第2章 · 量子自旋模型：基态与量子相变#

在固体物理学中，量子自旋哈密顿量描述了局域电子自旋之间的有效磁相互作用。因此，它们可以从相互作用电子的完整问题出发推导得到[35, 36, 37]。这里我们不会详细讨论它们与真实材料的关系，而只介绍一些具有海森堡耦合（Heisenberg coupling）和其他类似相互作用的成熟模型。为了激发并为后续章节中的定量数值计算做准备，在本引言部分，我们将首先概述一些可能的基态类型和量子相变（quantum phase transition）。我们将从不同角度讨论自旋系统中的量子涨落（quantum fluctuation）本质，包括自旋波理论（spin wave theory）和单态配对（价键，valence bond）。

海森堡交换（Heisenberg exchange）是最重要的自旋-自旋相互作用，也是理解量子磁性中许多材料和现象的起点。两个自旋根据哈密顿量耦合：

通常，这种成对相互作用只对最近邻的格点 $(i, j)$ 求和，但也可以包含更长程的相互作用。具有海森堡相互作用（Heisenberg interaction）的体系，其基态类型、激发性质以及有限温度特性都强烈地依赖于底层晶格。维度起着至关重要的作用。根据梅明-瓦格纳-霍恩伯格定理（Mermin-Wagner-Hohenberg theorem）[38, 39]，具有短程相互作用的量子系统（这里指全局SU(2)自旋旋转对称性）的连续对称性，既不能在一维 $T \geq 0$ 时破缺，也不能在二维 $T > 0$ 时破缺。这通常排除了在一维海森堡模型中出现磁有序的可能性（除非存在长程相互作用，此时该定理不适用——我们将在第4.3.3节讨论一个这样的例子），但在二维，基态可以是磁性的，即 $\langle \mathbf{S}_{i} \rangle \neq 0$（在铁磁体中所有这些矢量期望值平行，在二分反铁磁体中则在两个相反方向之间交替）。除维度外，晶格的微观细节和耦合强度 $J_{i j}$（例如，均匀的、按某种周期性模式调制的，或某种随机无序的方式）也起着决定性作用，可以实现多种不同类型的基态和量子相变（quantum phase transition）。其中一些态和相变目前仍未被完全理解，是正在进行的研究课题。

除了对一般S情况下的自旋波理论（spin wave theory）进行简要回顾外，在本讲义中我们将重点关注最简单的 $S = 1 / 2$ 自旋情况，对应于单个未补偿的电子自旋。这通常是最有趣的情况，因为 $S \to \infty$ 是经典极限，而 $S = 1 / 2$ 因此最大化了量子涨落（quantum fluctuation）的效应（尽管在某些情况下，$S = 1$ 或更高反而会导致更大的量子效应，例如 $S = 1$ 链的“霍尔丹态”（Haldane state）[26]）。我们只考虑反铁磁相互作用（antiferromagnetic interaction），即(1)式中的 $J_{i j} > 0$，从理论角度来看，这比铁磁耦合更有趣。在自然界中，强关联体系中的反铁磁相互作用也更为普遍。如果还允许自旋空间中的各向异性，即(1)式中 $x, y, z$ 方向的耦合强度不同，则可以进入一个更广阔的量子多体物理领域。除了此类各向异性在许多真实磁性材料中的相关性之外，$S = 1 / 2$ 自旋与“硬核”玻色子之间的映射也使得此类模型因其他原因而变得有趣。然而，自旋各向同性的海森堡相互作用可被视为量子磁性的精髓，因此本文将几乎只关注这种情况。

章节概要。在基于自旋波理论讨论了反铁磁（奈尔）态及其量子涨落的本质之后（第2.1节），将在第2.2节讨论两类重要的非磁态——自旋液体（spin liquid）和价键固体（valence-bond solid）。第2.3节简要回顾了一维体系的特殊性质。第2.4节介绍了扩展的量子海森堡模型以及量子相变的类型，我们将在后续章节中，在应用各种计算方法时，对这些内容进行更详细的探讨。

2.1 奈尔态及其量子涨落#

在二维正方晶格（以及其他具有均匀相互作用的二维和三维二分晶格）上，仅具有最近邻相互作用的海森堡模型的基态是反铁磁（奈尔）有序的，相邻自旋平均而言呈反平行（交错）排列。注意，一个最大有序的反铁磁态，例如在一维链上呈 的交替排列（或在二维正方晶格上呈 和 自旋的棋盘格图案），并不是海森堡哈密顿量的本征态，而一个完全极化的铁磁态，例如 $|\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\cdots\rangle$，却是一个本征态（并且，在铁磁相互作用的情况下，具有最小能量）。这可以通过将成对相互作用(1)写成如下形式容易看出：

当作用于完美的奈尔态时，升算符和降算符会翻转自旋对，造成局部缺陷；而它们会破坏完美的铁磁态。因此，反铁磁序必然会被量子涨落削弱，而对角线外的相互作用存在时，完全极化的铁磁态仍是基态。对于具有反铁磁相互作用的系统，其真正基态中残留的磁有序量（如果有的话）取决于晶格的细节以及哈密顿量中包含的相互作用的敏感程度。

再次注意，具有海森堡相互作用（Heisenberg interaction）的系统（例如铁磁体的磁化强度或反铁磁体的子晶格磁化强度）的磁序参量是自旋空间中的一个矢量。子晶格磁化强度算符为

