} _{H} ^{( 2 )}$，其中 $\mathcal{P} _{H} ^{( 2 )}$ 是到核 $\ker ( \mathcal{L} _{H} ^{( 2 )} )$ 上的投影。

定理 2.4.1（Kubo 公式的绝热极限） 假设假设 1-6 成立，且 $f_{k} \equiv 1$。此外，给定一个定义 2.3.1 意义下的电流型可观测量 $J ( t )$，且存在 $Q_{J} \in \mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$ 使得

其中 $p^{-1} + q^{-1} = 1$。则电导率系数的绝热极限 $\varepsilon \to 0$ 存在，并由下式给出：

在 $p = q = 2$ 的特殊情形下，最后一个公式可以改写为

其中使用了 $\mathfrak{L} ^{2} ( \mathcal{A} )$ 的 Hilbert 结构。

该结果的证明见第6.3节。

物理文献中考虑的最重要情形是，当初始平衡态是 Hamiltonian 的谱投影 $P : = P ( H )$，而可观测量是密度电流 (2.2.1) 的第 k 个分量 $J : = J_{k} ^{( 1 )}$ 时。在此情形下，(2.3.2) 可以方便地重写为

其中 $\mathcal{J} _{k} ^{\Phi , \varepsilon} [ P ] ( t ) : = \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} [ J_{k} ^{( 1 )} , P ] ( t )$ 可以解释为宏观电流的第 k 个分量，而 $\sigma_{\varepsilon} ^{k j} [ P ] ( t ) : = \sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J_{j} ^{( 1 )} , P ] ( t )$ 是二阶张量的分量。以下结果列举了绝热极限

存在且可显式计算时的充分条件。量

称为电导率张量（conductivity tensor），并且实际上是 LRT 物理应用中最相关的对象。

定理 2.4.2（Kubo-Středa 公式） 假设假设 1-5 成立。此外，假设 P 是 H 关于 $\mathrm{Spec}(H)$ 中某有界部分的谱投影，且 P 在假设 6 意义下是 2-正则的。

则依赖于 $\varepsilon$ 的电导率系数

通过公式 (2.3.3) 计算是良定义的，它们的绝热极限存在，并由 Kubo-Středa 公式给出：

对每个 $k , j = 1 , \ldots , d$ 成立。

这一重要结果的证明是第6.3节的主要目标。方程 (2.4.5) 中出现的符号 $[ \cdot , \cdot ] _{( r )}$ 表示对易子取值于空间 $\mathfrak{L} ^{r} ( \mathcal{A} )$；详见第3.3.1节。

2.5 零温极限与拓扑解释#

我们已经讨论过，构建与 Hamiltonian $H \in \mathrm{Aff} ( \mathcal{A} )$ 相关联的初始平衡态的典型方法是选择 H 的适当正函数。例如，在涉及电子系统（通常是在非相互作用粒子近似下）的凝聚态问题中，典型的初始平衡态通过逆温度 $\beta > 0$ 和 Fermi 能量 $E_{\mathrm{F}}$ 下的 Fermi-Dirac 分布来描述：

这里 $\chi_{( - \infty , E_{\mathrm{F}} ]} ( x )$ 表示 $( - \infty , E_{\mathrm{F}} ]$ 的特征函数，即当 $x \leqslant E_{\mathrm{F}}$ 时 $\chi_{( - \infty , E_{\mathrm{F}} ]} ( x ) = 1$，否则为 0。关联的初始平衡态为

其中 $P : = \chi_{( - \infty , E_{\mathrm{F}} ]} ( H )$ 是 H 在 Fermi 能量 $E_{\mathrm{F}}$ 以下能量范围的谱投影，通常称为 Fermi 投影（Fermi projection）。由于 Fermi-Dirac 分布在 $\beta \to + \infty$ 极限下逐点收敛到 $( - \infty , E_{\mathrm{F}} ]$ 的特征函数，因此在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上算子的强算子拓扑（SOT）下，有 $\rho_{\beta} \to P$。极限 $\beta \to + \infty$ 在凝聚态物理中称为零温极限（zero temperature limit）。

假设 $\rho_{\beta} = \rho_{\beta} ( H )$ 是按假设 6 的 2-正则初始平衡态的一个网，并具有以下两个附加性质：

(iii) $\rho_{\beta} \to P$ 在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 拓扑中成立，其中 P 是 H 的 2-正则谱投影，且

(iv) $H \partial_{X_{k}} ( \rho_{\beta} ) \to H \partial_{X_{k}} ( P )$ 在 $\mathfrak{L} ^{1} ( \mathcal{A} )$ 拓扑中成立。

在这些条件下，特别是在 (iv) 下，有

并且在 (2.3.3) 中应用控制收敛定理得到

Kubo-Středa 公式是 $\sigma_{k} ^{\varepsilon} [ J_{j} ^{( 1 )} , P ] ( t )$ 的绝热极限，因此有

其中 $\sigma^{k j} [ P ]$ 由 (2.4.5) 给出。换句话说，在适当条件（例如上述性质 (iv)）下，Kubo-Středa 公式可以视为 Kubo 公式的"零温极限"。需要指出的是，必须先取零温极限，然后再计算绝热极限。这两个极限通常不可交换。

