第1章 · 引言#

理论物理学的主要目标之一是为各种复杂物理现象提供最简单的模型。在凝聚态物理学以及更广泛的统计力学中，自旋系统经常扮演这一角色。正如伊辛模型（Ising model）和其他理想化的经典自旋模型对我们理解热相变（thermal phase transitions）和临界现象（critical phenomena）具有不可估量的价值一样，各种量子自旋模型如今也在为奇异量子多体态（exotic quantum many-body states）和量子相变（quantum phase transitions）——即由量子涨落（quantum fluctuations）驱动、在温度 $T = 0$ 时、受某种可调相互作用参数控制的相变 [1, 2]——建立理论框架方面发挥着重要作用。量子自旋系统具有多种可能的有序和无序基态以及由此产生的不同类型的激发，为研究集体量子行为 [3, 4] 的其他表现形式提供了丰富的机会。

尽管量子自旋系统常被用作各种现象的简化原型模型系统，并且并非总是旨在完全描述特定真实材料的所有细节，但它们在定量解释多种具有局域电子自旋的莫特绝缘体（Mott insulators）的反铁磁性质方面也取得了巨大成功。高温超导体的未掺杂母体化合物以及其他相关的准二维和准一维铜氧化物就是这方面的一个典型例子。它们实验测得的磁响应函数（magnetic response functions）可以被二维（2D）平面上的 $S = 1 / 2$ 海森堡模型（Heisenberg model）[5, 6]、孤立链 [7, 8] 以及由两条或多条耦合链组成的"梯子"（ladders）[9] 非常出色地重现。与模型计算一致，2D 层状系统随着 T 降低表现出指数发散的关联长度（correlation length）（直到由于 3D 耦合或各向异性而在某个临界温度以下形成有序），而链和梯子化合物仅表现出短程（幂律或指数衰减）关联。除了铜氧化物，许多其他无机和有机反铁磁体在理论与实验之间也显示出同样良好的一致性 [10]。

当代凝聚态物理学的一个突出研究主题是对具有非均匀或受挫（竞争性）反铁磁相互作用 [11, 12, 13, 14] 的 2D 或准 2D 材料的磁无序基态进行建模和解释。2D 自旋系统中的量子相变挑战了基于序参量（order parameters）来理解和分类相变的经典金兹堡-朗道框架（Ginzburg-Landau framework）[15]，这一点在最近的"去禁闭"量子临界点（deconfined quantum critical points）理论 [2, 16] 中得到了体现，该理论将反铁磁（奈尔态，Néel）和非磁性价键固体（valence-bond solid, VBS）基态 [17] 区分开来。在一种为描述这种量子相变而提出的场论（非紧致 $\mathrm{CP}^{1}$ 模型）中，去禁闭的自旋子（spinons）（集体 $S = 1 / 2$ 自由度）是"基本粒子"，由于凝聚（在奈尔态中）或禁闭（在 VBS 态中），两个序参量可以由它们形成 [16]。除了在凝聚态物理学中对这种不寻常相变的兴趣之外，它还与粒子物理学中规范理论（gauge theories）的去禁闭有引人入胜的联系 [18]。近年来，相互作用量子自旋在光晶格中的超冷原子 [19, 20] 以及量子信息理论 [21] 的背景下也变得有趣。诸如纠缠熵（entanglement entropy）[22] 之类的基态多体概念目前正在量子自旋系统的各种基态中进行探索 [23]。

在一维之外，量子自旋系统的精确解非常罕见，而在一维中则有几种重要情况（实际上足以填满一整本百科全书 [24]）。在二维中也有一些例子 [25, 26]，但通常解析计算依赖于无法被严格证明的近似或假设。因此，纯粹计算性的哈密顿量研究也至关重要。无偏的数值结果对于检验理论和解析计算（特别是用于低能物理的连续场论）非常重要。此外，数值"模拟"本身也可以作为探索和发现的实验室，从而可能推动进一步的理论和实验发展。