其中 $\phi_{i} = \pm 1$ 是交错相位因子（staggered phase factor），例如在二维正方晶格上 $\phi_{i} = ( - 1 )^{x_{i} + y_{i}}$ ，这里 $x_i$ 和 $y_i$ 是格点 i 的晶格（整数）坐标。在奈尔态中，期望值 $\langle{\bf{m}}_{s} \rangle = m_{s}^{x} \hat{\bf{x}} + m_{s}^{y} \hat{\bf{y}} + m_{s}^{z} \hat{\bf{z}}$ 在热力学极限下非零。序可以形成——自旋旋转对称性可以被打破——在自旋空间的任何方向上。为了方便起见，通常将 z 自旋分量与此方向关联，因此交错磁化强度（staggered magnetization）为 $\left. m_{s} \right. = \left| \left. S_{i}^{z} \right. \right|$ 。在一个有限系统中，即使矢量的方向在所有角度上仍然存在涨落，因而 $\langle \mathbf{m}_{s} \rangle = 0$ ，也可以形成非零大小的奈尔序 $m_{s}$ 。因此，在有限系统的计算中，应该使用一个与方向无关的量来检测序的存在，例如 $\langle m_{s}^{2} \rangle$ 或 $\langle | m_{s} | \rangle$ 。稍后我们将看到许多有限晶格计算的例子。首先，让我们更详细地讨论对称性破缺的奈尔态的一些基本性质。

2.1.1 自旋波理论#

二维和三维系统中的奈尔态及其激发可以用简单的线性自旋波理论（linear spin wave theory）来理解（许多标准著作中有更详细的讨论，例如 Manousakis 的综述文章 [6] 和 Mattis 的著作 [36]）。这种计算从最大有序的交错自旋态开始，该态是自旋幅度 $S \to \infty$ 的经典极限下的精确基态。这被视为一个真空态，在此基础上，通过添加玻色子来表示自旋相对于 $\left| S_{i}^{z} \right| = S$ 的偏差，从而系统地包含量子效应，以获得有限 S 下系统基态的良好近似。

图1说明了 $S = 1 / 2$ 时自旋与玻色子之间的关系。使用这种映射的原因是，利用玻色子更容易进行计算，因为它们的对易关系更简单。线性自旋波理论对应于无相互作用的玻色子，并且根据构造，它对 $S \to \infty$ 是精确的。对于有限 S 的结果，可以通过在 $1 / S$ 展开形式中包含相互作用来系统地改进。这里我们仅概述最低阶的计算。

图1. $S = 1 / 2$ 自旋与玻色子的对应关系，这里以一维链为例。完全交错的参考态（左）是玻色子的真空态（– 表示玻色子占据数为零）。对于相对于参考态翻转的每个自旋，在相应格点处都有一个玻色子（ ）（右）。对于 $S = \bar{1 / 2}$ ，每个格点上的玻色子占据数为 0 或 1，而对于任意自旋，它们为 $0 , \ldots , 2 S$ 。线性自旋波理论对应于无相互作用的玻色子，并且不强制执行占据数约束。$1 / S$ 中的高阶计算逐渐恢复这些约束。

如果我们忽略每个格点的玻色子数 $n_{i}$ 应处于 $0, \ldots, 2S$ 范围（物理子空间）这一约束，就可以使用以下简单的（$1/S$ 最低阶）映射，将原始哈密顿量（2）中的自旋算符与玻色子的产生和湮灭算符 $a_{i}^{+}$ 和 $a_{i}$（以及数算符 $n_{i} = a_{i}^{+} a_{i}$）联系起来：

查看图1有助于理解这个映射——除了非对角算符对态产生影响的方式显而易见之外，还需要注意与玻色子的产生/湮灭和自旋的升/降相关的不同因子（这已在标准量子力学教科书中讨论过）。(4)式中的因子在 $n_{i} \ll S$ 时是正确的，但请注意，对于 $S = 1/2$ 的情况，它们在物理子空间中也是精确的。原则上，可以写出更复杂的表达式，使其在物理子空间中对于任意 $S$ 和 $n_{i}$ 都形式正确（并且也能自动解耦物理子空间和非物理子空间），但这些表达式只有在超越线性自旋波理论时才相关。

我们现在使用映射（4）变换哈密顿量（2）中的各项。由于我们考虑的是一个二分系统，其中两个格点 $i$ 和 $j$ 总是位于不同的子晶格上，我们得到非对角项：

而对角相互作用为：

自旋波理论形式上应视为大S展开。在最低阶计算中，我们应舍弃(6)式中的相互作用项 $n_{i} n_{j}$，因为它比来自(5)式和(6)式的非相互作用贡献小 $1/S$ 量级。为明确起见，我们考虑具有 $N = L^{2}$ 个格点的二维正方晶格。于是得到有效哈密顿量：

这里应注意，我们考虑的是有限系统，但假设对称性已破缺（交错磁化强度的方向已被锁定），这仅在 $N \to \infty$ 极限下才严格成立（除非在 $H$ 中添加某种对称性破缺场）。不过这没有问题，因为我们最终仍会取 $N \to \infty$ 极限。

玻色子哈密顿量（7）可以很容易地对角化（即用数算符表示）。为构造这一解，我们首先进行傅里叶变换：

其中实空间算符已用其晶格坐标矢量 $\mathbf{r}$ 标记，而不再用格点索引 $i$，动量 $\mathbf{k}$ 位于正方晶格的第一布里渊区（即 $N$ 个格点的倒易正方晶格）。哈密顿量变为：

