量子自旋系统的计算研究 on Yuunagi Library

第1章 · 引言

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第1章 · 引言#

理论物理学的主要目标之一是为各种复杂物理现象提供最简单的模型。在凝聚态物理学以及更广泛的统计力学中，自旋系统经常扮演这一角色。正如伊辛模型（Ising model）和其他理想化的经典自旋模型对我们理解热相变（thermal phase transitions）和临界现象（critical phenomena）具有不可估量的价值一样，各种量子自旋模型如今也在为奇异量子多体态（exotic quantum many-body states）和量子相变（quantum phase transitions）——即由量子涨落（quantum fluctuations）驱动、在温度 $T = 0$ 时、受某种可调相互作用参数控制的相变 [1, 2]——建立理论框架方面发挥着重要作用。量子自旋系统具有多种可能的有序和无序基态以及由此产生的不同类型的激发，为研究集体量子行为 [3, 4] 的其他表现形式提供了丰富的机会。

尽管量子自旋系统常被用作各种现象的简化原型模型系统，并且并非总是旨在完全描述特定真实材料的所有细节，但它们在定量解释多种具有局域电子自旋的莫特绝缘体（Mott insulators）的反铁磁性质方面也取得了巨大成功。高温超导体的未掺杂母体化合物以及其他相关的准二维和准一维铜氧化物就是这方面的一个典型例子。它们实验测得的磁响应函数（magnetic response functions）可以被二维（2D）平面上的 $S = 1 / 2$ 海森堡模型（Heisenberg model）[5, 6]、孤立链 [7, 8] 以及由两条或多条耦合链组成的"梯子"（ladders）[9] 非常出色地重现。与模型计算一致，2D 层状系统随着 T 降低表现出指数发散的关联长度（correlation length）（直到由于 3D 耦合或各向异性而在某个临界温度以下形成有序），而链和梯子化合物仅表现出短程（幂律或指数衰减）关联。除了铜氧化物，许多其他无机和有机反铁磁体在理论与实验之间也显示出同样良好的一致性 [10]。

当代凝聚态物理学的一个突出研究主题是对具有非均匀或受挫（竞争性）反铁磁相互作用 [11, 12, 13, 14] 的 2D 或准 2D 材料的磁无序基态进行建模和解释。2D 自旋系统中的量子相变挑战了基于序参量（order parameters）来理解和分类相变的经典金兹堡-朗道框架（Ginzburg-Landau framework）[15]，这一点在最近的"去禁闭"量子临界点（deconfined quantum critical points）理论 [2, 16] 中得到了体现，该理论将反铁磁（奈尔态，Néel）和非磁性价键固体（valence-bond solid, VBS）基态 [17] 区分开来。在一种为描述这种量子相变而提出的场论（非紧致 $\mathrm{CP}^{1}$ 模型）中，去禁闭的自旋子（spinons）（集体 $S = 1 / 2$ 自由度）是"基本粒子"，由于凝聚（在奈尔态中）或禁闭（在 VBS 态中），两个序参量可以由它们形成 [16]。除了在凝聚态物理学中对这种不寻常相变的兴趣之外，它还与粒子物理学中规范理论（gauge theories）的去禁闭有引人入胜的联系 [18]。近年来，相互作用量子自旋在光晶格中的超冷原子 [19, 20] 以及量子信息理论 [21] 的背景下也变得有趣。诸如纠缠熵（entanglement entropy）[22] 之类的基态多体概念目前正在量子自旋系统的各种基态中进行探索 [23]。

第2章 · 量子自旋模型：基态与量子相变

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第2章 · 量子自旋模型：基态与量子相变#

在固体物理学中，量子自旋哈密顿量描述了局域电子自旋之间的有效磁相互作用。因此，它们可以从相互作用电子的完整问题出发推导得到[35, 36, 37]。这里我们不会详细讨论它们与真实材料的关系，而只介绍一些具有海森堡耦合（Heisenberg coupling）和其他类似相互作用的成熟模型。为了激发并为后续章节中的定量数值计算做准备，在本引言部分，我们将首先概述一些可能的基态类型和量子相变（quantum phase transition）。我们将从不同角度讨论自旋系统中的量子涨落（quantum fluctuation）本质，包括自旋波理论（spin wave theory）和单态配对（价键，valence bond）。

