引言#
线性响应理论（Linear Response Theory, LRT）是一种用于研究由外部微扰驱动偏离平衡的系统的工具。其典型例证是对 Ohm 经验定律 $\begin{array} {r} {J = \sum_{j = 1} ^{d} \sigma_{j} E_{j}} \end{array}$ [Ohm10] 的第一性原理证明，该定律指出电流与外加电场成线性关系。这些思想最早由 Green [Gre54] 和 Kubo [Kub57] 在统计力学中开创，随后由 Středa [Str82] 用于将二维电子气中的横向电导率与 Fermi 能级以下的 Landau 能级数联系起来。本书旨在为数学物理学家提供一套现代工具，使得线性响应理论能够对广泛系统（包括一些超出已有理论范围的系统）变得严格。下面我们将解释这一解析-代数框架的所有组成部分，并将其置于现有文献的语境中。但首先让我们简述其物理图景。
初始时刻，未受微扰的系统由自伴算子（selfadjoint operator）$H$ 支配，处于平衡态，即其状态由与 H 对易的密度算子（density operator）$\rho$ 描述。然后，在遥远的过去，我们绝热地（adiabatically）开启一个微扰，将系统驱离平衡。这里我们区分一组微扰参数（perturbation parameters）$\pmb{\Phi} = \left( \Phi_{1} , \ldots , \Phi_{d} \right)$（例如电场的分量）和绝热参数（adiabatic parameter）$\varepsilon$，后者量化微扰被逐渐开启的速度。因此，两者都作为参数进入受微扰的 Hamiltonian $H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) = H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) ^{*}$ 中。微扰在 $t_{0} < 0$ 时刻开始开启（原则上可为 $-\infty$），在 $t = 0$ 时刻 Hamiltonian 已达到受微扰的状态。绝热切换允许我们从与未受微扰情形相同的初始状态 $\rho$ 出发，并按照下式对其进行演化
$$ \rho (t) = U_{\Phi , \varepsilon} (t, t_{0}) \rho U_{\Phi , \varepsilon} (t, t_{0}) ^{*},\tag{1.0.1} $$其中 $U_{\Phi , \varepsilon} ( t , t_{0} )$ 是与含时 Hamiltonian $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 相关联的酉传播子（unitary propagator）。
在最简单的情形中，我们通过研究净电流（net current）来观察微扰的效应：
$$ \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} (t) = \mathcal{T} \left(J_{\Phi , \varepsilon} (t) \rho (t)\right) - \mathcal{T} \left(J \rho\right)\tag{1.0.2} $$这是电流算子 $J_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 和 $J$ 分别关于 $\rho ( t )$ 和 $\rho$ 的期望值之差，通过体平均迹（trace-per-volume）$\mathcal{T}$ 计算。通常，$J_{\Phi , \varepsilon} ( t ) = - \mathrm{i} \left[ X , H_{\Phi , \varepsilon} ( t ) \right]$ 和 $J = - \mathrm{i} \left[ X , H \right]$ 由与相应 Hamiltonians 的对易子给出，这解释了为何两个电流算子不同且其中一个依赖于 $\Phi$、$\varepsilon$ 和 $t$。
使 LRT 严格化的关键步骤是证明净电流在 $\Phi = 0$ 附近的一阶"Taylor 展开"的合理性：