其中，设晶格常数为 $1$（即 $k_{x}, k_{y} = n 2\pi / L, n \in \{0, ..., L-1\}$），

下一步是进行博戈留波夫变换（Bogolubov transformation），将原始的 $+\mathbf{k}$ 和 $-\mathbf{k}$ 算符混合为新的玻色子算符：

其逆变换为：

容易验证，对于任意 $\Theta_{\mathbf{k}}$，算符 $\alpha_{\mathbf{k}}$ 都满足标准的玻色子对易关系。技巧在于对每个 k 选择合适的这些“角度”，使得形如 $\alpha_{\mathbf{k}} \alpha_{- \mathbf{k}}$ 和 $\alpha_{\mathbf{k}}^{+} \alpha_{- \mathbf{k}}^{+}$ 的所有算符在哈密顿量 (9) 中相互抵消。这需要满足

经博戈留波夫变换后的哈密顿量（即自旋波哈密顿量）在占据数表象中是对角化的：

其中，经过一些利用式 (10) 的代数运算后，常数项可写为

而式 (14) 中自旋波态 $\alpha_{\mathbf{k}}^{+} \vert 0 \rangle$ 的色散关系为

对于接近 $( 0 , 0 )$ 和 $( \pi , \pi )$ 的动量，色散关系是线性的，分别为 $\omega_{\bf k} = c k$ 和 $\omega_{\mathbf{k}} =$ $c | ( \pi , \pi ) - \mathbf{k} |$，速度（即自旋波速度）$c = 2 \sqrt{2} S J$。

式 (14) 的基态 0 是自旋波的真空态，其能量即为式 (15) 给出的 $E_{0}$。该求和可通过数值计算，最简便的方法是在大晶格上直接对动量求和，并将 $E_{0} / N$ 外推到 $N \to \infty$（或者将除以 N 的求和转换为积分，其数值计算结果直接给出 $N = \infty$ 的值）。对于 $S = 1 / 2$，结果为 $E_{0} / J N = - 0.65795$。

需要注意的是，尽管基态不包含任何博戈留波夫玻色子（自旋波），但它确实包含一定数量的原始 a-玻色子。子晶格磁化强度直接与这些玻色子的密度相关，该密度是均匀的，可在任意格点上计算或在所有格点上取平均：

利用博戈留波夫变换，上式变为

在最有趣的自旋 $S = 1/2$ 情形下，该表达式给出 $\langle m_{s} \rangle = 0.3034$，大约为“经典”值 $1/2$ 的 61%。因此，量子效应（由玻色子的存在所代表的零点涨落）会削弱但不会破坏长程有序。

原则上，自旋波理论对于小 $S$ 是否可靠并不明确。围绕这个问题已有许多讨论，但该方法实际上对正方晶格上的二维海森堡模型给出了很好的描述。正如我们后面将看到的，无偏的量子蒙特卡罗（QMC）计算给出的 $E_{0}$ 和 $\langle m_{s} \rangle$ 值与上述结果仅相差约 1-2%。事后可以将其归因于 $\langle m_{s} \rangle$ 的真实值相当大（即，当玻色子密度较低时，可以预期自旋波理论是准确的）。在真实子晶格磁化强度较小或为零的情况下，即使推广到 $1/S$ 的高阶（这会显著增加计算的复杂性 [40, 41, 42]），自旋波理论通常也不那么奏效。

2.1.2 奈尔序的破坏#

当超越具有均匀相互作用的二部晶格，或通过为海森堡模型补充额外的相互作用（例如，包含两个以上的自旋）时，量子涨落可能变得非常显著，以至于基态失去其长程奈尔序，仅保留短程反铁磁关联。还存在其他几种可能的有序和无序基态类型，其中一些没有经典对应物。当前对量子自旋模型的许多兴趣都与非磁性态的存在以及它们与奈尔态之间的量子相变有关 [2]。这也是本讲义中将要讨论的数值计算的主要主题。研究此类相变的一个长期动机源于铜氧化物（cuprate）高温超导体，其未掺杂的母体化合物是反铁磁体，与弱耦合的海森堡层紧密对应（其许多性质可以基于单层来理解）[6]。在这些体系中，移动电荷载流子的掺杂会破坏磁有序。这是一个极具挑战性的电子多体问题，计算研究在其中也扮演着重要角色 [43, 44, 45]。尽管高温超导问题的完整解答当然需要更复杂的模型（或许是 t-J 模型或哈伯德模型的某种变体），但靠近奈尔态量子相变的一些通用物理特征，仍可基于纯自旋模型来理解 [46]。

除了铜氧化物和相关反铁磁体系外，还有许多材料具有非均匀或受挫的自旋相互作用 [11, 12, 13]，这可能导致非磁性的低温态。这些态中的许多以及它们之间可能的量子相变，至今仍未得到很好的理解。因此，寻找并研究能够实现各种基态类型和量子相变的原型量子自旋模型是很有用的。量子相变的研究还具有更广泛的背景，即理解量子力学在集体多体层面的“奇异”表现形式 [2]。甚至与粒子物理学也有有趣的关联——2+1 维超对称规范理论中的相变与可能分隔二维奈尔态和价键固体（VBS）基态的“退禁闭”量子临界点之间存在着密切的类比 [18]。

2.2 自旋液体与价键固体#

在线性自旋波理论中，非磁性态对应玻色子密度 $\langle n_{i} \rangle = S$。然而，这种态并不能很好地表示海森堡模型及相关量子自旋模型的实际非磁性基态，因为它不包含任何关联效应。为了讨论更有趣的非磁性态，首先从不同角度审视量子涨落是有益的。