海森堡交换（Heisenberg exchange）是最重要的自旋-自旋相互作用，也是理解量子磁性中许多材料和现象的起点。两个自旋根据哈密顿量耦合：

$$ H_{i j} = J_{i j} \mathbf{S}_{i} \cdot \mathbf{S}_{j} = J_{i j} ( S_{i}^{x} S_{j}^{x} + S_{i}^{y} S_{j}^{y} + S_{i}^{z} S_{j}^{z} ) .\tag{1} $$

通常，这种成对相互作用只对最近邻的格点 $(i, j)$ 求和，但也可以包含更长程的相互作用。具有海森堡相互作用（Heisenberg interaction）的体系，其基态类型、激发性质以及有限温度特性都强烈地依赖于底层晶格。维度起着至关重要的作用。根据梅明-瓦格纳-霍恩伯格定理（Mermin-Wagner-Hohenberg theorem）[38, 39]，具有短程相互作用的量子系统（这里指全局SU(2)自旋旋转对称性）的连续对称性，既不能在一维 $T \geq 0$ 时破缺，也不能在二维 $T > 0$ 时破缺。这通常排除了在一维海森堡模型中出现磁有序的可能性（除非存在长程相互作用，此时该定理不适用——我们将在第4.3.3节讨论一个这样的例子），但在二维，基态可以是磁性的，即 $\langle \mathbf{S}_{i} \rangle \neq 0$（在铁磁体中所有这些矢量期望值平行，在二分反铁磁体中则在两个相反方向之间交替）。除维度外，晶格的微观细节和耦合强度 $J_{i j}$（例如，均匀的、按某种周期性模式调制的，或某种随机无序的方式）也起着决定性作用，可以实现多种不同类型的基态和量子相变（quantum phase transition）。其中一些态和相变目前仍未被完全理解，是正在进行的研究课题。

除了对一般S情况下的自旋波理论（spin wave theory）进行简要回顾外，在本讲义中我们将重点关注最简单的 $S = 1 / 2$ 自旋情况，对应于单个未补偿的电子自旋。这通常是最有趣的情况，因为 $S \to \infty$ 是经典极限，而 $S = 1 / 2$ 因此最大化了量子涨落（quantum fluctuation）的效应（尽管在某些情况下，$S = 1$ 或更高反而会导致更大的量子效应，例如 $S = 1$ 链的“霍尔丹态”（Haldane state）[26]）。我们只考虑反铁磁相互作用（antiferromagnetic interaction），即(1)式中的 $J_{i j} > 0$，从理论角度来看，这比铁磁耦合更有趣。在自然界中，强关联体系中的反铁磁相互作用也更为普遍。如果还允许自旋空间中的各向异性，即(1)式中 $x, y, z$ 方向的耦合强度不同，则可以进入一个更广阔的量子多体物理领域。除了此类各向异性在许多真实磁性材料中的相关性之外，$S = 1 / 2$ 自旋与“硬核”玻色子之间的映射也使得此类模型因其他原因而变得有趣。然而，自旋各向同性的海森堡相互作用可被视为量子磁性的精髓，因此本文将几乎只关注这种情况。

第3章 · 经典相变、蒙特卡洛模拟与有限尺寸标度

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第3章 · 经典相变、蒙特卡洛模拟与有限尺寸标度#

量子相变的许多方面，以及如何基于数值有限格点数据对其进行分析，与经典相变非常相似。这里我们在经典相变的更简单背景下讨论这一通用形式体系，然后再转向量子系统的计算和数据分析。

在经典统计力学中，具有连续相变的系统原型是二维伊辛铁磁体，其精确解 [111, 112] 严格证明了这种相变的存在。该模型定义为

$$ E_{\sigma} = - J \sum_{\left. i j \right.} \sigma_{i} \sigma_{j} - h \sum_{i = 1}^{N} \sigma_{i} ,\tag{28} $$