$$ \begin{array}{r l} & {\mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} (t) = \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} (t) \big | _{\Phi = 0} + \sum_{j = 1} ^{d} \Phi_{j} \left. \partial_{\Phi_{j}} \mathcal{J} ^{\Phi , \varepsilon} (t) \right| _{\Phi = 0} + o (\Phi)} \\ & {\qquad = \sum_{j = 1} ^{d} \Phi_{j} \sigma_{j} ^{\varepsilon} (t) + o (\Phi),} \end{array}\tag{1.0.3} $$其中零阶项为零——无微扰则无净电流——而电导率系数（conductivity coefficients）$\sigma_{j} ^{\varepsilon} ( t )$ 量化了线性响应。为抹去受微扰系统与未受微扰系统之间插值过程的某些细节，通常取电导率系数的绝热极限 $\varepsilon \to 0$。
Kubo 的贡献 [Kub57] 在于推导出了 $\sigma_{i} ^{\varepsilon} ( t )$ 的显式公式（参见方程 (2.3.3)）。Středa 在 $\rho$ 为谱投影的情形下给出了第二个表达式；这个 Kubo-Středa 公式（参见方程 (2.4.5)）帮助赋予了量子霍尔效应（Quantum Hall Effect）以拓扑解释 [TKN+82; Hat93]，由此催生了拓扑绝缘体（Topological Insulators）这一领域。
这就是为什么相当大一部分严格数学文献涉及各种量子霍尔效应模型的 LRT（例如 [BES94; BS98; BGK+05; DG08; ES04]）。粗略地说，存在两种方法：从泛函分析角度处理 LRT 的方法（如 [BGK+05; KLM07]）和用代数术语表述问题的方法（如 [BES94; BS98; JP02; JOP06]）。通常，代数方法的主要优势在于它给出了使 LRT 严格化的通用方案，适用于整类系统，但代价是对 $H$、$\rho$ 和 $\mathcal{T}$ 施加了相当强的假设。这些方法通常要求 H 属于某个 $C^{*}$-代数或 von Neumann 代数 $\mathcal{A}$，因此 H 必然是有界的（bounded），或者 $\mathcal{T}$ 是有限的。这排除了许多物理上有趣且相关的模型，尤其是连续模型（continuum models，与之相对的是离散模型）。相反，解析方法通常专注于某一个特定系统，包括那些由无界 Hamiltonian（unbounded Hamiltonians）描述的系统。然而，其细节通常特定于所关注的 Hamiltonian，且这些技术不易从一个物理系统移植到另一个。
因此，我们发展了一个统一的、完全现代化的框架，结合了两种方法的优点：我们给出了一个基于 von Neumann 代数及其关联的非交换 $L^{p}$ 空间（non-commutative $L^{p}$-spaces）的显式 LRT 方案，该方案同样适用于离散模型和连续模型，能够处理无序（disorder），且不局限于某一个特定模型。它不仅涵盖了众多先前的结果，特别是 [BS98; SB98; BGK+05; DG08]，还适用于尚未在文献中考虑过的系统。我们将在第2章中详细阐述具体设定、所有假设和主要结果。尽管如此，让我们先预述最重要的方面，以便与现有文献进行对比。本书的灵感来自 Bouclet、Germinet、Klein 和 Schenker [BGK+05] 以及 Dombrowski 和 Germinet [DG08] 的工作，他们针对连续介质中受到随机电场和磁场作用的非相对论性粒子，使 Schrödinger 算子 $H_{\omega} = ( - \mathrm{i} \nabla - A_{\omega} ) ^{2} + V_{\omega}$ 的 LRT 变得严格（参见 [BGK+05, 假设 4.1]）。这些工作的独到之处在于，它们通过使用非交换 $L^{p}$ 空间 [Nel74; Ter81] 以非常优雅的方式架起了泛函分析与 von Neumann 代数之间的桥梁，从而能够结合两个世界的技术优势。虽然这些作者认识到他们实际上提出了一种使 LRT 严格化的新方案（参见 [BGK+05, 第3.5节] 和 [DG08]），但他们仅针对单个 Hamiltonian 实现了这一方案。尽管他们的特定模型包含了所有关键技术难点——(1) 迹是半有限（semi-finite）而非有限的，(2) $H_{\omega}$ 是无界的，(3) $H_{\omega}$ 在定义 3.2.2 的意义下不是 $\mathcal{T}$-可测的——但这些难点是通过利用该模型的特定性质而非在抽象层面解决的。举一个例子，Bouclet 等人通过采用公共核假设和"手动的"泛函分析论证来回避处理 $\mathcal{T}$-可测性问题（参见 [BGK+05, 第3.1节]）；这同样适用于 [DG08]，后者虽然更明确地将 [BGK+05] 与非交换 $L^{p}$ 空间联系起来，但其证明仍然依赖于 Bouclet 等人的工作。我们本书的贡献在于提取并抽象了 [BGK+05; DG08] 的主要策略，一致地将其置于非交换 $L^{p}$ 空间的语言框架中，并完全基于与模型无关的结构性论证完成证明。