对于两个孤立的自旋 $i, j$（一个二聚体，$N = 2$），$S = 1/2$ 反铁磁海森堡哈密顿量 (1) 的基态是单重态；

尽管这种单重态中的两个自旋始终完全反相关（纠缠在一起），但单个自旋的涨落非常强烈（达到最大），且不存在静态自旋序；$\langle \mathbf{S}_{i} \rangle = \langle \mathbf{S}_{j} \rangle = 0$ 。相比之下，$N = 2$ 时的完美奈尔态 $| {\uparrow}_{i} {\downarrow}_{j} \rangle$ 和 $\left| \downarrow_{i} \uparrow_{j} \right.$ 是乘积态（即形式为 $| \phi_{i} \otimes | \phi_{j} )$ ），没有涨落（也没有纠缠——粗略地说，纠缠程度对应于偏离乘积态的程度）。注意，对于 $N = 2$，单重态的（本征）能量为 $- 3 J_{i j} / 4$，而奈尔态的能量期望值要高得多，为 $- J_{i j} / 4$（且这些态不是本征态）。相互作用的自旋通过形成配对单重态来最小化能量的趋势在多自旋系统中依然存在，但当 $N > 2$ 时，一个自旋无法同时与所有相邻自旋形成纯单重态对。相反，系统可以被视为不同单重态配对的叠加。此时没有任何一对处于纯单重态，因此每个相互作用 $H_{i j}$ 的能量贡献总是高于单重态能量 $- 3 J_{i j} / 4$ 。这可以看作是量子涨落的降低（导致双自旋纠缠未达到最大），使得每个相互作用对的状态（或更准确地说，密度矩阵）在 $N > 2$ 时更接近乘积态。如果单重态配对中有足够的涨落（注意，从单重态的角度看，奈尔态比例如固定单重态配对的状态具有更大的涨落——确切地说，涨落应始终相对于某个参考态来定义），那么在热力学极限下可能形成破坏哈密顿量旋转不变性的反铁磁长程序。如果系统是一维的，或者相互作用受到强烈阻挫（竞争），或者晶格几何和耦合有利于以特定模式形成单重态（例如在弱耦合二聚体系统中），则当 $N \to \infty$ 时，基态中可能不存在反铁磁序。

图2. 二维价键态。粗线代表单重态。箭头显示与价键兼容的自旋构型（即每个键上的自旋反平行——价键态是所有此类自旋构型的叠加）。如图所示，在二维中，一个仅包含短键的价键态（或任何此类态的叠加），这里极端情况是所有键长为一，没有磁序。但价键上可以有有序性。(a) 和 (b) 分别代表无序RVB自旋液体和柱状VBS的典型构型。

价键态。上述关于涨落单重态状态的直观图像实际上可以做到严格。任何单重态都可以展开为单重态对（或价键）乘积的基态。用 $( i , j )$ 表示自旋 i 和 j 的单重态，如式(19)所示，则 N（偶数）个自旋的归一化价键基态形式为

其中每个格点指标恰好出现一次（即每个自旋属于一个单态）。这个基矢在单态子空间中是超完备的，因此任何单态都可以用这些态展开，但展开系数并不唯一。价键基矢及其计算方法在文献[47,48,49,50]中进行了讨论。这里我们仅指出，某些类型的态在价键基矢下比在单个自旋的标准基下表达得更为自然。

为了使价键基矢（超）完备，必须允许任意长度的键。限制键长会使基矢不完备（尽管实际上可以将键限制为仅连接两个不同子晶格上的格点）。某些类型的态仍然完全由短键主导（即键长为 r 的概率随 r 快速衰减）。在二维中，这类短键态没有磁性的长程有序（而在三维中它们可以是奈尔有序态），通常被称为自旋液体或共振价键（RVB）态。键构型中也可以形成各种类型的晶体有序，导致可观测量如 $\langle \mathbf{S}_{i} \cdot \mathbf{S}_{j} \rangle$（其中 $i , j$ 为最近邻格点）出现周期性调制。这些有序态（打破晶格对称性）被称为价键固体（VBS）或价键晶体。图2展示了RVB态和VBS态中价键的代表性构型。

2.3 一维系统#

一维系统相当特殊，值得单独介绍。对量子自旋链的研究可追溯到贝特对 $S = 1 / 2$ 海森堡模型的精确解，该解发表于1931年[51]，并在随后的一段时间内得到了更详细的发展[52]。然而，该解非常复杂（通常需要复杂的数值计算[53, 54]），海森堡链的许多性质直到很久以后才通过补充方法（特别是有效低能场论的重整化群处理[55, 56, 57, 58, 59]）得到。

如前所述，一维海森堡系统中不可能存在磁有序（但允许VBS有序，因为它打破的是离散对称性）。海森堡链的自旋关联函数 $C ( r ) = \langle{\bf S}_{i} \cdot{\bf S}_{i + r} \rangle$ 随距离 r 按 $( - 1 )^{r} / r$ 衰减（带有对数修正项，我们稍后将讨论）。因此，其基态是临界的（或称为准长程有序，处于有序的边缘）。当包含阻挫的次近邻相互作用足够强时，会引起量子相变进入VBS态（有时也称为自旋-派尔斯态），其中自旋关联随距离呈指数衰减[60]。