这只是作为自旋 $\sigma_{i} = \pm 1$ 函数的（势）能。我们用 $\pmb{\sigma} = ( \sigma_{1} , \ldots , \sigma_{N} )$ 来整体表示整个自旋构型。若相互作用键 ij 限制在简单二维正方晶格上的最近邻，无穷大系统的精确临界温度为 $T_{c} / J = 2 / \ln ( 1 + \sqrt{2} ) \approx 2.269$ 。序参量为磁化强度 $\langle m \rangle = \langle \sigma_{i} \rangle$ 。它在 $T < T_{c}$ 且 $T \to T_{c}$ 时的渐近形式为 $m \propto | t | ^{\beta}$ ，其中 t 是约化温度 $t = ( T - T_{c} ) / T_{c}$ ，指数 $\beta = 1 / 8$ 。此类临界指数以及连续相变中标度行为的其他方面将在本节讨论。

第4章 · 精确对角化方法

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第4章 · 精确对角化方法#

通过精确对角化哈密顿量，可以完整了解一个量子自旋系统——有了本征态，任何静态或动态量都能计算。原则上，对于一个有限量子系统，通过构建哈密顿量矩阵并对其进行数值对角化，可以精确计算出所有本征态。然而在实践中，这种精确对角化研究仅限于相当小的晶格，即几十个自旋，因为基矢大小随自旋数量呈指数增长（对于 $S = 1/2$ 的情况为 $2^{N}$ 个态）。因此，在得出关于热力学极限的结论时必须极为谨慎，这甚至可能不可行（如果可用晶格太小而无法容纳无限大系统的物理特性）。尽管如此，从精确对角化研究中获得的见解仍然非常有用，它们本身有价值，同时也作为对其他计算方法的补充。小晶格的精确结果对于检验例如量子蒙特卡洛程序的正确性也是不可或缺的。此外，精确对角化方法为学习量子力学的许多重要方面提供了具体途径，特别是多体态的对称性质。

分块对角化。给定一个哈密顿量 H，精确对角化计算的第一步是选择一个基矢，在该基矢下表达哈密顿量及其他感兴趣的算符。一个自旋-1/2 系统的工作基矢通常由单自旋态 $\uparrow_i$ 和 $\downarrow_i$ 组成，其中 $i = 1, \ldots, N$（量子化方向通常取为 z 方向）。然而，由于希尔伯特空间随系统中自旋数量以 $2^{N}$ 增长，应尽可能利用对称性首先将哈密顿量简化为分块对角形式，如图 25 所示。在这种方案中，自旋态借助适用的对称操作进行组合和排序。这些块对应于具有与对称性相关的不同守恒量子数的态，例如由晶格平移对称性导致的晶体动量守恒，或者总自旋 z 分量的守恒（磁化强度）。这些块可以相互独立地对角化，从而大幅降低计算成本。除了减少计算量之外，直接获取量子数对于对激发进行分类也非常有用。

图 25. 分块对角化的示意图。在原始基矢下，哈密顿量没有明显结构（左）。通过构造由守恒量子数标记的态，矩阵分解成若干块（阴影方块之外的所有矩阵元为零），这些块可以相互独立地对角化（中）。应用另一个对称性（守恒律），这些块可以进一步分解成更小的块（右），由两个不同的量子数标记，等等。

有些对称性相对容易利用（例如磁化强度的守恒），而另一些则需要更多工作，并导致更复杂的基矢态（例如动量态）。一些原则上可用的对称性通常不被实施，因为计算中的实际复杂性可能超过其带来的好处。总自旋守恒就是一个例子。

在精确对角化中使用对称性可以通过群论语言来讨论 [143]。然而，这种形式化并非必需（而且常常令人困惑），这里采用更实用的方法，不涉及群论术语。在处理复杂晶格时，群论实际上非常有用，但其形式化的力量或许可以通过先对简单晶格采用较不形式化的方法，深入理解对称操作和分块对角化之后，才能更好地体会。这里我们考虑一维链和二维简单正方晶格。

本节概览#

我们的论述首先将以$S=1/2$海森堡链为具体例子，在4.1节展开。我们首先在4.1.1节讨论其对称性，并介绍一种使用整数的比特位来表示基态的计算机表示方法。在4.1.2节中，我们在伪代码中使用这种表示法来构建不考虑任何对称性的完整哈密顿量，然后利用磁化强度守恒进行分块对角化。4.1.3节讨论动量态，4.1.4节讨论宇称（反射对称性）的使用，4.1.5节讨论自旋反转对称性。4.1.6节通过一些结果展示了完全对角化以获得有限温度热力学性质的过程。为了计算更大尺寸链的少量本征态，将在4.2节中介绍Lanczos方法。4.3节将展示该技术在几个一维系统中的效用。4.3.1节讨论海森堡链的基态和低能激发。4.3.2节研究在存在阻挫性次近邻相互作用时发生的二聚化相变，4.3.3节则考虑一个具有长程相互作用的扩展模型。4.4节简要描述了二维系统的对角化。文中将讨论动量态和其他正方晶格的对称性，并讨论与该系统奈尔基态相关的计算结果。