在经典统计物理中，几乎任何模型都可以使用蒙特卡洛或分子动力学模拟进行详细研究（尽管也存在极具挑战性的经典系统，例如具有非常缓慢的“玻璃态”动力学的系统 [27]）。量子力学中的情况则截然不同。研究通用量子自旋哈密顿量（尤其是那些存在阻挫相互作用的自旋模型，以及超越纯自旋模型的强关联费米子系统）的计算仍然面临巨大障碍。为这类系统设计高效实用的数值算法是理论物理学中最大的挑战之一。得益于过去几十年一系列重要进展，对于某些重要的量子晶格模型类，大规模计算研究已成为可能。非常大的一维系统可以使用密度矩阵重正化群（Density Matrix Renormalization Group, DMRG）方法 [28, 29] 或基于矩阵乘积态 [21, 30] 的相关方法进行研究。使用环襻团簇更新 [31, 32, 33] 的量子蒙特卡洛（Quantum Monte Carlo, QMC）方法可用于研究任意维度的广泛自旋和玻色子模型，通常基态下可在包含多达 $10^4$ 个或更多格点的晶格上进行，在更高温度下甚至可处理更大的系统。除了高效算法上的突破，计算机性能的显著提升当然也在近期的进展中发挥了重要作用。然而，最大的收益来自于更优的算法，并且有理由相信，未来这种情况仍将持续。

主题。 本讲义将讨论两类计算方法：数值（精确）对角化和量子蒙特卡洛模拟。精确对角化方法将主要针对一维系统展开，随后讨论其在二维正方晶格系统中的扩展。将利用对称性进行块对角化，并将其应用于完全对角化（$T > 0$ 计算）和 Lanczos 方法（用于获取给定对称性扇区中的基态和低能激发）。基于配分函数级数展开（随机级数展开；SSE）的 QMC 模拟将针对 $T > 0$ 计算进行开发（并应用于 $T \to 0$ 的极限情况）。与伪代码紧密对应的计算机程序可在网上获取 [34]。

除了描述数值方法的技术细节外，本讲义的一个核心目标是介绍最基本的量子自旋模型（哈密顿量），并从计算视角呈现其部分物理性质。虽然就算法和实现而言，讨论在很大程度上是自成体系的，但对系统物理性质的讨论大多采用较为“轻松”的方式，以基础计算（例如自旋波理论）和数值结果说明的定性描述形式呈现。同时指出与互补分析方法（例如基于场论的预测）的联系，并附上进一步研究的关键参考文献。这些主题的成熟度各不相同，从已确立的基础知识到关于奇异量子相变的最新、最活跃的研究。

大纲。 首先在第2节介绍后续各节将讨论的量子自旋模型，同时简要总结各类基态和量子相变。第3节回顾经典相变、蒙特卡罗模拟以及有限尺寸标度技术，为后续的量子力学有限格点计算和数据分析奠定基础。第4节讨论精确对角化技术及其在一维自旋系统中的应用，并通过数值结果（包括阻挫驱动的量子相变进入二聚化价键固态）阐释海森堡链及其带阻挫相互作用的扩展形式的基本性质。还总结了这些方法向二维系统的扩展，并用其研究小型反铁磁系统的低能态（量子转子态）。第5节首先概述路径积分，随后介绍量子统计力学的另一种级数展开形式，这是随机级数展开量子蒙特卡罗方法的基础。接着详细推导了针对$S = 1/2$海森堡模型的随机级数展开方法，并展示了链、梯子和二维平面的数值结果，包括对二维二聚化系统中量子临界现象的研究。还讨论了随机级数展开方法在具有四自旋和六自旋相互作用的$ {\mathbf{\hat{\mu}}}^{66} {\mathbf{J}} {-} {\mathbf{Q}}^{3}$模型中的应用，并研究了这些系统中随多自旋相互作用强度变化的奈尔-价键固态相变。第6节简要概述了与讲座笔记主题相关的其他近期工作。