虽然准一维反铁磁体早在20世纪60和70年代就受到了实验研究的积极关注，但20世纪80年代的理论发展进一步推动了这些努力。Haldane基于场论方法推测[55]，海森堡链对于整数自旋$( S = 1 , 2 , . . . )$和“半奇整数”自旋$( S = 1 / 2 , 3 / 2 , . . . )$具有完全不同的物理性质。根据Bethe解已知，$S = 1 / 2$链具有无激发能隙的谱（与幂律衰减的自旋关联相关）。Haldane提出，$S = 1$链可能反而具有一个基态，其关联呈指数衰减，且所有激发均存在能隙；这是一种自旋液体态[26]。这与（例如基于自旋波理论的）预期相悖，即增大$S$应增强有序趋势。Haldane的推测激发了关于$S = 1$海森堡链以及更广泛一维系统的理论与实验研究热潮。如今，数值研究已提供完全确凿的证据证明Haldane是正确的[61, 62, 63]。实验上，也有许多准一维$S = 1 / 2$[64]和$S = 1$[65]（以及更大$S$[66]）化合物在激发谱上表现出预测的差异。关于自旋S海森堡链，已发展出一个相当完整且有说服力的理论（也涵盖了半奇整数自旋的VBS相变），但直至今日，其各种不寻常性质仍在被研究中[67]。自旋链还有许多其他变体，同样吸引了大量的理论和实验关注（例如，包含各种各向异性、外场[68]、高阶相互作用[69]、与声子耦合[70, 71]、长程相互作用[72, 73]等的系统）。在第4节中，我们将使用精确对角化方法研究$S = 1 / 2$海森堡链，以及包含阻挫相互作用（也包括长程相互作用）的扩展变体。在第5节中，我们将使用SSE QMC方法研究更长的链。我们还将研究由数条耦合链构成的梯子系统[9]，对于偶数条链，其性质类似于Haldane态（即自旋关联指数衰减且激发有能隙）。

图3. 在连续型(a)和一级型(b)相变中，序参量（例如铁磁体的磁化强度）随温度(T)或耦合参数(g)的变化。经典热相变发生在某个温度$T = T_{\mathrm{{c}}}$处，而量子相变发生在$T = 0$时的某个$g = g_{c}$处

2.4 二维中具有量子相变的模型#

不同类型基态的存在意味着，当哈密顿量中的某个参数发生变化时（在量子磁体中，实验上可通过改变压力或外磁场来实现[74]——但应注意，其可能性比模型中的更为有限），系统可以在$T = 0$下发生相变。如同经典的温度驱动相变一样，这类量子相变可以是连续型或一级的，如图3所示。通常，相变与一个序参量相关联，该序参量在无序相中为零，在有序相中非零，例如铁磁体的磁化强度m或反铁磁体的子晶格磁化强度$m_{s}$。在第4和5节中，我们还将讨论有序-有序（Néel-VBS）相变的例子。连续相变与标度性和普适性相关，我们将在第3节中更详细地讨论这些内容。在这些讲义中，我们将不讨论拓扑相变，这类相变不与任何局域序参量相关联。跨越这种相变的不同状态仅能通过某种全局拓扑量来区分[76]。

在本节中，我们介绍一些在二维中展现量子相变的自旋模型。如前所述，具有最近邻相互作用的二维 $S = 1/2$ 海森堡模型在 $T = 0$ 时具有奈尔序。那么问题是如何破坏这种序并创造某种不同的基态。基于量子蒙特卡洛计算的具体研究将在第5节中呈现。此处的讨论旨在作为我们讨论计算技术时将会考虑的那些模型和物理量的引介。本节中已经会有一些量子蒙特卡洛结果用于说明目的，但目前我们无需关心它们是如何获得的——只需说明这些数据是数值精确的就足够了（误差在统计误差范围内，大多数情况下这些误差小到在图中无法分辨）。

图4. 具有两种不同最近邻耦合强度的二聚化系统；双层系统(a)中二聚体跨层分布，以及具有柱状(b)和交错(c)二聚体的单层系统。

这里讨论的大部分相变也存在一维类似物，其中一些将在第4.3节中讨论。三维系统可以展现出类似于二维的相变，但目前大多数计算研究集中在二维和二维系统，部分原因是三维系统更具挑战性。量子涨落通常在一维和二维系统中也更显著，一些与真实材料相关的最令人感兴趣的开放问题都与系统的准二维性质有关（尽管也存在一些有趣的三维系统[74]）。

2.4.1 二聚化系统#

获得二维海森堡模型非磁基态的最简单方法或许是使系统二聚化[75]，即引入弱和强的反铁磁耦合键，分别为 $J_{1} > 0$ 和 $J_{2} > J_{1} > 0$，其模式使得每个自旋恰好属于一个强键。有多种方法可以做到这一点，图4展示了其中三种。当 $J_{1} = 0$ 时，这些系统由 $N / 2$ 个独立的自旋对（二聚体）组成，其内部耦合为 $J_{2}$，并且，正如我们已经讨论过的，每个这样的自旋对的基态是一个单态；因此整个系统的基态是一个单态乘积（价键）态，它显然没有磁序。另一方面，当 $J_{2} = J_{1}$ 时，基态具有奈尔序。那么问题就是基态如何作为耦合比 $g = J_{2} / J_{1}$ 的函数演化。人们或许会认为，一旦二聚体耦合起来，即对于任何 $g < \infty$，都应该出现一定量的奈尔序。然而，事实证明，实际上在某个临界值 $g_{c}$（取决于二聚体排列方式）处存在一个相变。虽然可以使用几种分析和数值方法分析此相变，但目前对量子蒙特卡洛数据进行有限尺寸标度是获得无偏定量结果的唯一方法（例如，关于自旋波理论在相变附近如何失效的讨论见[77]）。