4.1 海森堡链的对角化#

我们将研究$S = 1 / 2$反铁磁海森堡链，其哈密顿量为

$$ H = J \sum_{i = 0}^{N - 1} \mathbf{S}_{i} \cdot \mathbf{S}_{i + 1} = J \sum_{i = 0}^{N - 1} \big [ S_{i}^{z} S_{i + 1}^{z} + \frac{1} {2} \big ( S_{i}^{+} S_{i + 1}^{-} + S_{i}^{-} S_{i + 1}^{+} \big ) \big ] ,\tag{106} $$

其中，为了下面将明了的理由，这里将自旋标记为$i = 0 , \ldots , N - 1$比较实用。当我们考虑动量态时，将假设周期性边界条件$\mathbf{S}_{N} = \mathbf{S}_{0}$，但在此之前边界条件是任意的。

第5章 · 量子蒙特卡洛模拟与随机级数展开方法

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第5章 · 量子蒙特卡洛模拟与随机级数展开方法#

费曼的量子统计力学路径积分表述[175]在QMC方法的发展中发挥了重要作用。对于自旋系统及相关晶格模型，基于虚时路径积分的方法通常被称为世界线方法（world line methods）[176]。这些技术最初基于虚时的近似离散化——玻尔兹曼算符$\exp ( - \beta H )$的Suzuki–Trotter分解[177, 178]。后来，直接在虚时连续统中运行的精确算法也被开发出来[179, 32]。然而，第一个实际有用的QMC方法并未使用路径积分。早在20世纪60年代初，Handscomb基于$\exp ( - \beta H )$的幂级数展开以及置换算符（海森堡交换可以用其表示）乘积迹的可精确计算性，为海森堡铁磁体开发了一种无近似的方法[180, 181]。尽管这一方案也被推广到海森堡反铁磁体[182, 183, 184]和其他一些系统[185]，但世界线方法通常更高效，并在很长一段时间内主导了该领域。随着更普遍适用的精确随机级数展开（SSE）公式[186, 187]的引入（其中也对迹进行采样，从而绕过了先前对置换算符代数的依赖），QMC计算的幂级数方法得以复兴。Handscomb方法的这种推广除了提高了计算实用性和效率外，还清晰地展示了离散幂级数与连续虚时路径积分之间的密切关联。基于这两种公式的现代QMC算法最终也颇为相似[33, 31]。特别是，对于某些模型（如海森堡模型），自旋构型都可以使用高效的环簇更新（loop-cluster updates）[188, 189, 179, 190]进行采样，这些是经典Swendsen-Wang[118]簇算法对量子系统的推广[191]。环概念进一步推广到“虫”（worms）[32]和“有向环”（directed loops）[190, 33]，具有更广泛的适用性（例如，在存在外场的情况下），并已经实现了对广泛量子自旋和玻色子模型的大规模研究。其中一些模型现在可以达到接近经典系统最先进水平的细节程度进行研究。

对于阻挫自旋系统，QMC方法通常会受到“符号问题”（sign problems）的困扰，即存在非正定的路径积分或级数展开[192]。虽然原则上仍可进行计算，并且在高温下控制符号涨落方面取得了一些进展[193]，但在低温下，由混合符号引起的统计误差变得不可控制。除了讨论阻挫模型符号问题的起源，我们这里只考虑无阻挫（二分）系统。尽管这仅构成了我们原则上感兴趣系统的一个子集，但这类模型仍然展现出丰富的有趣物理，并继续在前沿研究中提供重要的见解。