让我们简要讨论 Kubo-Středa 公式的最后一个方面。在适当情形下，(2.4.5) 的右端具有包含在 $\mathcal{A}$ 中的某个（子）代数上的 2-上循环（2-cocycle）结构。这将分量 $\sigma^{k j} [ P ]$ 与 Chern-Connes 示性类（Chern-Connes characters）联系起来，后者是拓扑性质的量 [Con94, 第四部分], [BES94, 第 F 节]。由 Kubo-Středa 公式给出的电导率张量分量与 Chern-Connes 示性类之间的相等关系（在物理比例常数范围内）称为 Kubo-Chern 公式。这是通过 LRT 对量子霍尔效应进行拓扑解释的关键要素 [TKN+82; BES94]，它催生了拓扑绝缘体理论——当今凝聚态物理中最活跃的领域之一。然而，Kubo-Středa 公式的几何方面在凝聚态物理的许多领域中仍然是一个热点话题，更详细的分析超出了本书的范围。

2.6 紧束缚型简化#

对于更简单的系统，特别是那些由紧束缚算子描述的系统，LRT 的设定可以大大简化 [TKN+82; BS98]，因为这些假设避免了我们在本书中处理的主要技术难题。

定义 2.6.1（紧束缚型设定） 如果 $\mathcal{T} ( \mathbb{1} ) = 1$ 且 $H \in \mathcal{A}$，则称系统处于紧束缚型设定（tight-binding-type setting）中。

第一个条件 $\mathcal{T} ( \mathbb{1} ) = 1$ 意味着迹实际上是有限的（而非半有限的），因此 $\mathrm{Aff} ( \mathcal{A} )$ 自动与关于 $\mathcal{T}$ 的可测算子的 $*$-代数一致（参见例 3.2.6 (3) 及其参考文献）。此外，$\mathcal{A}$ 本身包含在所有其他 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 空间中。第二个条件 $H \in \mathcal{A}$ 有多个推论，最显著的是，由于 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 空间的 $\mathcal{A}$-模结构和 Leibniz 法则（见命题 3.4.3 (2) 及相关评论），H 与 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 中算子的许多乘积是明确良定义的。

此外，$H \in \mathcal{A}$ 意味着我们的许多假设自动成立。由于有界性，有 $\mathcal{D} _{\mathrm{c}} ( H ) = \mathcal{D} _{\mathrm{c}}$，因此假设 5 的 (i) 平凡满足。假设 5 的 (iv) 也是如此。假设 5 的 (ii) 和 (iii) 仅说明 H 与 $X_{k}$ 的迭代对易子作为有界算子是良定义的，并且根据引理 6.1.1 (1)，这些对易子必为代数 $\mathcal{A}$ 中的元素。

总之，假设 5 仅要求 H 是 $\mathcal{A}$ 中关于由生成元 $X_{k}$ 在 $\mathcal{A}$ 上诱导的空间导子的正则（实际上是光滑）元素（详见定义 3.4.1）。令 ${\mathfrak{C}} ^{n} ( {\mathcal{A}} ) \subset {\mathcal{A}}$ 为可以在代数内部求 n 次导数的元素子集（与之前引入的记号一致，也可写为 ${\mathfrak{C}} ^{n} ( {\mathcal{A}} ) \equiv {\mathfrak{W}} ^{n , \infty} ( {\mathcal{A}} )$）。则在紧束缚型设定中，假设 5 可以简单地替换为：

假设 2.6.2（H 的可微性） $H \in {\mathfrak{C}} ^{n} ( {\mathcal{A}} )$ 对充分大的 n（例如 $n = \infty$）成立，且

对所有满足 $| \kappa | \leqslant n$ 的 $\kappa \in \mathbb{N} _{0} ^{d}$ 成立。

假设 6 可以简化为仅需正则性要求 (i)：

假设 6 中 (ii) 描述的 H-正则性可直接由 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 空间的 $\mathcal{A}$-模结构和 H 的光滑性得出。

假设 5 也自动满足，仅需要说明任何 $J \in \mathcal{A}$ 都是充分良态以推导 Kubo 公式的电流型可观测量。最后，定理 2.4.1 陈述中的额外假设 (iv) 等价于存在 $Q_{J} \in \mathcal{A} \cap \mathfrak{L} ^{q} ( \mathcal{A} )$ 使得 $J = \mathrm{i} [ Q_{J} , H ]$。此外，H 的任何谱投影 P 自动满足定理 2.4.2 陈述中的要求 (iii)。

总之，尽管由紧束缚算子描述的问题不需要我们在此坚持的概括程度，并且避免了主要的技术障碍，但它们仍然被我们提出的框架所涵盖。我们将在第4章中抽象地重新讨论这一点，给出构造 von Neumann 代数和单位体积迹的程序，该程序适用于 $\mathbb{Z}^{d}$ 和 $\mathbb{R}^{d}$。然后在第7章中，我们将讨论紧束缚算子的具体例子。