图5显示了图4(b)柱状二聚体模型的量子蒙特卡洛结果。序参量是交错磁化强度，相应的算符定义在方程(3)中。这是一个矢量算符，对于一个有限晶格，其期望值由于哈密顿量的自旋旋转对称性而为零。我们在模拟中计算了它的平方 $\langle m_{s}^{2} \rangle$。图5(a)显示了 $L \times L$ 格点的结果随耦合比 $g$ 的变化，而图5(b)显示了几个 $g$ 值的数据随 $1 / L$ 的变化（当检验趋近于 $L \to \infty$ 的非零值时，这通常是最方便的作图方式）。这里清楚地表明，行为在 $g \approx 1.9$ 处发生了变化；低于此耦合值时，子晶格磁化强度在热力学极限下外推至非零值，而对于更大的 $g$，它衰减到零。

图5. 具有柱状二聚化的二维海森堡模型中子晶格磁化强度平方的QMC结果。(a)显示了不同晶格尺寸下序参量随耦合比$g$的变化，而(b)显示了几个$g$值下的尺寸依赖性。量子相变发生在$g \approx 1.9$处，此时奈尔序（Néel order）消失。

在奈尔态（Néel state）中，主导$\langle m_{s}^{2} \rangle$的有限尺寸修正$\propto 1 / L$（这一结果可通过自旋波理论（spin wave theory）得到[78, 79]）。这在图5(b)中对于$g=1$和$1.5$的情况非常明显。对于$g=1$的外推（参见文献[50]，此耦合值的结果取自该文献）给出$\langle m_{s} \rangle = 0.3074$。这仅比线性自旋波（linear spin wave）结果$\langle m_{s} \rangle = 0.3034$高出约1%。正如上文2.1.1节所讨论的，自旋波理论对该模型成功的原因可以事后解释为量子涨落（quantum fluctuations）相当弱，仅将子晶格磁化强度（sublattice magnetization）从经典值降低了约40%。对于更大的$g$值，自旋波理论与QMC结果之间的一致性迅速变得差很多。在这种二聚化模型中，线性自旋波理论通常会高估临界$g$值[80, 81, 77]，而在其他情况下，例如晶格$x$和$y$方向具有不同强度均匀耦合的系统（耦合链，coupled chains），线性自旋波理论预测在非零耦合处存在临界点，而实际上并不存在[82]。可以对自旋波理论进行各种改进（进行到$1/S$的高阶、引入自洽性等[6, 40, 41, 80, 77, 83]），但这些近似方法无法正确描述处于或接近量子相变的系统。

关于二聚化系统中的量子相变，一个重要的问题是它的普适类（universality class）（这一概念将在第3节进一步讨论）。一个$d$维的量子多体系统可以通过路径积分（path integrals）形式地映射为一个$2+1$维的有效经典系统（我们将在第5节讨论），并且可以构建有效的连续场论（effective continuum field theories）来描述低能行为，包括量子相变。基于对这样一种场论——$2+1$维非线性$\sigma$模型（non-linear $\sigma$-model）的重整化群处理，许多性质已经以这种方式被预测[5, 84]。仅基于对称性论证，人们会预期该相变属于三维经典海森堡模型的普适类。然而，量子-经典映射中存在一些微妙问题，因此需要QMC模拟来检验各种预测。我们将在第5节看到模拟结果与场论之间比较的例子。尽管图4中双层(a)[85]和柱状二聚体(b)[86]系统（以及其他多种情况[87, 88]）的相变结果与预期吻合良好，但最近对交错二聚体(c)的研究显示了意想不到的偏差[89]，这些偏差至今尚未被理解。

图6. 具有反铁磁最近邻相互作用的三角形上的伊辛（Ising）（左）和平面（planar）（右）最小能量自旋构型（spin configurations）。

2.4.2 阻挫系统（Frustrated systems）#

阻挫的典型例子是三角晶格上的反铁磁相互作用系统。首先在伊辛模型（Ising model）中考虑这个问题，单个三角形上的自旋无法同时与两个邻居都反平行——有六种最小能量构型，每一种都有一条“受挫”的键（两个平行邻居），如图6所示。由于这是晶格结构带来的后果，通常被称为几何阻挫（geometric frustration）。随着系统尺寸增大，基态简并度随系统尺寸增长，在所有构型构成的系综中没有任何序[90, 91]。然而，对于经典XY模型（平面矢量）或海森堡模型（三维矢量），在$T = 0$时存在序（但根据默明-瓦格纳定理，在$T > 0$时没有）。能量最小化的方式是使自旋在平面上排列，与同一三角形上的邻居之间呈$120^{\circ}$角，如图6中单个三角形所示。这被称为三子晶格尼尔态（three-sublattice Néel state）。对于该模型的$S = 1/2$变体已有大量研究。事实上，这正是最初提出RVB自旋液体态的系统[92]。然而，现在有令人信服的数值证据表明，三子晶格尼尔序实际上经受住了量子涨落[93, 94]。

在正方晶格上，可以通过添加次近邻相互作用来研究阻挫效应。一个被广泛研究的例子是$\mathbf{J}_{1} \mathbf{-} \mathbf{J}_{2}$模型，其中$J_{1}$和$J_{2}$分别指最近邻和次近邻相互作用的强度。如果$J_{1} > 0, J_{2} > 0$或$J_{1} < 0, J_{2} > 0$，系统就会出现阻挫。即使是伊辛自旋，这也是一个高度非平凡的系统，仍有一些未解决的问题吸引着人们的兴趣[95, 96, 97]。我们将在第3.4节进一步讨论受挫伊辛系统。