在本笔记中，我们将仅讨论SSE方法的实现和应用，对于自旋系统，它通常比连续时间路径积分更高效且技术上更简单。然而，理解这两种方案之间的关系仍然很有用。因此，在5.1节中，我们首先回顾量子统计力学中的路径积分和世界线QMC方法，包括离散和连续虚时两种情况。在5.1.3节中，我们介绍量子统计力学的一般级数展开公式，并研究其与路径积分的数学关系。在5.2节中，我们描述了针对$S = 1 / 2$海森堡模型的SSE方法的高效实现。在5.3节中，我们讨论了几个一维和二维系统的说明性计算结果；包括5.3.1节中的单链、5.3.2节中的梯子系统、5.3.3节中的均匀二维晶格、5.3.4节中的二聚化系统（重点讨论奈尔态与非磁态之间的量子相变），以及5.3.5节中的J-Q模型（包含连续和一级Néel-VBS相变的例子）。

5.1 量子统计力学的路径积分与级数展开公式#

量子统计力学的主要技术问题是如何处理玻尔兹曼算符 $\exp ( - \beta H )$。正如我们在上一节中看到的精确对角化方法，对于超过几十个自旋的系统，直接构造对应的矩阵是不可行的。路径积分方法提供了一种方法，将此算符的迹（配分函数）转化为可以使用蒙特卡洛方法采样的形式。另一种方法是从指数函数的幂级数展开出发。这里我们介绍这两种方法，作为在第5.2节中实现海森堡模型SSE方法的基础。

5.1.1 虚时路径积分#

路径积分表述的出发点是，将逆温度 $\beta$ 下的指数算符写作指数中包含 $\Delta_{\tau} = \beta / L$ 的 L 个算符的乘积；

这个迹可以表示为任意基底下对角矩阵元的和。我们还可以在每个指数算符之间插入一组完备态。于是，配分函数取 L 维矩阵元乘积和的形式；

形式上，指数算符等价于虚（欧几里得）时间 $t = - i \Delta_{\tau}$ 下的薛定谔时间演化算符 $\exp ( - i H t )$（取 $\hbar = 1$）。因此，可以将 (223) 视为一个 $\bar{d}$ 维量子系统到 $d + 1$ 维等效系统的映射，其中新增的维度是虚时间。$^{6}$ 状态指标 $l$ 对应一组离散的虚时间点 $\tau_{l} = l \Delta_{\tau}$，满足 $0 \le \tau_{l} \le \beta$ 且状态具有周期性时间边界条件 $( \alpha_{L} = \alpha_{0} )$。离散时间点通常被称为"时间片"。

第6章 · 相关计算方法综述

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第6章 · 相关计算方法综述#

在这些讲义中，我们详细讨论了精确对角化方法和SSE QMC方法，并考察了一些针对$S = 1 / 2$模型的计算实例及其结果。通过将讨论限定在$S = 1 / 2$系统，以及在此类系统中的自旋各向同性系统，有许多关于方法和物理的问题未被涉及。精确对角化方法可以很容易地用于任何自旋模型，但随着自旋S的增大，希尔伯特空间的规模迅速增长，这对$S > 1 / 2$系统的晶格尺寸施加了更为严格的限制。世界线和SSE QMC方法可以推广到任何自旋模型，只要系统中不存在导致符号问题的阻挫。在本节中，我们简要总结了一些适用于更一般自旋模型的QMC方案，以及针对各向同性$S = 1 / 2$系统的一些最新进展。

还有其他几种重要的计算方法超出了这些讲义的范围，例如级数展开技术（高温展开和围绕基态某些可解极限的展开，例如各向异性海森堡模型的伊辛极限）[261, 262]以及DMRG方法[28, 29]。虽然级数展开原则上可以应用于任何模型，但在以可控方式外推级数方面存在问题，而且在大多数感兴趣的情况下，人们无法期望达到与无符号问题模型的QMC模拟相同的精度（例如，在量子相变研究中）。尽管如此，级数展开方法仍然是目前可用于二维阻挫量子自旋系统的最强大的一类方法[100]，在这些系统中QMC方法受到符号问题的限制（但请注意在高温下控制符号问题的最新进展[193]）。更强大的级数展开方案仍在积极开发中[263]，预计这一领域将继续取得进展。DMRG方法对一维系统非常有效，也可用于中等尺寸的二维系统[94]。目前，人们正在非常积极地探索将DMRG方法以及相关的矩阵乘积态[26, 264, 21]推广到更高维度的“张量网络”态[21, 106, 265]。这是一条令人兴奋的研究路线，最终可能为无偏研究阻挫自旋系统（甚至费米子系统）提供可行方案。然而，在可预见的未来，这些方法似乎不太可能达到与针对非阻挫系统的现有QMC方法相同的精度水平来探测量子自旋系统。