主要的技术挑战在于为无界且 $\mathcal{T}$-不可测算子（如 H，它仅从属于（affiliated to）von Neumann 代数 $\mathcal{A}$）与 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 中的元素之间的乘积和（广义）对易子赋予意义（参见第3.3节）。处理这一问题的一种方法是，将关联于某个自伴算子 $X$ 的导子（derivation）$\partial_{X}$ 定义为 $\mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$ 上的 R-流（R-flow）$\eta_{\scriptscriptstyle{t}} ^{X} ( A ) : = \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} t X} A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} t X}$ 的生成元，而非可能无定义的 i [X , A] 对易子（参见 [dS07]）。如果我们施加更强的假设，例如 $H \in{\mathcal{A}}$（许多紧束缚模型即属此情形）或 $\mathcal{T}$ 是有限迹（finite trace）（使得 $\mathcal{A} \subseteq \mathfrak{L} ^{p} ( \mathcal{A} )$），则许多困难都会消失。不幸的是，连续模型两者都不满足，而为了将适用范围扩展到包含许多物理上有趣的模型，我们必须直面这些问题。
除非交换积分之外，我们想将框架与现有结果进行比较的第二个轴是微扰和演化定律的形式。Bellissard、van Elst 和 Schulz-Baldes [BES94] 以及 Bellissard 和 Schulz-Baldes [SB98; BS98] 的开创性工作通过 LRT 研究量子霍尔效应，率先使用 $( C^{*} )$ 代数技术来包含无序效应。具体而言，他们从考虑微观 Hamiltonian
$$ H_{\Phi , \mathrm{coll}} (t) = H + \mathbf{\Phi} \cdot \mathbf{X} + W_{\mathrm{coll}} (t)\tag{1.0.4} $$出发，其中 H 是一个协变随机紧束缚（covariant random tight-binding）（未受微扰）算子，属于 $C^{*}$-代数；$\Phi \cdot \mathbf{X}$ 项是恒定电场 $\Phi$ 产生的势能；$W_{\mathrm{coll}} ( t )$ 是一个随机碰撞项（random collision term），服从 Poisson 统计，它将一种现象学热化机制引入模型。由于实验测量发生在远大于平均碰撞时间的时间尺度上，相关的宏观状态是通过对微观状态取 Poisson 平均获得的。由于随机碰撞，这些平均状态服从 Lindblad 动力学 [PS16, 第7.1节]，
$$ \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} (t) = - \mathrm{i} \left[ H_{\Phi}, \rho (t) \right] - \Gamma (\rho (t)),\tag{1.0.5} $$其中 $H_{\Phi} = H + \Phi \cdot \mathbf{X}$，而 $\Gamma$（即所谓的碰撞算子）包含了扩散过程的宏观方面 [SB98, 命题 4]。正是 (1.0.5) 中非零 $\Gamma$ 的存在使得非零平均电流成为可能 [BES94, 命题 4]。这种 LRT 和量子霍尔效应的 $( C^{*} )$ 代数方法解释了横向电导率 $\sigma_{\perp}$ 量子化的拓扑起源，并且关键的是，它也适用于那些可以在 H 的定义中编码空间无序的系统。从物理角度看，无序是必要的成分，因为它导致 Anderson 局域化（Anderson localization），而 Anderson 局域化又是 $\sigma_{\perp}$ 跳跃之间平台出现的原因。
与 [BES94] 不同，我们假设微扰是乘性的（multiplicative）而非加性的（additive），
$$ H_{\Phi , \varepsilon} (t) = G_{\Phi , \varepsilon} (t) H G_{\Phi , \varepsilon} (t) ^{*},\tag{1.0.6} $$并且是随时间绝热开启的。它们由一个酉算子 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 实现，该算子参数化地依赖于 $\Phi$、$\varepsilon$ 和 $t$，并且与 $( \mathcal{A} , \mathcal{T} )$ 的代数结构相容。状态按照具有含时生成元的 Liouville 方程 [BGK+05, 定理 5.3] 演化，