对于量子自旋，所有反铁磁耦合的$S = 1/2 \mathbf{J}_{1^{-}} \mathbf{J}_{2}$海森堡模型是发生量子相变并离开标准尼尔态的典型模型之一，这里的相变是耦合比$g = J_{2}/J_{1}$的函数。虽然许多不同的计算相当一致地表明，尼尔序在临界耦合比$g_{c} \approx 0.4 \ [98, 99, 100, 101, 102, 103, 104]$处消失，但相变的级次以及非磁性基态的性质仍然是存在争议的问题。大多数研究表明某种类型的价键固体（VBS，Valence Bond Solid）态，其中柱状态是主要候选，但也有研究提出了RVB自旋液体态[105]。

图7. 仅具有最近邻相互作用$J_{1} > 0$的正方晶格$S = 1/2$海森堡模型具有反铁磁基态，在(a)中用空心和实心圆分别表示$\langle S_{i}^{z} \rangle > 0$和$\langle S_{j}^{z} \rangle < 0$。在(b)中，次近邻相互作用$J_{2} > 0$用虚线表示。当$0.4 < J_{2}/J_{1} \stackrel{.}{<} 0.6$（近似）时，基态可能是柱状VBS，所有格点上$\langle S_{i}^{z} \rangle = 0$，但键关联$\langle \mathbf{S}_{i} \cdot \mathbf{S}_{j} \rangle$（其中$i, j$是最近邻）有调制，用粗线表示关联更强的键，形成柱状图案。对于$J_{2}/J_{1} > 0.6$，基态具有共线（条纹状）磁序，如(c)所示。

对于更大的$g$，在$g \approx 0.6$以上，会再次出现磁序。这可以在$g \to \infty$极限下理解，此时系统解耦成两个独立的正方晶格海森堡反铁磁体。在$g = \infty \ (J_{1} = 0)$时，这些子系统内部反铁磁序在自旋空间中的相对方向是任意的，但对于任何$J_{1} > 0$，子系统会相互锁定，形成共线自旋序，具有垂直或水平排列的平行自旋条纹（这种状态在全局自旋旋转对称性之外，还破坏了$90^{\circ}$晶格旋转对称性）。非磁态和共线态之间的相变很可能是一级相变。

$S = 1/2$ 的 $J_{1^{-}} J_{2}$ 海森堡模型的三种不同基态如图 7 所示。值得注意的是，该模型的经典版本（伊辛、XY 或海森堡模型）在 $g = 1/2$ 处恰好存在一个直接的（一级）奈尔-共线 $T = 0$ 相变（仅需计算 $g < 1/2$ 和 $g > 1/2$ 时这些态的能量即可轻松验证）。因此，磁无序态是由量子涨落诱导产生的，没有直接的经典类比。目前尚不清楚这种态是否在 $S = 1$ 或更高自旋中持续存在——对于某些大的 $S$（或许在 $S = 1$ 时），它必须像经典系统一样让位于一级奈尔-共线相变。

之所以难以就非磁态的性质以及它和奈尔态之间的量子相变得出确切结论，原因在于目前无法对 $S = 1/2$ 的 $J_{1}–J_{2}$ 模型进行大规模无偏计算研究，这是因为阻挫系统的量子蒙特卡洛计算会遭遇“符号问题”(sign problem)。我们将在第 5 节进一步讨论这个问题。目前没有其他无偏方法能够处理足够大的晶格，例如，严格对角化只能处理 $N \approx 40$ 个自旋的情况。

2.4.3 J-Q 类模型#

二维量子自旋系统的价键固体（VBS）态早在二十多年前就从理论上被预言[107]。VBS 的形成与自发破缺的平移晶格对称性相关联。因此，VBS 态以及进入该态的量子相变，与上述第 2.4.1 节中讨论的“人为”二聚化系统中的非磁态和相变有显著不同。尽管两种情况都呈现出“强”和“弱”自旋关联的模式，但在具有人为破缺和自发破缺平移对称性的系统中，量子涨落是不同的（在 VBS 态中要有趣得多）。直到最近，基于微观哈密顿量对 VBS 态和奈尔-VBS 量子相变的大规模计算研究才得以开展，这是因为阻挫的海森堡模型（乍看之下，这是探索非磁态物理最自然的系统）存在 QMC 符号问题。

Senthil 等人[16] 提出，奈尔-VBS 相变通常是连续的，从而违反了“朗道规则”(Landau rule)。根据该规则，有序-有序相变（发生在破缺不相关对称性的态之间）应该是一级的（除非在精细调节的多临界点上）。这一提议使 VBS 态和奈尔-VBS 相变重新成为关注焦点。在“退禁闭”量子临界性（deconfined quantum-criticality）场景中，VBS 和奈尔序参量分别是自旋子禁闭和凝聚的表现。自旋子可以被视作 $S = 1/2$ 的自由度，但并非仅仅对应于晶格上裸露的单个自旋，而是由相互作用“修饰”的更复杂的集体对象。一种非紧致 $\mathrm{CP^{1}}$ 场论被提出来描述这种与涌现规范场（对应于自旋子存在的价键背景的性质）耦合的自旋子[16]。那么，一个核心问题是，这种连续场论的低能物理是否真的可以从一个合理的微观哈密顿量出发产生。回答这个问题需要对展现出奈尔-VBS 相变的模型进行大规模计算研究。