图90. 各向异性$S = 1/2$海森堡模型（可能还包括外磁场）中，通过顶点的四种可能路径的例子，以及在定向环算法中沿这些路径移动时生成的新顶点。每个方框左侧顶点处的竖线表示入口和出口腿（两个方向的移动都是可能的）。给定一个入口腿，必须选择出口，使得当腿上的自旋翻转时生成一个允许的新顶点（右侧的顶点，未标出路径）。在“反弹”过程(d)中，出口与入口在同一腿上，顶点不改变。在一般的各向异性海森堡模型中，有六个允许的顶点——那些自旋（z分量）守恒的顶点。在第5节讨论的“确定性”环算法中，只有四个顶点，且只允许(a)类型的路径

综合考虑上述不同方法的优缺点，作者主张在研究量子自旋模型及相关系统时采取双管齐下的策略：(i) 探索新的和改进的方案（也包括 QMC 方案），这些方案可能有助于研究目前 QMC 技术无法触及的模型。(ii) 使用最先进的 QMC 方法研究无符号问题模型的有趣物理现象。认为在无符号问题模型上所有能做的都已经做了，这种说法远非事实（尽管有时能听到这种说法）！借助现有的 QMC 方法，例如第 5 节中描述的 SSE 算法，以及现代计算机的强大功能（其性能仍在以惊人的速度提升，例如每个 CPU 的内核数稳步增加），我们能够触及仅在几年前还无法企及的有趣物理现象。特别是第 5.3.5 节中对二聚化和 J-Q 类模型的讨论，希望能让读者相信，在这样系统中以及更广泛的领域（例如表现出反常态和量子相变 [266, 267, 268, 278] 的无序系统）还有很多值得探索。

定向环 QMC 算法。定向环算法是 SSE 算符环方案的推广，由 [33] 引入（建立在先前效率较低的公式 [190] 之上），并应用于具有各向异性相互作用（伊辛和 XY）和外磁场的 S = 1/2 海森堡系统。环与定向环（在 SSE 和世界线公式中）的主要区别在于，在定向环方案中，穿过顶点的路径不是唯一的。路径（给定一个顶点入口腿后的出口腿）是根据特定概率选择的，这些概率旨在在一个包含两个缺陷（开放的环端）的空间中维持细致平衡（在精神上与 "虫" 算法 [32] 类似）。对于 S = 1/2 系统，有四种类型的顶点路径，对应于出口相对于入口的位置，如图 90 所示并进行了更详细的讨论。这些路径概率，它们应该是对应定向环方程（用于细致平衡）的解，通常不是唯一的。对于某些模型，消除图 90(d) 中的 "反弹" 过程（bounce process）将定向环方案简化为先前为 S = 1/2 系统开发的其中一个标准环更新方案（如第 5 节讨论的各向同性系统）

致谢

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致谢#

These lecture notes build largely on material to be published as a book, Quantum Spin Systems—A Computational Perspective, by Cambridge University Press. The opportunity to lecture at the XIV Training Course in the Physics of Strongly Correlated Systems (Vietri sul Mare, Salerno, Italy, in October 2009) prompted me to prepare a condensed version of this as of yet unfinished work (which will discuss a larger set of models and computational methods). These lecture notes cover the topics I discussed at Vietri sul Mare, but I have added more background and details. Some of the applications have been complemented with recent results. As in my lectures, the target audience for these notes is graduate students and postdocs who are entering the field of quantum magnetism, or some related area in where quantum spin models are of interest, and need a source for elementary concepts and calculations. I believe that this material could also form the core of a one-semester advanced topics course in quantum magnetism (focused on concepts and numerical calculations).

参考文献

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参考文献#

S. Sachdev, Quantum Phase Transitions (Cambridge University Press, 1999).
S. Sachdev, Nature Physics 4, 173 (2008).
S. Sachdev, arXiv:0901.4103.
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S. Eggert, I Affleck, and H. Takahashi, Phys. Rev. Lett. 73, 332 (1994).
S. Eggert, Phys. Rev. B 53, 5116 (1996).