$$ \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} (t) = - \mathrm{i} \left[ H_{\Phi , \varepsilon} (t), \rho (t) \right],\tag{1.0.7} $$与 Lindblad 动力学 (1.0.5) 相比，碰撞项 $\Gamma(t)$ 不存在。类型 (1.0.6) 的微扰在 LRT 语境中已有研究（参见例如 [ES04; BGK+05; DG08]）。虽然这初看起来限制性很强，但它涵盖了交流与直流 Stark 效应 [NN81; NN82; GY83] 等模型。事实上，$G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 可以解释为一种含时的表示变换，在这种相互作用表示下，$H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 可以联系到形如 $\tilde{H} _{\Phi , \varepsilon} ( t ) = H + \dot{F} _{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的 Hamiltonian（详见第5.2.2节）。注意，由于 $G_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 的含时性，算子 $H_{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 和 $\tilde{H} _{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 通常不是等谱的（直流 Stark 效应模型即属此类，其中 $\sigma(H)$ 下有界而 $\sigma ( H + \Phi \cdot \mathbf{X} ) = \mathbb{R}$），而且先验地也不清楚 $\tilde{H} _{\Phi , \varepsilon} ( t )$ 在数学上是否定义良好，或是否能生成求解相关 Liouville 方程的真正酉演化。因此，我们可以将 (1.0.6) 视为一种数学上有意义的方式，用以严格定义描述某些物理系统的演化方程。
此外，与凝聚态物理不同，在其他物理系统中，输运是非扩散性的（$W_{\mathrm{coll}} = 0$），微扰自然也是乘性的而非加性的：在人工结构介质中电磁波 [DL16] 和其他波（例如 [JL W+16; SH16]）传播的方程可以重新表述为 Schrödinger 方程 $\mathrm{i} \partial_{t} \psi = H \psi$ 的形式。这里，量子 Hamiltonian $H = W D$ 的类比是有界权重算子（weight operator）W 与可能无界算子 D 的乘积。波传播背景的微扰通过修改 W 进入，但等价地也可以重述为 (1.0.6) 的形式 [DL14c, 第2.2节]。与凝聚态物理不同，许多情况下的输运是非扩散性的，因此 [BES94; SB98; BS98] 的思想并不适用。
因此，可以将我们的 LRT 框架推广到未必是量子的系统，以及此前在文献中尚未被严格或非严格考虑过的系统。我们预见其他新的应用：更具代数思维的研究者或许能够在这一更广泛的设定中建立 Onsager 关系 [JOP06] 或定义电流-电流关联测度 [CGH10; PB16]。另一方面，对特定模型验证第2章中的假设则需要泛函分析的工具。
本书结构 最后，让我们给出本书的大纲。LRT 框架的所有组成部分、所有标记为假设 1-6 的假设以及所有主要结果都收集并在第2章中予以解释。为使本书尽可能自包含，我们撰写了关于非交换 $\mathcal{T}$-可测算子、$L^{p}$ 空间、各种对易子以及这些 Banach 空间上的 $C_{0}$ 群的所有数学背景。我们在第4章中展示，最常见的物理系统符合我们的框架：我们从一个遍历拓扑动力系统（ergodic topological dynamical system）出发抽象地构造协变算子的 von Neumann 代数，构造其关联的体平均迹，并讨论与之相容的生成元。主要内容在第5章和第6章中：首先，我们证明未受微扰和受微扰动力学的存在性，并研究重要事实，例如动力学对微扰参数的依赖关系。然后，主要结果——状态动力学的展开、Kubo 公式和 Kubo-Středa 公式——将在第6章中证明。最后，我们在第7章中展示框架如何应用于现有结果，并展望新的应用前景。