由于 QMC 符号问题阻碍了对 $J_{1}–J_{2}$ 海森堡模型及其他类似阻挫系统的大规模研究，我们必须另寻他法。在“J-Q”类模型中[17, 108, 109]，奈尔序被一种相互作用（Q）所破坏，这种相互作用在标准意义上并非阻挫，但仍与海森堡（J）相互作用相竞争。要理解这些 J-Q 模型，首先需注意，海森堡相互作用在一个常数范围内等于一个单重态投影算符：$\begin{array} {r} {H_{i j} = - S_{i j} + \frac{1} {4}} \end{array}$，其中

配对单重态，式(19)，是该算符的本征值为 1 的本征态，而三重态则被其湮灭；

因此，当 $S_{i j}$ 作用于单重态-三重态叠加态时，只有单重态分量存活（被“投影出来”——注意，投影算符所需的性质 $S_{i j}^{2} = S_{i j}$ 是满足的）。标准的海森堡相互作用因此有利于在最近邻位点对上形成单重态，但正如我们在第 2.2 节讨论的，这些单重态在自旋的许多不同配对方式之间的涨落导致基态中出现奈尔序（Néel order）。J-Q 模型背后的思想是，使用一组不同键上的多个 $S_{i j}$ 算符的乘积，以关联的方式在两条或多条键上投影单重态。这有利于形成更高密度的短价键（short valence bonds），从而减少或完全破坏反铁磁序。

图8. J-Q 模型及其推广中可能的单重态投影算符 $S_{i j}$ 乘积排列的图形表示。(a) 为海森堡交换作用，(b) 为原始 J-Q 模型的四自旋相互作用，(c) 为六自旋相互作用，它导致更稳健的价键固体（VBS）序。这些算符及其 90°旋转的类似物，在正方晶格的所有位置上求和。

在正方晶格上的原始 J-Q 哈密顿量 [17] 可写为

其中 $J$ 和 $Q$ 项都在图 8 中说明。$Q$ 相互作用涉及一个 $2 \times 2$ 方格上的四个自旋。还展示了具有三个单重态投影算符以柱状排列的相互作用，并且也可以考虑具有更多投影算符或以不同（非柱状）模式在晶格上排列投影算符的算符 [109]。在 $J > 0$ 和 $Q > 0$ [以及方程 (23) 中相互作用前的负号] 条件下，由单重态投影算符乘积组成的晶格单元上有利于形成关联的单重态。仅从哈密顿量尚不清楚对于大的 $Q/J$ 是否能实现价键固体（VBS）态——因为哈密顿量不破坏任何对称性（图 8 中的相互作用在所有不同的晶格平移和旋转上求和），VBS 态只有在哈密顿量隐式地包含一些有利于某种有序模式中单重态的有效相互作用时才会形成。J-Q 模型 (23) 确实表现出奈尔-价键固体（Néel-VBS）转变，转变点在 $Q_{\mathrm{c}} / J \approx 22$ [17, 108, 110]，如果使用超过两个单重态投影算符，则转变点的 $Q_{c}$ 更低 [108, 109]。我们将在第 5 节更详细地讨论这一点。这里我们只是简要介绍一些关联函数的例子，这些关联函数对于刻画奈尔态和 VBS 态以及它们之间的量子相变很有用。

序参量（Order parameters）。作为整体空间平均子晶格磁化强度平方 (3) 的替代方案，我们可以使用自旋关联函数来检测奈尔序的存在或缺失：

在长距离上。图9(a) 展示了 J-Q 模型在周期性 $L \times L$ 晶格上，对于自旋最大分离 ${\bf r}_{\mathrm{max}} = ( L / 2 , L / 2 )$ 的结果。这些结果需要仔细分析才能确定转变点，但原始数据已经表明，当 $J / Q < 0.04$ 且 $L \to \infty$ 时，奈尔序消失，即 $C(\mathbf{r}_{\mathrm{max}}) \to 0$。

VBS 序可以通过二聚体（或键）关联函数检测，定义为

图9. J-Q 模型 (23) 基态中长距离自旋关联函数 (a) 和交错二聚体关联函数 (b)（分别对应奈尔序和 VBS 序）关于耦合比 J/Q 的 QMC 结果。对这些关联函数以及其他量的仔细分析表明，存在一个单一的临界点 $(J/Q)_c \approx 0.045$，在该点上奈尔序和 VBS 序都连续消失。

其中键算符由下式给出

在这里，不使用任意格点标记的自旋算符的下标 $i$ 更为方便，而是使用相应的晶格位置向量 $\mathbf{r}_{i}$。这样，$\mathbf{r}_{i} + \hat{\mathbf{x}}$ 对应 $\mathbf{r}_{i}$ 在正 x 方向上的最近邻格点。式(25)中的下标 xx 表示两个键算符 $B_{x}$ 都沿 x 方向取向，并且，由对称性可知，该关联函数在 $L \times L$ 晶格上等于 $D_{y y}$。我们也可以考虑键关联函数 $D_{x y}$，其中两个键算符取向不同。在如图7所示的 VBS 态中，预计 $D_{x x} ( \mathbf{r} )$ 会呈现出由较大值和较小值构成的柱状模式。然后，可以将 VBS 序参量定义为这些调制关联函数之间的适当差值，例如：

图9(b)展示了对于若干不同系统尺寸，在最大晶格间距处这一关联函数。这里可以清楚地看到，VBS 序存在于 $J = 0$ 直到 $J / Q \approx 0.04$ 的范围内，大约在这个位置 Néel 序开始出现。正如我们将在第5节讨论的，迄今为止所有的计算都指向一个单一的临界点，不存在任何介于中间的第三相或 Néel 序与 VBS 序共存的区域。